云南省昆明市2022届高三理科数学三诊一模试卷及答案

1、秘密启用前【考试时间：5月9日15 : 00-17 : 00】昆明市2022届“三诊一模”髙考模拟考试理科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在 答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

2、一 项是符合题目要求的。1. 己知集合 J = x|y = ln(x-1),集合5 = -1，0，1，2,3，则 AB =A. 2,3B. -1,0C. 0,1D. 1,22. 已知复数z满足z + ? = 2,且(z-z)-i = 4,则|z| =A.B. V3C. 2D. V53. 为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对体 育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级某次体育测试成绩的样本频率分布表：500名髙三学生体育成绩的频率分布表分组70,75)75,80)80,85)85,90)90,95频率0.10.150.40.250.1该次髙三年级体育测试成绩中

3、位数的估计值位于区间A. 75,80)B. 80,82.5)C. 82.5,85)D. 85,90)理科数学试卷第丨页(共8页)A. 1B. 1C. eD. e理科数学试卷第3页(共8页)4. 已知数列aj是首项为1的等比数列且q，2巧，成等凌数列，则a5 =A.112丄16B.1 - 8C.丄32D.5. 执行如图所示的程序框图，若输入的9 = 0，k = ,则输出的灸=a. 4CEE3/愉入从/I :I7. 四边形乂SCD 中，AB/DC, AB = 3, DC = 2, ZABC = 90° ,则(AC + BD)AB =A. 2B. 1C. 4D. 38. 双曲线C：4-p-

4、 = 1 (a>0, 6>0)的左、右焦点分别为F2, 4是C上一点，满7足且.则C的离心率为x x0 若方程f(x) = aex有两个不相等的实数根，则实数a的取值 一欠义<范围为A.(去，袱)B. (0,去)C. (-co,-)D.(-去，0)10. 一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间 的距离叫做球台的髙.如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，己知杯底的直径为2cm,杯口直径为4>/5cm,杯的深度为则该卧足杯侧面所在球面的半径是A. 5cmB. 2y6 cmC.25cm 4图】D.13一cm

5、 211.已知抛物线C: /=4x的焦点为尸，准线与*轴的交点为P,过点尸的直线与C交于A, B两点,且|必卜设直线相的斜率为灸，则|叫=4 I 3c.D. 212.对于函数/(x) = ex + alnx (aeR),有下列四个论断： /(x)是增函数 /C0是奇函数 /C0有且仅有一个极值点若其中恰有两个论断正确，则口 =二、填空题.：本题共4小题，每小题5分，共20分。 -xy + Qt13.14.已知x，y满足x + y-30,则z = x-_y的最小值为. 戎3,若(x + -)n (nN-)的展开式中存在x2项，且x2项的系数不为0,则”的值可以是 .(写出满足条件的一个n的值即可

6、)15. 某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，路途用时4 (单位：min)服从正态分 布(5,1)；第二条路线较长但不拥挤，路途用时2 (单位：min )服从正态分布AT(6,0.16).若有一天他出发时离上班时间还有7min,则P(X2<7)-P(7) =. (精确到0.0001 )(参考数据：P(/z-a+ a) = 0.6826,-1.5cr<+1.5a) = 0.8664，P(戸-2a<+ 2a) = 0.9544, P(/一2.5a<+ 2.5a) = 0.9876，P(ji-3a<+ 3a) = 0.9974 )16. 记数列(2n-l)-siny

7、的前n项和为则么= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共60分。17. (12 分)®b2+c2+bc = a2,cosC + ccos5 = 2V7两个条件中选择一个补充到题目中，完 成下列问题：在MC中，角A，B，C所对的边分别为a, b, c,已知b = 2, c = 4,且 .(1) 求乂SC的面积：(2) 若2)是线段的中点，求必的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. (12 分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面刈为平行四

8、边形，E，F, G分别是棱AB，AP PD的中点.(1) 证明：尸C/平面五FG:(2) PC = PD = CD = 2y/2 f AC = AD = AP = 2f求尸£与平面五FG所成角的大小.理科数学试卷第7页(共8页)19. （12 分）中共半永国务k关:深又打J?污染防治攻坚战的意见提出“构建智想商效的生态环 境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计棘等新信息技术在生 态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化.某科技公司开 发出一款生态环保产品.已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环 保产品，每1件亏

9、损0.2万元.根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在155,205（单 位：件）内取值，将月需求量区间平均分成5组，以各组区间的中点值代表该组的月需求量， 得到频率分布折线图如下：月需求S（1）请根据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差（2）以频率分布折线图的频率估计概率，若该公司计划环保产品的月产量180,190, WeNa （单位：件），求月利润y （单位：万元）的数学期望的最大值.（参考数据：Jx/p, =32850, x,是各组区间中点值，凡是各组月需求量对应的频率， Ml/=1， 2, 3, 4, 5）20. (12 分己知椭圆C: + - = l(«

10、;>/>>0)的左、右焦点分别为Flt左顶点为水-2,0)，离 心率为2(1) 求C的方程；(2) 若直线/: y = k(x + )(女*0)与C交于2)，E两点，线段乂D, d五的中点分别为尸， Q-设过点巧且垂直于x轴的直线为r,若直线ap与直线r交于点直线ag与直 线/'交于点r,求反布.21. (12 分)(1) 不等式f(x)£a在(0，p上恒成立，求实数a的最小值；(2) 函数g(x) = |x-ez-/(x) + e-记在xe(nt2n)上的最大值为M,证明: ，5兀V36 2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。并用

11、2B铅笔在答题卡选 考题区域内-把所选的题号涂黑。如果多做，.则按所做的第一题计分。22. 选修4-4:坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xQr中，曲线c：P = 1 + C0 （炉为参数），曲线C2:x + y = 3f以 （y = sin证明：+.O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C,与&的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线0 = a （0<a<）与曲线C, C2分别交于点J，B （异于极点）， 若OA-OB = 3,求a 的值.23. 选修4-5:不等式选讲（10分 b , c均为正数，且a +办+ c = l.（1）求- + -A-的最

12、小值：a b + c理科数学试卷第8页（共8贝昆明市2022届“三诊一模”高考模拟考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案ADCBCCDBBAAC二、填空题13. -114. 2 (满足w = 3 + 2(eN)的都可以)15. 0.016616. -24(72 +1)三、解答题17. 解：选b2 +c2 + be = a2 ：(1) 由 b2 +c2 + be = a2 得：cos J = - » 所以 A =,23贝1J S么ABC =bcsin A = 23 .6 分(2) 因为Z)是 SC 中点，filfW =+JC),1 2*2* II

13、442所以AD =忑.12分选bcosC + ccQsB = 2/l :(1) 由 bcosC + ccosB = 2/l 得：a =，所以cosJ= =-丄，A = »2bc23贝U S么ABC =去办t.sin A = 2/3 .6 分(2) 延长至石，使得AD = DE,连接EC，贝IJJD' =-(AB' + AC +2JB-JC) = -(16 + 4-2x2x4x-) = 3 ,因为Z)是5C中点，所以ABEC为平行四边形，则BE = 2, ZABE = AE = AB2 + BE2-2 AB- BE cosy = 2 >/3 , AD = y/i

14、. 12 分18. 解：(1)因为五，F , G分别是棱AB，AP ,尸£的中点，所以FE/PB, GF/AD,又因为底面ABCD为平行四边形，所以AD/BC ,则GF/BC. 3分因为GFCGE = G，PBCBC = B f所以平面PBCH平面W(7，又尸Cc平面PBC ,所以PC/平面.6分(2)因为 PD = >l2AD = s2AP .所以 PD2 = AD2 + AP2,则 R4 丄 AD， 同理：尸/!丄AC, /1C丄AD,以d为坐标原点建立如图坐标系： .AC = AD = AP = 2,理科数学参考答案及评分标准第5页（共6页故PD与平面EFG所成角为;.1

15、2分6故PD与平面EFG所成角为;.12分619. 解：(1)由题，得x = 160x0.05+ 170x0.2+ 180x0.4 +190x0.3 +200x0.05 = 181.3 分s= Yax<Pi 无2 = 32850-1812=89.6 分/=!或52 =艺( -x)2p. =(160-181)2x0.05 + (170-181)2 x0.2 + (180-181)2 x0.4 1=1+(190 -181)2 x 0.3 + (200 一 181>2 x 0.05 = 89.（2）设月需求量为A/，由题意知，A/的所有可能值为160，170，180, 190，200,

16、则M的分布列如表所示M160170180190200尸0.050.20.40.30.05Sl80<w<l90,若月需求量为160，则y = 96-0.2心若月需求量为170,则r = 102-0.2/7；若月需求量为180，WiJr=108-0.2w；若月需求fi为190或200,则Y = 0Axn.故 EY = (96 0.2w) x 0.05 + (102 - 0.2") x 0.2+ (108 - 0.2w) x 0.4 + 0.4« x 0.35 = 68.4 + 0.01” II分所以 £YS70.3.综上，当/7 = 190时，月利润y的数

17、学期望取得最大值70.3 （万元）.12分20. 解：（1）由题，可知a = 2，c = 4l ,则办=a1 -c2 = y/2，所以椭圆c的方程为4+-=i-42(2)设点Dyx). E(x2,y2),则由y = k(x + x2+2/-4 = 0,(2k2 + )x2 + 4k2x + 2k2-4 = 0,且A>0,则有X + x2 =-4k22k2+2A-2-42k2+ 由于/': x = -4i，所以 s（-二），同理可得 r（-乃，二）. x-2x2-2由于 (a/2,0),所以_ = (-2及含.(-2及舍=8 +2”2(x,-2)(x2-2)=8+ 初2 =8+ 2

18、2(x,+I)(x2 + 1) = 8+(i -2)(-2)(x, -2)(x2 -2)平2-2(x, +x2) + 4，2人 2(2人2-4-42+2女2 + 1)23_=o + 122k2-4 + 4k2 -2 + Sk2 +4321.(l)解:f'W =cosx-smxex，/WO, 0<x< /wo,n7i<x<,42肋=/(枷$上单凋递增，在上单凋递减.故/(x)舰/()= A,因为不等式f(x)<a恒成立，所以2c是.所以a的最小值为$ 2d则当 XG(7t,时，cosx<0 ,所以 g'(x) = j-cosx e_I+e、去-

19、e、0;当xe学，2n)时，cosx>去，所以gr(x) = -cosx-e-* <0 ；当xe(-,)时，设h(x) = g'(x), h'(x) = sinx + ex ,可知sinx<-,2322-x -11>e 2所以h'(x)<0, /)在(_，_)上单调递减，即(4在(_，_)上单调递减.又e<0,所以当Xe(7C，27C)时，存在唯一的X0G(y,y),使得g'(Xo) = O:当 xG(n,x0)时，g'(x)>0; xe(x0,2n)时，g(x) < 0 ,所以g(x)在(7)上单调递增：在(x0,2n)上单调递减，贝'JWM = g(x()>g() = + - + e_T >今 +辱.12 分3 o 2o 222. 解：(1) 曲线C,的普通方程为(x-1)2+/=l ,即?+/-2x = 0,所以曲线C,的极坐标方程为-2pcos7 = 0，即p = 2cqsO .曲线C2:x + y = 3的极坐标方程为pcos + psin = 3 .