点的合成运动

1、第七章第七章 点的合成运动点的合成运动Resultant Motion Of a ParticleComposite Motion Of a ParticleKinematics of Relative Motion基本问题：基本问题：（1）动点）动点M同时相对于两种不同参考系的运动同时相对于两种不同参考系的运动及相互关系；及相互关系；（2）动点的任意运动分解为简单运动的合成。）动点的任意运动分解为简单运动的合成。7 1 合成运动的基本概念合成运动的基本概念一、运动的相对性一、运动的相对性ABvu(1) 天车梁起吊重物天车梁起吊重物地面上的人：地面上的人： 任意曲线运动；任意曲线运动；小车上的

2、人：小车上的人： 向上直线运动。向上直线运动。(2) 汽车轮子上点汽车轮子上点 M 的运动的运动地面上的人：地面上的人： 轨迹为旋轮线；轨迹为旋轮线；汽车上的人：汽车上的人： 绕绕 O 点圆周运动。点圆周运动。(3) 小球小球 M在管上在管上 的运动的运动地面上的人：地面上的人： 任意曲线运动；任意曲线运动；管子上的人：管子上的人： 沿沿OA的直线运动。的直线运动。u二、一个动点、两种参考系、三种运动二、一个动点、两种参考系、三种运动u（1）动点动点M：ABvuM可以是某一小物体，也可以可以是某一小物体，也可以是刚体上的一点。是刚体上的一点。（2）两种参考系）两种参考系：静参考系静参考系： 固

3、定于地面或相对于地面固定于地面或相对于地面静止的参考系，静止的参考系，Oxyz ；xyxy 动参考系动参考系：相对于地面有运动的参相对于地面有运动的参考系。考系。zyxOxyOxy（3）三种运动）三种运动：绝对运动绝对运动：动点动点M相对于静系的运动相对于静系的运动；动点相对于静系的轨迹动点相对于静系的轨迹 绝对轨迹绝对轨迹相对运动相对运动：动点动点M相对于动系的运动相对于动系的运动；动点相对于动系的轨迹动点相对于动系的轨迹 相对轨迹相对轨迹牵连运动牵连运动： 动系动系相对于相对于静系静系的运动的运动；绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对

4、轨迹（平动、定轴转动等）（平动、定轴转动等）注：注：绝对运动绝对运动、相对运动是动点相对于不同参相对运动是动点相对于不同参考系运动。（考系运动。（直线运动、曲线运动直线运动、曲线运动等）等）二、一个动点、两种参考系、三种运动二、一个动点、两种参考系、三种运动u（1）动点动点M： A moving particleABvuM（2）两种参考系）两种参考系：静参考系静参考系： Fixed (static) reference system(frame)xyxy 动参考系动参考系： Moving reference system(frame) Kinematic Frames of Reference

5、xyOxy（3）三种运动）三种运动：绝对运动绝对运动： Absolute motion相对运动相对运动：relative motion 牵连运动牵连运动： Convected (embroil) motion绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹 transportation motion三、三种速度和加速度三、三种速度和加速度特殊情况：特殊情况：（1）若无牵连运动，）若无牵连运动， 绝对运动绝对运动 = 相对运动相对运动（2）若无相对运动，）若无相对运动， 绝对运动绝对运动 = 动系上点的运动动系上点的运动绝对运动绝对运动 = 相对运

6、动相对运动 + 牵连运动牵连运动合成运动ABvuMxyxyO绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹uxyxy绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹1. 相对速度相对速度 和相对加速度和相对加速度 ；rvrararv 动点动点M相对于动系的速度；相对于动系的速度；（沿相对轨迹的切线沿相对轨迹的切线） 动点动点M相对于动系的加速度；相对于动系的加速度；nrrraaa若相对轨迹已知若相对轨迹已知，dtdvarrrrnrva2uxyxy绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹ABvuMxyxyO绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹2. 绝对速度绝对速度 和绝对加速度和绝对加速度 ；avaaaaav 动点动点M相对于静系的速度

7、；相对于静系的速度；（沿绝对轨迹的切线沿绝对轨迹的切线） 动点动点M相对于静系的加速度；相对于静系的加速度；3. 牵连速度牵连速度 和牵连加速度和牵连加速度 ；evea牵连点：牵连点：某瞬时动系上与动点某瞬时动系上与动点 M 重合的点重合的点 ，M牵连点牵连点 位置随动点位置随动点 M 的相对运的相对运动而变化，为动而变化，为瞬时点瞬时点。M称为称为该瞬时该瞬时动点动点M的牵连点。的牵连点。注：注：eaev 某瞬时牵连点某瞬时牵连点 的速度；的速度；M 某瞬时牵连点某瞬时牵连点 的加速度；的加速度；M 某瞬时牵连点某瞬时牵连点 的运动轨迹；的运动轨迹；M牵连轨迹：牵连轨迹：（瞬时轨迹，变化的轨

8、迹。为假想没有相对运动时动点的轨迹）（瞬时轨迹，变化的轨迹。为假想没有相对运动时动点的轨迹）MxyOxy例例1： 设设 = 常数常数，u = 常数，求图示瞬时动常数，求图示瞬时动点点M的牵连速度和牵连加速度的牵连速度和牵连加速度 。牵连点：牵连点：MOA杆上与动点杆上与动点M重合的点重合的点 。M OMMOveev00 OMMOae22 OMMOaneea例例2：重物重物 M 的牵连速度与牵连加速度的牵连速度与牵连加速度Mvve 小车的速度小车的速度vv eABvuMxyxyO绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹aaaeaa e 小车的加速度小车的加速度结论：结论：1、当动系作平动时、当动系作平动

9、时， 、 为该瞬时动系为该瞬时动系任一点任一点速度和加速度。速度和加速度。evea2、当动系作转动时、当动系作转动时， 、 必须必须为该瞬时为该瞬时牵连点牵连点的速度和加速度。的速度和加速度。evea例例3：直角曲杆直角曲杆 OAB 以角速度以角速度、角加速度、角加速度 绕绕O 轴轴转动，从而带动滑块转动，从而带动滑块M在水平槽内运动。在水平槽内运动。若取若取动点：动点： 滑块滑块M ；动系：动系： 固结于曲杆固结于曲杆OAB上。上。求：该瞬时动点求：该瞬时动点 M 的牵连速度的牵连速度和牵连加速度。和牵连加速度。牵连点：牵连点：xy曲杆曲杆 OAB上的上的 点点MM该瞬时该瞬时牵连点的轨迹为

10、：牵连点的轨迹为： 以以 OM 为半径的圆。为半径的圆。牵连轨迹的切线牵连轨迹的切线牵连轨迹的法线牵连轨迹的法线evxyM牵连轨迹的切线牵连轨迹的切线牵连轨迹的法线牵连轨迹的法线 OMMOveeaena OMae2 OMaen例例4：图示系统，图示系统，= 常数，若取：常数，若取：动点：动点： 物块物块M ；动系：动系： 固结于轮固结于轮O上（定轴转动）。上（定轴转动）。求：该瞬时动点求：该瞬时动点 M 的牵连速度和的牵连速度和牵连加速度。牵连加速度。牵连点：牵连点： 动系上的与物块动系上的与物块M 重合的点重合的点Mxy)(M 以以 OM 为半径的圆。为半径的圆。该瞬时该瞬时牵连点牵连点 的

11、轨迹为：的轨迹为： M ev22RLOMveeneaa 2222RLOMaaene例例5：图示曲柄导杆机构。已知：曲柄的图示曲柄导杆机构。已知：曲柄的角速度、角加速度。角速度、角加速度。（1）绝对速度和绝对加速度）绝对速度和绝对加速度动点动点: 滑块滑块 M ;动系动系: 固结于导杆固结于导杆CD 上。上。试分析试分析: 绝对速度、相对速绝对速度、相对速度、牵连速度和相应的加速度。度、牵连速度和相应的加速度。绝对轨迹的切线绝对轨迹的切线绝对轨迹的法线绝对轨迹的法线av绝对轨迹的切线绝对轨迹的切线绝对轨迹的法线绝对轨迹的法线aaana例例5：图示曲柄导杆机构。已知：曲柄的角图示曲柄导杆机构。已知

12、：曲柄的角速度、角加速度。速度、角加速度。动点动点: 滑块滑块 M ;动系动系: 固结于导杆固结于导杆CD 上。上。试分析试分析: 绝对速度、相对速度、绝对速度、相对速度、牵连速度和相应的加速度。牵连速度和相应的加速度。C相对轨迹的切线相对轨迹的切线相对轨迹的法线相对轨迹的法线（2）相对速度和相对加速度）相对速度和相对加速度rv相对轨迹的切线相对轨迹的切线相对轨迹的法线相对轨迹的法线Crarna（3）牵连速度和牵连加速度）牵连速度和牵连加速度M（牵连点：（牵连点：导杆导杆CD上上与与M 重合的点重合的点 ）M该瞬时牵连点的轨迹该瞬时牵连点的轨迹evea 试说明下述情况中的绝对运动、相对运动和牵

13、连运动。同时画出图示试说明下述情况中的绝对运动、相对运动和牵连运动。同时画出图示课课堂堂练练习习va= v1ve= v2vr7 2 速度合成定理速度合成定理 ()一、速度合成定理一、速度合成定理动点：动点： 小球小球 M；动系：动系： 固结于铁丝固结于铁丝 AB 上；上；: t: ttAB)(mMm动点动点动系动系牵连点牵连点1M11BA1m绝对轨迹绝对轨迹相对轨迹相对轨迹牵连轨迹牵连轨迹MM1 动点的绝对位移动点的绝对位移m1M1 动点的相对位移动点的相对位移mm1 牵连点的位移牵连点的位移位移关系：位移关系：1111MmmmMM两边除以两边除以t ，并取，并取t 0 的极限：的极限：tMm

14、tmmtMMttt1101010limlimlimavevrvreavvv同一瞬时，动点同一瞬时，动点 M 的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。(牵连位移牵连位移)二、速度合成定理的应用二、速度合成定理的应用几点说明：几点说明：（1）定理适用于定理适用于牵连运动为任何运动牵连运动为任何运动（如：平动、定轴转动、复杂运动等）（如：平动、定轴转动、复杂运动等）（2）包括两个代数方程，可求解两个未知量。包括两个代数方程，可求解两个未知量。reavvv大小：大小： 方向：方向： （3） 求解方法求解方法几何法：几何法：由速度平行四边形中的三角关系求解。由

15、速度平行四边形中的三角关系求解。解析法：解析法：选一投影坐标系，将矢量方程变为两投影方程求解。选一投影坐标系，将矢量方程变为两投影方程求解。reavvv同一瞬时，动点同一瞬时，动点 M 的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。速度合成定理速度合成定理例例6：M车厢以匀速车厢以匀速v1 = 5m/s水平行驶，途中遇雨，雨滴水平行驶，途中遇雨，雨滴M 铅垂下落。而车厢中观察支的雨滴铅垂下落。而车厢中观察支的雨滴M 的速度方向却的速度方向却向后偏斜，与铅垂线成夹角向后偏斜，与铅垂线成夹角30。试求雨滴。试求雨滴 M 的绝的绝对速度。对速度。解：解：（1）恰

16、当地选取动点与动系；）恰当地选取动点与动系；原则：原则：(a) 使动点有相对运动；使动点有相对运动；(b) 动点的相对轨迹明显。动点的相对轨迹明显。 动点和动系须不在同一物体上动点和动系须不在同一物体上动点：动点： 雨滴雨滴M；动系：动系： 固结于车厢上（平动）固结于车厢上（平动）；静系：静系： 固结于地面。固结于地面。（2）分析三种运动；）分析三种运动；Oyxoxy绝对运动：绝对运动： 铅垂向下的直线运动；铅垂向下的直线运动；相对运动：相对运动： 与铅垂方向成与铅垂方向成30的斜向运动；的斜向运动；牵连运动：牵连运动： 随车厢向左的直线随车厢向左的直线平动平动。（3）分析三种速度，作出速度平

17、行四边形；）分析三种速度，作出速度平行四边形；reavvv大小：大小： ？ ？方向：方向： av1vv erv（4）由三角关系求出未知量；）由三角关系求出未知量；30coteavv )m/s(66. 835注意：注意： va 必须为平行四边形的对角线。必须为平行四边形的对角线。 例例7：刨床的急回机构。已知：刨床的急回机构。已知： = 常数，常数，OA = r ， OO1 = l。试求：试求：（1）曲柄）曲柄 OA 处于水平时，处于水平时，?1BO（2）此时滑块相对于滑槽的速度。）此时滑块相对于滑槽的速度。解：解：动点：动点：动系：动系： 滑块滑块A 固结于摇杆固结于摇杆O1B 上（定轴转动）

18、上（定轴转动）xy三种运动：三种运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动： 滑块滑块 A 以以 r 为半径的为半径的圆周运动圆周运动； 沿滑槽沿滑槽O1B 方向的方向的直线运动直线运动；牵连运动：牵连运动： 随摇杆随摇杆 O1B 绕绕 O1 的的定轴转动定轴转动。三种速度分析及速度三种速度分析及速度 合成平行四边形：合成平行四边形：Aavevrvreavvv大小：大小： ？ ？方向：方向： rva 已知已知sinaevv cosarvv 22sinrlr22cosrll222rlrve22rlrlvr22211rlrAOveBO转向由转向由ve 的方向确定的方向确定 逆时针转向逆时针转向。

19、方向如图方向如图讨论：讨论：（1）凡是带有滑槽、滑块的机构，凡是带有滑槽、滑块的机构，动点：动点： 滑块滑块动系：动系： 固结于带有固结于带有滑槽滑槽的构件上的构件上（2）带有套筒的机构，带有套筒的机构，动点：动点：动系：动系： 固结于套筒所套的构件上固结于套筒所套的构件上套筒套筒evavrvevavrvevavrvevavrvevavrvCOABCO1O3rA例例8：图示凸轮机构。已知凸轮以角速度图示凸轮机构。已知凸轮以角速度 绕轴绕轴 O 转动。转动。设在图示瞬时设在图示瞬时OA = h，凸轮轮廓线在，凸轮轮廓线在 A 处的法线与处的法线与OA 成成 角。试求顶杆角。试求顶杆 AB 运动的

20、速度。运动的速度。解：解：动点：动点：动系：动系： 顶杆顶杆 AB 上的上的 A 点；点； 固结于凸轮固结于凸轮O上（定轴转动）上（定轴转动）三种运动：三种运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动： 沿凸轮表面的沿凸轮表面的曲线运动曲线运动；牵连运动：牵连运动： 随凸轮随凸轮 绕绕 轴轴O 的的定轴转动定轴转动。三种速度分析及速度三种速度分析及速度 合成图：合成图：reavvv大小：大小： ？ ？方向：方向： 沿沿AB 方向的方向的直线运动直线运动；tantanhvvearvevavhveCO1O3rA2vavrvereavvvrv a)90sin(2sinaevv51/11COveAOr

21、vv510sin2ae大小：大小： ？ ？方向：方向： 例例10：图示图示往复式送料机往复式送料机。已知轮。已知轮O 以角速度以角速度 绕绕轴轴 O 转动，并由轮上销钉转动，并由轮上销钉A 带动构件带动构件 BC 和和料车料车 D 运动。设运动。设OA = r，图示瞬时，图示瞬时OA与铅垂与铅垂线线 成成 角。试求料车角。试求料车 D 的速度。的速度。解：解：动点：动点：动系：动系： 轮上销钉轮上销钉 A ； 固结于构件固结于构件BC上（直线平动）上（直线平动）三种运动：三种运动：绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动： 沿滑槽的上下沿滑槽的上下直线运动直线运动；牵连运动：牵连运动： 随构件随

22、构件BC的水平直线的水平直线平动平动。 以以OA为半径的为半径的圆周运动圆周运动；三种速度分析及速度三种速度分析及速度 合成图：合成图：reavvvavevrv大小：大小： ？ ？方向：方向： rva 已知已知coscosrvvae因为因为BC构件作平动，所以有构件作平动，所以有DeCvvvcosrvD例例11：解：解：动点：动点：动系：动系： 小环小环M ； 固结于半圆环上（曲线平动）固结于半圆环上（曲线平动）三种运动：三种运动：沿半圆环的沿半圆环的圆周运动圆周运动；绝对运动：绝对运动：相对运动：相对运动：牵连运动：牵连运动：随半圆环随半圆环曲线平动曲线平动。 未知的未知的曲线运动曲线运动；

23、三种速度分析及三种速度分析及 分析图：分析图：平行机构平行机构O1ABO2与一半圆环铰接于与一半圆环铰接于A、B 两点，如图所两点，如图所示。小圈示。小圈 M 相对于半圆环的弧坐标为相对于半圆环的弧坐标为s 。设。设O1A = O2B = 200 ，R =160， ， 。试求当时间试求当时间t =2s时小圈时小圈 M 的位置及速度大小。的位置及速度大小。)rad(48/53t)mm(102ts当当t =2s时：时：)mm(40),rad(6/5s4/160/40/RsrvAvevavreavvv大小：大小： ？ 方向：方向： ？ 16/520021tAOvvAe)mm/s(250|s2tev)

24、mm/s(40|20s2trtdtdsv由余弦定理得：由余弦定理得：)cos(222rereavvvvv)mm/s(763avSample problem 12AB moves upward with constant speed u, when it begins moving, 0. 0. Compute the speed of point D when /4, /4, the dimensions are denoted on the figure.raesolution3. Use the equation to solve the unknowns:raereavvve45cosv

25、ululuOAv22)2/2(elbubvD21. Chose the proper MP and DFAMP, ODDF;2. Draw the diagram of velocitiesxyavrvev45 Project on axis y:uv22eeABOC RsolutionStep 2 Draw the diagram of velocity:Step 3 Compute the unknowns. Sample problem 13Step 1 chose proper MP and DF:MP: point BDF: circular plate A circular pla

26、te rotates about a fixed point O, the angular velocity and linear eccentricity (偏心距偏心距) e are known, compute the speed of lever ABtaneavv 22eReveevavrv7 3 牵连运动为平动时的加速度合成定理牵连运动为平动时的加速度合成定理问题的提出：问题的提出： 速度合成定理：速度合成定理： 与牵连运动的形式无关，适用于牵连运动与牵连运动的形式无关，适用于牵连运动为任何形式的运动。为任何形式的运动。reavvv而三种加速度之间的关系与牵连运动的形式密切相关，不

27、而三种加速度之间的关系与牵连运动的形式密切相关，不同形式的牵连运动（平动、定轴转动等），三种加速度之间的关系是不同的。同形式的牵连运动（平动、定轴转动等），三种加速度之间的关系是不同的。xyz相对轨迹相对轨迹一、相对速度一、相对速度 与相对加速度与相对加速度rvrakjirzyx)(),(),(tzztyytxxr 相对矢径相对矢径相对运动方程相对运动方程相对速度：相对速度：kjirv zyxdtdr相对加速度：相对加速度：kjikjia zyxvvvrzryrxr 当相对轨迹为已知时当相对轨迹为已知时rrrnrrvadtdva2,两者的计算与绝对速度两者的计算与绝对速度 、绝对加速度相同。、

28、绝对加速度相同。二、牵连运动为二、牵连运动为平动平动时的加速度合成定理时的加速度合成定理相对轨迹相对轨迹设动系设动系 作作平动平动，xyzoOa动系原点的速度动系原点的速度和加速度为：和加速度为：Ov则有：则有：Oe vvOe aa由速度合成定理，有由速度合成定理，有reavvvkjiv zyxO将上式两边对时间求导，有将上式两边对时间求导，有kjivv zyxdtddtdOa dtdzdtdydtdxkji由于动系作平动，因而有由于动系作平动，因而有0dtddtddtdkji(b)因此，式因此，式(b)成为成为rOaaaa(a)(c)再考虑到式再考虑到式(a)，(c) 成为成为:reaaaa

29、 牵连运动为平动时加速牵连运动为平动时加速度合成定理。度合成定理。表述为：表述为： 若动系作平动，则动点的若动系作平动，则动点的绝对加速度等于它的牵连加速绝对加速度等于它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。度与相对加速度的矢量和。OaOvearaaa几点说明：几点说明：（1） 只适用于牵连运动为平动的情形。只适用于牵连运动为平动的情形。若牵连运动不为平动，则：若牵连运动不为平动，则：rreedtddtddtdavavi, 0（2） 当动点的绝对、相对和牵连点的轨迹均为已知曲线时，则加速度合成当动点的绝对、相对和牵连点的轨迹均为已知曲线时，则加速度合成定理形式为：定理形式为：rnreneanaaa

30、aaaa其中：其中：dtdvaaadtdvaeedtdvarraaanva2eeenva2rrrnva2（3）求解方法：求解方法： 解析法解析法（4） 求解步骤：求解步骤：a. 动点、动系选取；动点、动系选取；b. 分析三种运动；分析三种运动；c. 分析三种速度、三种加速度；分析三种速度、三种加速度；d. 选取适当的投影坐标系，列方程求解。选取适当的投影坐标系，列方程求解。例例14：往复式送料机。已知曲柄往复式送料机。已知曲柄 OA = r，转动角，转动角速度为速度为 ，角加速度为，角加速度为 ，图示瞬时曲柄，图示瞬时曲柄 OA 与铅垂方向的夹角为与铅垂方向的夹角为 。求料车。求料车D的加的加

31、速度。速度。解：解：avevrv动点：动点：动系：动系： 轮上销钉轮上销钉 A ； 固结于构件固结于构件BC上（直线平动）上（直线平动）三种速度及三种加速度分析及三种速度及三种加速度分析及 分析图：分析图：aaanaraeaaaana 已知已知ea 指向未知（假定）指向未知（假定）ra 指向未知（假定）指向未知（假定）选取适当投影坐标轴，列方程求解：选取适当投影坐标轴，列方程求解：Careanaaaaa ？ ？ :0sincoseanaaaaraa2raanDearrasincos2大小：大小：方向：方向：Da 绝对轨迹绝对轨迹 牵连轨迹牵连轨迹 相对轨迹相对轨迹例例15：半径为半径为 R 的

32、半圆凸轮的半圆凸轮 D 以等速以等速 v0 沿水平线向右运沿水平线向右运动，带动从动杆动，带动从动杆AB沿铅垂方向上升，如图所示沿铅垂方向上升，如图所示 。求求=30时，时，AB杆的速度杆的速度 与加速度。与加速度。解：解：动点：动点：动系：动系： 杆杆AB上的上的A点点 ； 固结于凸轮固结于凸轮 D上（直线平动）上（直线平动）三种运动：三种运动：沿凸轮沿凸轮 D 边缘的边缘的圆周运动圆周运动；相对运动：相对运动：绝对运动：绝对运动：牵连运动：牵连运动：随凸轮随凸轮 D的水平的水平直线平动直线平动。 铅垂方向铅垂方向直线运动直线运动；三种速度分析及三种速度分析及 速度速度 合成图：合成图： 绝

33、对轨迹绝对轨迹 牵连轨迹牵连轨迹evavrv 相对轨迹相对轨迹reavvv大小：大小： ？ ？方向：方向： 330tantan00vvvvea032cos/vvver三种加速度分析及三种加速度分析及 分析图：分析图：rnaaara三种加速度分析及三种加速度分析及 分析图：分析图： 绝对轨迹绝对轨迹 牵连轨迹牵连轨迹 相对轨迹相对轨迹rnaaararnraaaa ？ ？ 大小：大小：方向：方向：cos/rnaaa 202034,32vRvavvrrrnrRvRvaarna202033830cos/34cos/注：注：（1）求加速度需先分析速度）求加速度需先分析速度 ；（2）当加速度只有三个矢量时

34、，也可用几何法求解。）当加速度只有三个矢量时，也可用几何法求解。例例16：图示系统。已知小车的运动规律为图示系统。已知小车的运动规律为 x = 50t2 cm，单摆的运动规律为：单摆的运动规律为： 摆长摆长L = 60 ，求当，求当t =1/3 s 时，摆锤时，摆锤 M 的加速度的加速度)rad)(33/()sin(计计以以t解：解：动点：动点：动系：动系： 摆锤摆锤 M ； 固结于小车上（直线平动）固结于小车上（直线平动）三种运动：三种运动：以以 L 为半径绕为半径绕A点的点的圆周运动圆周运动；相对运动：相对运动：绝对运动：绝对运动：牵连运动：牵连运动：随小车的水平随小车的水平直线平动直线平

35、动。 未知的未知的曲线运动曲线运动；三种速度及三种加速度分析及三种速度及三种加速度分析及 分析图：分析图：Araearnaaaaarnreaaaaa？ ？ :sincosrnreaaaaacossin0rnraaaa)cm/s(1002 xae 6/|3/1st)36/(|23/1st6/|33/1st 33/110| Lastr9/5|423/1Lastrn将上述量代入，得将上述量代入，得)cm/s(6 .1952aa)cm/s(2 .1082aa)cm/s(5 .223222aaaaaa8744. 0),cos(aaaa0 .209),(a大小：大小：方向：方向：MN例例17：解：解：动点

36、：动点：动系：动系： 顶杆顶杆EF上的点上的点 F ； 固结于三角形板上；固结于三角形板上；三种运动：三种运动：相对运动：相对运动：绝对运动：绝对运动：牵连运动：牵连运动：（曲线平动）（曲线平动） 沿沿 EF 的的直线运动直线运动； 沿沿 MN 的的直线运动直线运动； 随三角形板随三角形板MN 的的曲线平动曲线平动。Avevrvav三种速度分析及三种速度分析及 图：图：reavvv大小：大小：方向：方向：？ ？ Aeavvv三种加速度分析及三种加速度分析及 图：图：MNAnAaa raaaeareaaaa大小：大小：方向：方向：？ ？ 2laaAe30cos12eaaa EFal233EFAa

37、vlvvSample 18OABCvaKnown: Compute: vBC aBCavrvevxytaanaaraeaxxxxretanaretanaaaaaaaaa轴上投影得：在Solution:Chose A as MP and BC as DFDiagram of VelocityDiagram of AccelerationKnown: Compute: 0 0ABCrll0Sample 20solutionChose A as MP and BC as DFDiagram of Velocityavrvevreavvv大小：大小： ？ ？方向：方向： 由正弦定理：由正弦定理：sin

38、sineavveavvsinsinrvrveasinsin0所以，有：所以，有：Known: Compute: ABCrll0Sample 20solutionChose A as MP and BC as DFDiagram of AccelerationHow to setup the coordinates system? Why?nearanaataa大小：大小： ？ ？ 方向：方向： rnnataaaaeayABAvAa60Block A moves rightward with vA=0.2m/s and aA=0.2m/s2, the length of AB equals 0.

39、7m, when the angle equals 60o, =1 rad/s and =2rad/s2.Compute vB and aBSample 21solution1 chose point B as MP chose block A as DF2. Draw the diagram of velocityeravvvm/s7 . 017 . 0ABrvm/s 0.2eAvvm/s879. 0150cos2 . 07 . 022 . 07 . 022avevrvavABAvAa603. Draw the diagram of accelerationyxnratraeaaxaayat

40、rnreaaaaa方向作投影，得：，分别向yx30sin30cosnrtreaxaaaa30cos60cosnrtrayaaa2trm/s4 . 127 . 0ABa222nrm/s7 . 017 . 0ABa2ay2axm/s31. 1m/s06. 1aa22ay2axam/s69. 1aaa solution大小：大小： ？ 方向：方向： ？ 7 3 牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理Warning!If the dynamic reference frame rotates, then the absolute acceleration can no

41、t use the equation: eraaaaThe following sample show the result:An example_ RMrvA round plate rotates with angular velocity , Moving point M rotates with velocity vr relative to the round plate, analyze the accelerationsChose M as MP, Plate as DFRv ervRvvvreaRvvRRvRRvarrr2222aa2)(RMrvIf we use the eq

42、uation of translating convected composite acceleration,RvaRar2r2eRvvRarr22a2eraaaaRvRar22aNot equals the result above.The rest one,rv2, accessory acceleration, is added.An example_ We use symbol “aC” to denote the accessory acceleration:Ca科氏加速度科氏加速度Equation of Accelerations of Rotational convected m

43、otion:CreaaaaaProject to curvilinear coordinate system:CtrnrtenetanaaaaaaaaThe Full Deduction of the equation above is omitted here, An example_ OyxzrAijkyxzOOrAeArkrOAetrrvAAddOeOOtrrvddAeOttrkrddddkket ddtttAOddddddrkr科氏加速度的理论推导：科氏加速度的理论推导：)(ddddkrkrOeOttkrrAOkk, jj, iieeetttddddddkjivtztytxrddddd

44、dttzttyttxtztytxtdddddddddddddddddddd222222rkjikjivttztytxrddddddddr222222vkjiattzttyttxddddddddddddkji)dd()dd()dd(kjitztytxeee)dddddd(kjitztytxe)(dd)(dd)(ddkjieeetztytxrev rveettteeeddddddrrvreevvree)(ddreeeetvvrveetddreatvvvrddteanearMrijkyxzOOyxz OrrrrtvaveddreetvaveddtttreaaddddddvvvaCreaaaaa科科氏

45、氏加加速速度度rvae2CVector:OyxzrveCareC2vaScalar:sin2reCvaCaervCoriolis Acceleration_ Conditions of ac=0OyxzrveCanTranslatioDF01e02rv0sin,0/3reorvCoriolis Acceleration_ reC2va科科氏氏加加速速度度vrvraCaC由于地球的自转引起的水流科氏惯性力由于地球的自转引起的水流科氏惯性力vraCLever OA rotates with constant angular velocity 0, the dimensions are shown

46、on the figure left, compute: O1D, O1D, aCE when OA is at horizontal positionACDBEOO1 0 rr3r32Sample Problem 22SolutionACDBEOO1 0 rr3r321. Compute O1DChose Point AMPChose O1DDFDiagram of Velocity：rv0a vavevrAxyrvv0ae21sinrrAOveDO2)2/1 (011041rvvva0ar2323cosTo be used in computing aC .SolutionACDBEOO1

47、 0 rr3r322. Compute O1DDiagram of Acceleration：aanAaraenaetaCaatxy Creaaaaa0taara20naAOAO/1DOte12ene1ava，rvare20C)4/3(90sin2vraC eteCnacosaaaraaa20Cnate43cosDO1te1AOa20DO831Project to axis y:SolutionACDBEOO1 0 rr3r323. Compute aCEDiagram of Velocity:MP:B, DF:O1DvavrveB rrv00DO1e44BO1rvv0er33tanDiagr

48、am of Coriolis Accelerationvr eaCDiagram of AccelerationsaCaaaetaenarBrrvar2000C6333)41(290sin2ra2012BOne)4/1 (BO1rra20201BOte)2/3()8/3(4BO1Cteacosaaa)2/3()6/3()2/3(2020arrara20CE32ACDBEOO1 0 rr3r32vr eaCaCaaaetaenarBSolutionProject to axis :Procedure of SolvingDisk rotates with constant angular vel

49、ocity =4rad/s, point M moves along axis x, x=0.1cos2t m, compute when t=0 and /4 second, the value of vM and aM. Sample Problem 23xyzOxMR SolutionxyzOxMR Chose M as MP and Disk as DFtxtxtx2cos4 . 02sin2 . 02cos1 . 0 Diagram of velocitiesDiagram of accelerationsrvevavraaxaCaneaxyaya2rrm/s4 . 0m/s0m1 . 00 xaxvxt reavvvm/s4 . 01 . 04exvtxtxtx2cos4 . 0,2sin2 . 02cos1 . 0 Compute the value of vM when t=0 secondm/s4 . 0ea vvxyzOxMR rvevav2r22nem/s4 . 0m/s6 . 1161 . 0 xaxa txtxtx2cos4 . 02sin2 . 02cos1 . 0 02rvaC2nerm/s26 . 14 . 0aaaay2m/s0axa2Mm/s2aPlease compute when t=