定性数据统计分析四格表

1、第三章 四格表22列联表什么是四格表【例3.1】为了解吸烟与肺癌的关系，选择63个肺癌患者和43个与肺癌患者年龄、性别和其他属性类似的健康人（对照组）进行研究，调查结果见表3.1。问总体中肺癌患者吸烟的比例是否比健康人吸烟的比例高？表3.1 对肺癌患者和对照组的调查结果吸烟 不吸烟吸烟比例%肺癌患者对照组 60 3 32 1195.274.4什么是四格表 上述检验问题可以一般化为： 其数据结构关系包括五个等式。 从略 有B 没有B合计有A没有A合计11n12n21n22n1n2n1n2nn四格表的抽样方式 根据四格表的边缘分布是否给定，可能的抽样方式有以下四种： 1、单侧给定，如 n1+ 和n

2、2+给定，则在四格中有两个随机变量，服从二项分布； 如：63个肺癌患者和43个对照组，属于行边缘分布给定的情况 2、总样本容量 n给定，则有三个随机变量，n11 , n12 , n21 , n22 服从多项分布； 如： Mendel豌豆实验，属于n给定的情况四格表的抽样方式 3、都不给定时， n11 , n12 , n21 , n22都是随机变量，通常假定它们服从Poisson 分布 如：某商店在某一天可能来的顾客数未知，顾客的性别以及有没有购买的情况，存在4个随机变量 男 女合计购买不购买合计11n12n21n22n1n2n1n2nn四格表的抽样方式 4、两侧都给定时，只有一个是随机变量，它

3、服从超几何分布。 如：假设100件产品中有8件次品，随机抽5件加以检验，问有多少件次品？ 对不同抽样方式下得到的四格表，其数据分析方法也有可能不同。 抽取 未抽取合 计不合格合格892合 计 5 9510011n12n21n22n属性之间独立与不相关 两个相互独立的随机变量一定不相关，但不相关不一定独立。 这里相关指线性相关 四格表中属性A与B相互独立等价于不相关。 根据前面的频数分布表可以得到概率四格表：X Y 有B(b1) 没有B(b2)合计有A(a1)没有A(a2)合计11p12p21p22p1p2p1p2p1属性之间独立与不相关 若以下等式成立，则称属性A和B相互独立。 该式包括： 且

4、有：,1,2ijijpp pi j，1111121221212222pp ppp ppppppp1111121221212222pp ppp ppppppp属性之间独立与不相关 在四格表中，独立等价于不相关。 可以通过考察随机变量X(属性A)与Y (属性B)的协方差知： 其中，a1,a2和b1,b2分别是属性A和B的分类(取值) 当A与B不相关时，有： 可见，四格表中属性A与B无关也就是相互独立。12121111ov(, )()() ( )()()()CX YE XYE X E Yaabbpp p111100ijijpp ppp p属性之间独立与不相关 在协方差的基础上，不难计算出随机变量X(

5、A)和Y(B)的方差，并得到它们的相关系数。 各自方差分别为： 则相关系数： 可见，四格表中属性间的关系与属性的赋值无关。2121221212()()( )()D Xaap pD Ybbp p11111212pp prp pp p单侧给定的四格表的检验 单侧给定时四格表中仅有两个随机变量，且服从二项分布 如：当n1+和n2+给定时，n11和n21分别服从： B(n1+,p1)和B(n2+,p2)，其中, 上例肺癌患者吸烟比例是否比对照组高，也即要求验证假设p1=p2还是p1p2.1121112112111111212pppppppppppppp12(|),(|)pP B ApP B A单侧给定

6、的四格表的检验 可见，原假设成立时，实际上是检验属性A与B相互独立或不相关。因此，四格表的检验有以下三种情况： 单侧给定的四格表检验，其实就是两总体的比例差的检验,区别仅在于使用的值不同，一个是样本比例，一个是观测频数。原假设H0备择假设H1有方向检验p1=p2p1p2p1=p2p1p2时， 公式1： 当备择假设为p1p2，统计量n11的抽样分布为超几何分布(P56)。 n11的概率含义具有属性B的个体中恰有n11个个体具有属性A的概率。两侧给定时的四格表检验 于是有， 故可以认为n11比较大时拒绝原假设，即认为p1p2。对给定的显著性水平，临界值c满足： 且c应尽可能的小。即11211211

7、1112121111122122(|)!( ,)!nnnnnnCCP XnXYnCnnnnHG n nnn nnnn11()P nc*11inf:()ccP nc两侧给定时的四格表检验 当备择假设为p1p2， 备择假设p11时，第一行(试验)“成功”的优势大于第二行(试验)，且前者是后者的倍，有12或p1p2；1122/(1)1=2/(1)oddsodds优势比的性质 当优势比1时，第一行比第二行更不容易“成功”，有12或p1p2； 值在给定方向离1越远，代表两个属性间的关联性越强； 如：优势比=4比优势比=2有更强的关联性； 再如：优势比=0.25比优势比=0.5有更强的关联性； 当一个值是

8、另一个的倒数时，它们具有相同的关联程度，只是方向相反。 如：当=0.25时说明第1行成功的优势是第2行的1/4倍；反过来，第2行成功的优势是第1行成功的优势的4倍。故行或列的排列顺序不影响关联程度。优势比的性质 当用联合概率表示时，称为交叉积比例 当两个属性独立时，有=1，则： 该形式即为四格表独立性的第三种表达形式 同理，如果用样本优势比来表示时，有：1112112221221221/ 11221221 11221221p pp p优势比的性质 样本优势比等于各行样本优势的比. 当两个变量相互独立时，有 ，等价地有： 优势比与相对风险的联系： 当p1和p2都接近于0时，优势比和相对风险取值相

9、近。1122122111221221p pp pn nn n1112221/(1)1/(1)1pppoddsrelativeriskppp111112112222212212211122112212211221/(1)/(1)/ppppp pppppp pnn nnn nnn nnn n优势比与对数优势比的推断 在样本容量不是充分大的情况下，优势比的样本分布通常有强烈的偏倚性； 为此优势比的统计推断使用对数优势比； 此时，独立性对应于：当=1时，ln=0；故对数优势比关于0对称； 颠倒行或列的排列顺序仅改变对数优势比的符号，两个对数优势比除符号外相同时代表相同的关联程度。 如：ln(2)=0.

10、7和ln(0.5)=-0.7，代表了相同的关联程度。四格表的优比检验法 基于优势比的性质，四格表的检验可以转化为优比的检验问题。 已知样本优势比 的抽样分布为： 在原假设=1成立时，将其标准化后有：111221221111(lnln ) (0,)nNpppp11122122ln(0,1)1111UNnnnn222211122122(ln )(1)1111Unnnn四格表的优比检验法原假设备择假设P-值111111(0,1)()P NUU (0,1)( )P NUU 22(1)P四格表的优比检验法【例3.8】用优比检验法检验例3.10111221221:1,:160 1111116.875,0.

11、47232 36032311ln2.81()0.0025HHn nan nUaU 肺癌与吸烟相互独立，肺癌患者吸烟比例高经查，p=，故认为肺癌患者吸烟比例高。边缘齐性检验 用于当四格表的两种属性相互不独立(相关)时； 边缘齐性检验就是检验边缘概率是否相等。【例3.9】 此类问题的原假设应为：H0:p1+=p+1 当原假设成立时，可以得出： 此时，称四格表有对称性。故对四格表而言边缘齐性检验和对称性检验等价。 边缘齐性检验的卡方统计量：111211111121pppppppp222212211221()()(1)ijijijnnpnnnpnn边缘齐性检验 按照ML估计法得到pij的估计值，代入卡方统计量即得上式。 将这一卡方检验特称为McNemar 2检验 似然比统计量：1111222212211221/ ,/()/ 2pnn pnnppnnn212211221122112212ln2ln()2lnln22ijijijnpGnnnnnnnnnn 边缘齐性检验 经计算前例的统计量值和P-值分别为：22222(5238)2.17785238(