第二章 轨迹与方程

1、第二章第二章 轨迹与轨迹与方程方程主要内容：2.1、平面曲线的方程2.2、曲面的方程2.3、空间曲线的方程第一节 平面曲线的方程一、曲线与方程：定义定义2.1.1：当平面上取定了坐标系之后，如果一个当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：方程与一条曲线有着关系：（1）满足方程的）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；满足这个方程；则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。方程的图形。曲线的方程常表示为：曲线的方程常表示为：

2、F(x,y)=0 或或 y=f(x)二、曲线的向量式方程例例1、求圆心在原点，半径为、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。的圆的方程。解：向量式方程解：向量式方程 |OM|=R普通方程普通方程x2+y2=R2例例2、已知两点、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。的动点的轨迹。化为普通方程为化为普通方程为 xy=2 (x+y 2)故曲线为故曲线为yxoxy=2解：向量式方程解：向量式方程 |MA|-|MB|=4(2,2)B( 2, 2)A ( , )M x y1、向量函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的向径也随着当动点按某种规律运动

3、时，与它对应的向径也随着时间时间t t的不同而改变（模与方向的改变），这样的向径的不同而改变（模与方向的改变），这样的向径称为称为变向量变向量，记为，记为r(t)(t)。如果变数。如果变数t(at(a t t b)b)的每一个值的每一个值对应于变向量对应于变向量r的一个完全的值（模与方向）的一个完全的值（模与方向）r(t)(t)，则称，则称r是变数是变数t t的向量的向量函数函数，记为，记为r= =r(t) (t) (a(a t t b).b).2、向量函数的分量表示 设平面上取定的标架为设平面上取定的标架为O;O;e1 1, ,e2 2,则向量函数可则向量函数可表示为表示为r(t)=x(t)

4、(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b). b). （1 1）其中其中x(t),y(t)x(t),y(t)是是r(t)(t)的分量，它们分别是变数的分量，它们分别是变数t t的函数的函数。3、向量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).4、坐标式参数方程曲线 的参数方程常可以写成下列形式：)()()(btatyytxx称为曲线的坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某一值t0(at0b

5、)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的向量式参数方程，其中t为参数。表示的向径r(t)例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P的轨迹。解： 取直角坐标系，设半径为 a的圆在x轴上滚动，开始时点 P 恰在原点， 经过一段时间的滚动， 圆与直线的切点移到 A 点，圆心的位置移到C点，这时有r=OP=OA+AC+CP设=(CP,CA),于是向量CP对x轴所成的有向角为)2(), ( CPiPOraaxCyA则i cos()j cos()2(sin )i(cos )jCPaaaa 又因为|OA|=AP=a，所以OA=ai, AC=aj从而点P的向量式参数方程为r=a(-sin)i+a(

6、1-cos) （+）其坐标式参数方程为)()cos1 ()sin(ayax这种曲线称为旋轮线或摆线。xOyj例4 已知大圆的半径为 ，小圆的半径为 ,若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆上某一定点P的轨迹的方程。,称为内旋轮形线(或称内摆线)解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，取大圆中心O为原点，OA为x轴，过O点垂直于OA的直线为y轴，经过某一过程之后，小圆与大圆的接触点为B，并设小圆中心为C，那么C一定在半径OB上，有obao( ,),(,)()cos()sinrOPOCCPi OCCP CBOCi abj ab ( ,)aA BP Bbabbai C Pb CPb 由于

7、 ，所以c o ss inc o ss inbabaC Pibjbbbbaabibjbbb ()coscos()sincosa bra bbiba ba bbjb()coscos()sincos()abxabbbabyabbb 特殊地，当 应用公式曲线方程化为33cos33cos3cossin33sin4sin4ab33sincosayax()coscos()sincosabrabbibababbjb三三 曲线的参数方程曲线的参数方程rOPOBBP ( ,)i OB BP 设 那么( cossin )OBR ij ( ,)2i BP cos()sin()22( sincos )BPBARBPB

8、P ijRij cossinsincosxRyR( cossin )( sincos )(cossin )(sincos )rR ijRijRiRj三三 曲线的参数方程曲线的参数方程例6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。12222byax法一)(sincosbyax法二设y=tx+b,代入原方程得1)(2222bbtxax解得 22222, 0tabbtaxx在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取22222tabbtax从而222222)(tabtabby在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为)u(uab)uab(byuabbu2ax2222222222注：第二种解法中，

9、设y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需补上点(0,-b)，或把它看成当t时的交点。cos,sinxaybt22 222 2222 2,2a ba txba ttab tyba t 例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0) 为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程)(12122322 ttatytatx注1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如tttyttextarcsinsinlg2注

10、2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。一、曲线的方程一、曲线的方程 二、曲线的参数方程二、曲线的参数方程 三、常见曲线的参数方程三、常见曲线的参数方程.2.22.2 一一. 定义定义2.2.1: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有如下关系:(1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0;(2) 满足方程F (x, y, z) =0的(x,y,z) 在曲面S上那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo例

11、例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。解：垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为|AM|=|BM|用两点间的距离公式代入并化简可得：2x-6y+2z-7=0例例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是|y|=|x|即x+y=0 与 x-y=0(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程.特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方

12、程: x2 + y2 + z2 = R2 例3、求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R的球面的方程. 解：对于球面上任一点M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即 M0 M R解解设设),(zyxM是曲面上任一点，是曲面上任一点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为解: 原方程可改写为(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 的球面.5例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲

13、面?zxyo例例6 6 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程1 1、双参数向量函数、双参数向量函数在两个变数u,v的变动区域内定义的函数r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e

14、3 (2)称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变向量r(u,v)的分量，它们都是变数u，v的函数。当u,v取遍变动区域的一切值时，径矢OM= r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画的轨迹一般为一张曲面。Mozxy S2 2、曲面的向量式参数方程、曲面的向量式参数方程定义定义2.2.2：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2）表示的向径r(u,v)的终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的向径，而这向径可由u,v的值 (aub,cvd)通过（2

15、）完全决定，则称（2）式为曲面的向量式参数方程向量式参数方程，其中u,v为参数。因为向径r(u,v)的分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),所以曲面的参数方程也常写成)3(),(),(),(vuzzvuyyvuxx表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程坐标式参数方程。例例6 求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。 M RxyzPQ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy 坐标面上的射影为P，而P在x轴上的射影为Q，又设在坐标面上的有向角(i,OP)=,Oz轴与OM的交角zOM=，则r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k所以r=(rsincos )i +(rsinsi

16、n )j+ (rcos)k (4)此即为中心在原点，半径为r的球面的向量式参数方程。 QP=(|OP|sin)j=(rsinsin )jOQ=(|OP|cos )i=(rsincos )i中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为)5(cossinsincossinrzryrx（4），（5）中的，为参数，其取值范围分别是0与-。例7 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。 解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）此即为圆柱面的向量式参数方程。其坐标式

17、参数方程为)7(sincosuzRyRx（6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是-，-u+ 三三. .球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系 ,R),(3zyxM设),(其球坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,POM Moxyzz),( 则则022 coscos x sincos y sin z坐标面分别为常常数数 球面常常数数 半平面常常数数 锥面, OM令令),( M cos OM sin z1.1.球坐标系球坐标系Poxyz2. 柱坐标系柱坐标系,R),(3zyxM设,代代替替用用极极坐坐标标将将 yx),u （则则就称为点M 的柱坐标. u 0 sin yuz cos

18、 x直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常常数数 半平面常常数数 u平面o z),(zyxM|OM )0 ,(yx M作业 P8788 2（4） ， 3（3），4（3） 12( , )0(2.31)( , )0F x y zFx y z空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.因因此方程组（此方程组（2.31）表示）表示一条空间曲线一条空间曲线 的方程，的方程，xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空

19、间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 xozy1S2SC我们把它叫做空间曲线的一般方程我们把它叫做空间曲线的一般方程. .例例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的圆的方程。解：0) 1 (2222zRzyx0)2(222zRyx2222222)3(RyxRzyx00yxyx例例1、写出Oz轴的方程。解： Oz轴可看成两个平面的交线，如00yx或可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。22210 xyzz组样线？方方程程表表示示怎怎的的曲曲xO01222zzyx1222zyx例例4: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2

20、的交线是x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2一个圆, 它的一般方程是例例5: 方程组222222)2()2(ayaxyxaz表示怎样的曲线?解: 方程222yxaz方程.222)2()2(ayax它的准线xOy面上的圆, 圆心在点.2),0,2(aa半径为所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.（维维安尼曲线（维维安尼曲线Viviani）表示球心在原点O, 半径为a的上半球面.表示母线平行于z 轴的圆柱面将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.x = x (t)y = y (t) (2)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的坐标式参数方程.例例5: 如果空间一点如果空间一点 M 在圆柱面在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以上以角速度角速度 绕绕 z 轴旋转轴旋转, 同时又以线速度同时又以线速度v 沿沿平行于平行于z 轴的正方向上升轴的正方向上升(其中其中 ,v都是常数都是常数), 那末点那末点M 构成的图形叫做构成的图形叫做圆柱圆柱螺旋线螺旋线, 试建试建立其参数方程立其参数方程. 解解: 取时间取时间t为参数为参数, 设当设当