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文档简介
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员无能以任何方式（包
括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教
师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公
平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属学校（请填写完整的全名）：三峡大学
数学建模培训队组号：12^
参赛队员（打印并签名）：1.余响亮
2.柳谦____________________
3.刘忠中__________________
日期：2011年7月20日
电力生产问题的分配方案
摘要
本文解决的是电力生产过程中的发电机分配问题，我们运用数学中线性规划
的方法，建立起混合整数非线性模型。
对于问题一：本文将发电机发电机每天的总成本定义成FI标函数，将各时段
发电机的平均输出功率X”和运行的台数%定义成决策变量，建立混合整数非线
性模型，然后利用lingoll软件求解。由于发电机运行的连续性，我们以7天为
一周期，第一天发电机的运行影响到第二天发电机的启动数目，通过连续迭代法，
求出达到稳定时的最小成本。求得稳定时每天最小总Z成本为1450980元，各
时段发电机的平均输出功率X。.和运行的台数%如下表：
型号1型号2型号3型号4
运行台平均输运行台平均输运行台平均输运行台平均输
数出功率数出功率数出功率数出功率
0-6175041362.52200011800
6-921750415008200032166.7
9-122750414258200011800
12-1421750415008200033500
14-18275()414208200()11800
18-2221300415008200031800
22-24175041362.55200011800
对于问题二：要求发电机组留出20%的发电余量，在问题一的基础上，约束
条件改变，目标函数和决策变量均不变，我们同样建立混合整数非线性模型，然
后利用lingoll软件求解。同样通过连续迭代法，求出达到稳定时的最小成本，
求得稳定时每天最小总成本Z为18664620元，各时段发电机的平均输出功
率X0和运行的台数与如下表：
型号1型号2型号3型号4
运行台平均输运行台平均输运行台平均输运行台平均输
数出功率数出功率数出功率数出功率
0-611200415003200011800
6-971750415008200031916.7
9-127807.1415(H)8200021800
12-1481750415008200033000
18-2261683.3415008200031800
22-24175041487.57200011800
关键字：混合整数非线性模型连续迭代法
1问题重述，
条件1满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW））,每日电力需求如下表1。
表1：每日用电需求（兆瓦）
时段
0-66-99-1212-1414-1818-2222-24
(0-24)
需求12000320CO2500036000250003000018000
条件2所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固
定的每小时成本，并且如吴功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时
还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于表2中。
表2：发电机情况
可用数量最小输出最大输出固定成本每兆瓦边际启动
功率功率（元/小成本（元/成本
X（MW）（MW）时）小时）
型号110750175022502.75000
型号241000150018002.21600
型号381200200037501.82400
型号431800350048003.81200
条件3只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。启动发电机消耗
启动成本，关闭发电机不需要付出任何代价。
问题1：在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最
小总成本为多少？
问题2：如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力
余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天
的总成本最小，此时最小总成本又为多少？
2模型假设与符号说明
2.1模型的假设
假设1：各种型号的发电机在理想条件下运行
假设2：发电机从开启达到稳定状态为瞬时的。
2.2符号说明（表3）
1发电机的型号（1234）
j时间段(1234567)
X"i型号发电机在第j个时间段的平均输山功率（兆瓦）
匕i型号发电机在第j个时间段运行的台数
i型号发电机的总台数
0第j时间段的小时数
Ej第j时间段的用电需求（兆瓦）
Mi*第i型号发电机的最小输出功率（兆瓦）
MaxFj第i型号发电机的最大输出功率（兆瓦）
G第i型号发电机单机的固定成本
%第i型号发电机单机的边际成本
L第i型号发电机的每兆瓦边际成本
2第i型号发电机单机的启动成本
z发电机组每日总成本
*第i型号发电机在第j时间段的启动次数
3问题分析
3.1问题一的分析
问题一是求解各个时间段分配发电机的方案，使总成本最小。首先确定总成
本为目标函数，总成本包括固定成本、边际成本、启动成本，要使总成本最小，
则需要以上三种成本之和最小。从问题中的数据分析，4种不同型号的发电机有
最大输出功率和最小输出功率，发电机的实际功率是介于最大输出功率和最小输
出功率之间，发电机的实际输出功率为一个约束条件。为了满足居民的用电需求,
发电机组在各时段的发电量应高于用电需求，并且各型号发电机在各个时间段的
运行台数小于总台数，然后建立非线性规划模型求解。首先求出第一天的最小总
成本，在根据连续迭代法，求出以后每天的最小总成本，最后得出最小总成本达
到稳定时每天各时间段发电机的运行台数。
3.2问题二的分析
问题二是正常工作的发电机组留出20%的发电能力余量的情况下，分配发电
机使每天的总成本最小，跟问题一相比较即发电机组的输出功率要增大为原来的
L25倍。总成本同样是固定成本、启动成本和边际成本之和。同样建立混合整数
非线性规划模型求解。
4数据的分析与处理
4.1定义j为1-7个时间段，0为各个时间段包括的小时数，弓为各个时间段电
力的需求量。根据每口用电需求表和我们定义的自变量，通过数据处理得到表4
j1234567
6332442
Dj
12000320002500036000250003000018000
与
4.2定义i为发电机型号，Mi//为i型号单台发电机的最小输出功率，Max"为
i型号单台发电机的最大输出功率，G,为i型号的发电机的固定成本，4为i型
号发电机的每兆瓦每小时的边际成本，Q,为i型号发电机的单机启动成本，然后
对数据进行整理得出各种变量与型号i的关系如下表5
MMinF,MajcFjGJ.c
1io750175022502.7500()
2410001500180()2.21600
381200200037501.82400
431800350048003.81200
5问题一的求解
5.1模型一的建立
5.1.1确定目标函数
在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机，并且关闭发电机不需要
任何费用但启动发电机要消耗启动费用，于是我们定义第i型号发电机在第j段
时间的启动次数7；,7；20且7；为整数。由于第i型号的第一天第一次启动次数等
于第i型号正常工作的发电机数量于是7；=%,
刀”“"一%今之。且今为整数
发电机的边际成本凡是超出最小输出功率的超出部分每兆瓦每小时的成本
于是
%=JJXij-MEFJDji=l,2,3,4.j=l,2,3,4,5,6,7.
发电机每天运行的总成本Z包括固定成本，边际成本和启动成本，则可以
求出发电机每天运行的总成本
则目标函数为：
minZ=£S(G*DJ%+3*%+Q，F)
>1/-I
5.1.2确定约束条件
根据每4个.间段电力需求量，发电机组的发电帚要高于居民的用电需求帚
可得
£x/Z户号j=l,2,345,6,7.(1)
第i型号的实际输出功率介于第i型号的最小输出功率M加耳和最大输出功率
之间，于是
MinF<X<MaxF
t(yt⑵
各种型号发电机的数量不同，于是第i型号发电机在第j时间段的运行台数%
小于i型号在第j时间段发电机的总台数
（3）
5.1.3连续迭代法求后6天
发电机在很成一段时间内连续运行，首先利用前面建立的模型，求出第一天
22-24时间段的发电机运行数，然后求出第二天最小成本下的运行台数，根据连
续迭代法求出后5天的最小成本。由7天一个周期可以得到最小成本达到稳定时
每天各个时间段发电机运行的台数。
5.2模型的求解
利用LINGO11建立目标函数发电机每天运行最小总成本：
j=7/=4
minZ=ZZ（G*0*%+/*%+Q，F）
7=1/=1
其中第i型号的单机边际成本/=，/X厂M加用生；
根据上述（1）（2）（3）可以得出下列约束条件：
1=1
s.t.<MinF.<Xi1<MaxFj（i=l,2,3,4.j=123,4,5,6,7）
通过求解得：第一天总成本z为1468380元；各型号在不同时间段运行的
台数和相应实际输出功率如下表:
型号1型号2型号3型号4
运行台平均输运行台平均输运行台平均输运行台平均输
数出功率数出功率数出功率数出功率
0-6175041362.52200011800
6-921750415008200032166.7
9-122750414258200011800
12-1421750415008200033500
14-182750414258200011800
18-22213004150()8200031800
22-24175041362.55200011800
发电机在很成一段时间内连续运行，已知第一天22-24时间段的发电机运行
数，可求出第二天最小成大下的运行台数，根据连续迭代法求出后6天的最小成
本。得到发电机最小成本第二天达到稳定，稳定时的最小成本为1450980元，每
天各时段发电机的平均输出功率X,）和运行的台数与如下表：
型号1型号2型号3型号4
运行台平均输运行台平均输运行台平均输运行台平均输
时段数出功率数出功率数出功率数出功率
0-6175041362.52200011800
6-921750415008200032166.7
9-12275041425820001180()
12-1421750415008200033500
14-182750414208200011800
18-2221300415008200031800
22-24175041362.55200011800
5.3模型一的结果分析
在这种分配方案下我们可以发现型号2和型号3的发电机每天几乎都在运行,
而型号I和型号4每天运行台数很少。原因是型号2的固定成本最小，型号3
的边际成本最小。发电机组由第一天到第二天运转到达到稳定，最小成本也逐渐
减小达到稳定。由前7天求解情况看出，从第二天以后每天总成本不变，即模型
达到稳定。经验算用电需求没有超出发电机组的总负载。
1-7天总成本表示如下图:
1-7天最小总成本
第1天第2天第2天第4天第5天第6天第7天
天数
6问题二的求解
6.1模型二的建立
6.1.1确定目标函数
在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机，并且关闭发电机不需要任何费
用但启动发电机要消耗启动费用，于是我们定义第i型号发电机在第j段时间的
启动次数与。由于第i型号的第一次启动次数等于第i型号正常工作的发电机数
量于是，=匕，
%NO且4为整数
发电机的边际成本出是超出最小输出功率的超出部分每兆瓦每小时的成本
于是
Hg=九。^一乂比耳)1%i=1,2,3,4.j=12,3,4,5,6,7.
发电机每天运行的总成本Z包括固定成本，边际成本和启动成本，则可以
求出发电机每天运行的总成本
则目标函数为：
J=7Z-4
minZ=£X(G,*Oj*%+/*%+2*7；)
/=1；=1
6.1.2确定约束条件
根据每日个时间段电力需求量，发电机组的发电量要高于居民的用电需求量
可得
0.82X,=Ejj=1,2,34,5,6,7.(1)
1=1
第i型号的实际输出功率介于第i型号的最小输出功率M加耳和最大输出功
率A/or4之间，于是
MinFj<X..<MaxF,(2)
各种型号发电机的数量不同，于是第i型号发电机在第j时间段的运行台数%
小于i型号发电机在第j时段的总台数M
04%训⑶
6.1.3连续迭代法求后6天
发电机在很成一段时间内连续运行，首先利用前面建立的模型，求出第一天
22-24时间段的发电机运行数，然后求出第二天最小成本下的运行台数，根据连
续迭代法求出后5天的最小成本。根据7天一个周期可以得到最小成本达到稳定
时每天各个时间段发电机运行的台数。
6.2模型的求解
利用LINGO11建立目标函数发电机每天运行最小总成本：
minZ=££(G*Dj*U+%*U+Q.*n)
j=l/=1
其中第i型号的单机边际成本%=4(X「；
根据上述(1)(2)(3)可以得出下列约束条件：
1=4
0・斗,*%=与
1=1
Mi〃E<Xi}<Max,(i=1,2,3,4.j=1,2,3,4,5,67)
。钠YN,
通过求解得：第一天总成本Z为1886420元，各个型号在不同时间运行
的台数和相应实际输出功率如下表:
型号1型号2型号3型号4
运行台平均输运行台平均输运行台平均输运行台平均输
数出功率数出功率数出功率数出功率
0-611200415(H)3200011800
6-971750415008200031916.7
9-127807.141500X200021800
12-1481750415008200033000
18-2261683.3415008200031800
22-24175041487.57200011800
发电机在很成一段时间内连续运行，已知第一天22-24时间段的发电机运行
数，可求出第二天最小成本下的运行台数，根据连续迭代法求出后6天的最小成
本O
得到发电机最小成本第二天达到稳定，稳定时的最小成本为1866620元，每
天各时段发电机的平均输出功率X”和运行的台数%如下表:
型号1型号2型号3型号4
运行台平均输运行台平均输运行台平均输运行台平均输
数出功率数出功率数出功率数出功率
0-6112(X)4150()3200()1180()
6-971750415008200031916.7
9-127807.1415008200021800
12-1481750415008200033000
18-2261683.3415008200031800
22-24175041487.57200011800
6.3模型二的结果分析
在这种分配方案下我们可以发现型号2和型号3的发电机每天几乎都在运行，而
型号1和型号4每天运行台数很少。原因是型号2的固定成本最小，型号3的边
际成本最小。发电机组由第一天到第二天运转到达到稳定最小成本也逐渐减小达
到稳定。由前7天求解情况看出，从第二天以后每天总成本不变，即模型达到稳
定。经验算用电需求没有超出发电机组的息负载。
1-7天总成本表示如下图：
1-7天最小总成本
1890000
1885000
1880000
将1875000
塞—♦—系列1
理1870000
1865000
1860000
1855000
7.模型的评价、改进及推广
7.1模型评价
优点：
（1）根据我们定下的分配规则，建立的模型在一定程度上减少了逐步安排
的复杂性，模型针对所给的条件考虑周密，协定的约束条件合理。定义的第i
型号在第j时间段的实际输出功率和第i型号在第j时间段的正常工作台数，这
样符逐个求解转化成整体求解，使模型简化。
（2）根据我们建立的模型一，模型二可以仿照模型一求最优解，可以减少
重新建模的复杂程度，也达到了简单的模型求复杂的何题的效果。
缺点：
模型中符号使用不科学，并正文符号与程序符号没有统一。
7.2模型改进
我们应当增加模型来比较固定成本、边际成本和启动成本的关系。
7.3模型的推广
我们的模型不仅可以用于也力生产问题的分配，也可用于其他资源的安排，诸如
生产设备分给不同的工厂。
8参考文献
[1]宋来忠，王志明，数学建模与实验，北京：科学出版社,2006.
[2]《运筹学》教材编写组编，运筹学（3版），北京：清华大学出版社，
2005.6
[3]周品，赵新芬，matlab数学建模与仿真,北京：国防工业出版社2009.4
9附录
附录一
问题一问题二的程序语言均在LINGO1I11软件里运行。
!运行该程序时,请点击设置：L1NG01l\Options\GlobcilSolver\useGlobal
Solver,求解全局最优解；
model:
!电力生产问题；
!定义系数A,问题一的系数A=l,问题二的系数A=0.8;
data:
A=l;
enddata
!每日用电需求集，各时段的小时数time,各时段对应的每个型号的台数
numl,num2,num3,num4.各时段对应的每个型号的功率pl,p2,p3,p4;
sets:
yongdian/1234567
8/:time,xuqiu,numl,num2,num3,num4,pl,p2,p3,p4;
endsets
!数据部分；
data:
time=26332442;
xuqiu=1800012000320002500036000250003000018000;
numl=0,
num2=0,
num3=0,
num4二0,
pi=o,
p2=0,,,,,,,;
p3=0,,,,,,,;
p4=0,;
enddata
!发电机型号集；
sets:
fadianji/1234/:gudingchengben,bianji,qidong,zxiao;
endsets
!数据部分；
data:
gudingchengben=2250180037504800;
bianji=2.72.21.83.8;
qidong=5000160024001200;
zxiao=750100012001800;
enddata
min=@sum(yongdian(I)II#le#7:
5000*(@ABS(numl(I+l)-numl(I))+(numl(I+l)-numl(T)))/2+((pl(I+l)-750)*2
.7+2250)*numl(1+1)*time(1+1)
+1600*(@ABS(num2(I+l)-num2(I))+(num2(I+l)-num2(I)))/2+((p2(1+1)-1000)
*2.2+1800)*num2(1+1)*time(1+1)
+2400*(@ABS(num3(I+l)-num3(I))+(num3(I+l)-num3(I)))/2+((p3(I+l)-1200)
*1.8+3750)*num3(1+1)*time(1+1)
+1200*(@ABS(num4(1+1)-num4(I))+(num4(1+1)-num4(1)))/2+((p4(1+1)-1800)
*3.8+4800)*num4(I+l)*time(I+l)
);
i妁束条件•
二时高段，求约束；
@for(yongdian(j)|jttgtftl:xuqiu=(numl*Pl+num2*P2+num3*P3+nuni4*P4)*A);
!当发电机数量为0时，该发电机功率也为0,需用全局求解；
@for(yongdian:pl=@if(numl#eq#0,0,pl));
@for(yongdian:p2=@if(num2#cq#0,0,p2));
©for(yongdian:p3=@if(num3#eq#0,0,p3));
@for(yongdian:p4=@if(num4#eq#0,0,p4));
!功率约束；
@for(yongdian:@bnd(750,pl,1750));
@for(yongdian:©bnd(1000,p2,1500));
@for(yongdian:©bnd(1200,p3,2000));
©for(yongdian:©bnd(1800,p4,3500));
!发电机数量为整数约束；
@for(yongdian:@gin(num!));
@for(yongdian:@gin(num2));
@for(yongdian:@gin(num3));
@for(yongdian:@gin(num4));
!发电机数量限制；
@for(yongdian:©bnd(0,numl,10));
@for(yongdian:@bnd(0,num2,4));
@for(yongdian:@bnd(0,num3,8));
@for(yongdian:©bnd(0,num4,3));
!结果表达；
data:
@text()=，结果表达'：
@text()=@write(，前一天最后一时间段发电机运行情况,,©newline(1),
'型号1运行’，numl(1),‘台‘，‘运行功率为‘，pl(1),@newline(l)
,'型号2运行’，num2(l),'台'，'运行功率为'，p2(l),©ncwline(l)
,'型号3运行'，num3(l),,台'，'运行功率为'，p3(1),©newline(1)
,'型号4运行',num4⑴，‘台','运行功率为'，p4(1),@newline(l)
，'该时段固定成本为‘，
2250*numl(1)*time(1)+1800*num2(1)*time(1)+3750*num3(1)*time(1)+4800*n
um4(l)*time(l),@newline(1)
，'该时段边际成本为‘，
(pl(l)-750)*numl(l)*2.7*time(l)+(p2(1)-1000)*nuni2(l)*2.2*time(l)+(p3(
1)-1200)*num3(1)*1.8*time(l)
+(p4(l)-1800)*num4(1)*3.8*time(l),@newline(l));
@text()=@writcfor(yongdian(i)|i#le#7:*在第'，i,'时间段
',@newline(l),
'型号1运行'，numl(i+D,'台','运行功率为
',pl(i+1),@newline(1)
,'型号2运行',num2(i+l)/台运行功率为
',p2(i+1),©newline(1)
,'型号3运行',num3(i+l)/台','运行功率为
',p3(i+l),@newline(l)
，'型号4运行'，num4(i+1),'台','运行功率为
',p4(i+l),©newline(1)
，'该时段固定成本为‘，
2250*numl(lU)*time(Iil)11800*num2(111)*time(111)13750*num3(IH)*tinie
(1+1)+4800*num4(1+1)*time(1+1),@newline(l)
，'该时段边际成本为‘，
(pl(l+l)-750)*numl(l+l)*2.7*time(l+l)+(p2(l+l)-1000)*num2(I+l)*2.2*ti
me(I+l)+(p3(I+1)-1200)*num3(I+1)*1.8*time(I+l)
+(p4(1+1)-1800)*num4(1+1)*3.8*time(I+l),@newline(l));
©text()=，';
©text()=@writc(,每天总固定成本为
',@sum(yongdian(I)II#le#7:2250*numl(1+1)*time(1+1)+1800*num2(1+1)*tim
e(1+1)+3750*num3(1+1)*time(1+1)+4800*num4(1+1)*time(1+1)),©new1ine(1)
)；
@text()=@write(，每天总边际成本为
',@sum(yongdian(I)|I#le#7:(pl(I+l)-750)*numl(I+l)*2.7*time(I+l)+(p2(I
+l)-1000)*num2(I+l)*2.2*timc(T+l)+(p3(I+l)-1200)*num3(I+l)*l.8*timc(I
+1)
+(p4(1+1)-1800)*num4(1+1)*3.8*time(1+1)),©newline(1));
enddata
end
附录二
程序一的运行结果:
第一天的运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:1468380.
Objectivebound:1468380.
Infeasibilities:0.000000
Extendedsolversteps:1
Totalsolveriterations:3701
结果表达
前一天最后一时间段发电机运行情况
型号1运行。台运行功率为0
型号2运行。台运行功率为0
型号3运行0台运行功率为0
型号4运行。台运行功率为0
该时段固定成木为0
该时段边际成本为0
在第1时间段
型号1运行1台运行功率为750
型号2运行4台运行功率为1362.5
型号3运行2台运行功率为2000
型号4运行1台运行功率为1800
该时段固定成本为130500
该时段边际成本为36420
在第2时间段
型号1运行2台运行功率为1750
型号2运行4台运行功率为1500
型号3运行8台运行功率为2000
型号4运行3台运行功率为2166.6667
该时段固定成本为168300
该时段边际成本为76500
在第3时间段
型号1运行2台运行功率为750
型号2运行4台运行功率为1425
型号3运行8台运行功率为2000
型号4运行1台运行功率为1800
该时段固定成本为139500
该时段边际成本为45780
在第4时间段
型号1运行2台运行功率为1750
型号2运行：4台运行功率为1500
型号3运行8台运行功率为2000
型号4运行3台运行功率为3500
该时段固定成本为112200
该时段边际成本为81400
在第5时间段
型号1运行2台运行功率为750
型号2运行4台运行功率为1425
型号3运行8台运行功率为2000
型号4运行1台运行功率为1800
该时段固定成本为186000
该时段边际成本为61040
在第6时间段
型号1运行2台运行功率为1300
型号2运行4台运行功率为1500
型号3运行8台运行功率为2000
型号4运行3台运行功率为1800
该时段固定成本为224400
该时段边际成本为75560
在第7时间段
型号1运行1台运行功率为750
型号2运行4台运行功率为1362.5
型号3运行5台运行功率为2000
型号4运行1台运行功率为1800
该时段固定成本为66000
该时段边际成本为20780
每天总固定成本为1026900
每天总边际成本为397480
VariableValue
A1.000000
TIME(1)2.000000
TIME(2)6.000000
TIME(3)3.000000
TIME(4)3.000000
TIME(5)2.000000
TIME(6)4.000000
TIME(7)4.000000
TIME(8)2.000000
XUQIU(1)18000.00
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XUQIU(3)32000.00
XUQIU(4)25000.00
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XUQIU(6)25000.00
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XUQIU(8)18000.00
NUM1(1)0.000000
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NUM1(4)2.000000
NUM1(5)2.000000
NUM1(6)2.000000
NUM1(7)2.000000
NUM1(8)1.000000
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NUM3(8)5.000000
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NUM4(3)3.000000
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Pl(1)0.000000
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P3(4)2000.000
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P4(1)0.000000
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P4(7)1800.000
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GUDINGCHENGBEN(1)2250.000
GUDINGCI1ENGBEN(2}1800.000
GUDINGCHENGBEN(3)3750.000
GUDINGCHENGBEN(4)4800.000
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QIDONG(2)1600.000
QIDONG(3)2400.000
QIDONGf4)1200.000
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ZXIAO(2)1000.000
ZXIAO(3)1200.000
ZXIAO(4)1800.000
RowSlackorSurplus
11468380.
20.000000
30.000000
40.000000
50.000000
60.000000
70.000000
80.000000
90.000000
100.000000
110.000000
120.000000
130.000000
140.000000
150.000000
160.000000
170.000000
180.000000
190.000000
200.000000
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