教学课件分享考研数学辅导=多元函数微分学(上)

1、 多元函数微分学多元函数微分学 20122012考研数学培训考研数学培训一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 基基本本题题型型二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分三、复合函数求导法三、复合函数求导法求带抽象函数记号的复求带抽象函数记号的复 合函数的偏导数与全微分合函数的偏导数与全微分四、复合函数求导法四、复合函数求导法求隐函数的求隐函数的( (偏偏) )导数与导数与 全微分全微分五、复合函数求导法五、复合函数求导法变量替换下方程的变形变量替换

2、下方程的变形六、多元函数微分学的几何应用六、多元函数微分学的几何应用七、方向导数与梯度七、方向导数与梯度八、多元函数的极值与最值问题八、多元函数的极值与最值问题曲面曲面与与方程方程平面中平面中： ,0F x y 二二元元方方程程0AxByCzD 曲线曲线空间中空间中： , ,0F x y z 三三元元方方程程曲面曲面 空间中的一些特殊曲面空间中的一些特殊曲面 1 1、平面、平面：坐坐标标平平面面( ,0)A B C DA B C为为常常数数不不全全为为三元一次方程三元一次方程xy平面平面：yz平面平面：xz平面平面：0z 0 x 0y 空间曲面的作图方法：空间曲面的作图方法： 在曲面方程中分别

3、令在曲面方程中分别令x=0,y=0，z=0得到曲面在得到曲面在yz平面，平面，xz平面，平面，xy平面上的交线，可以得到一个平面上的交线，可以得到一个大致图形。大致图形。考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系22200()()xxyyR2yx 空间中的一些特殊曲面空间中的一些特殊曲面 2 2、球面、球面：以以 为心，为心，R为半径的球面方程：为半径的球面方程： 000,M x y z2222000()()()xxyyzzR3 3、柱面、柱面： 方程中缺少一个变量方程中缺少一个变量圆柱面圆

4、柱面：其他柱面其他柱面：22200()()xxzzR22200()()yyzzR方程中不含方程中不含z，它，它以以z轴方向为母线轴方向为母线1yx ( (抛物柱面抛物柱面) )( (双曲柱面双曲柱面) )曲面曲面与与方程方程考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一元函数一元函数y=f(x) 二元方程二元方程F(x，y) =0曲线曲线二元函数二元函数z=f(x，y) 三元方程三元方程F(x，y，z) =0曲面曲面二元函数的几何意义：二元函数的几何意义：二元函二元函数的图像是空间中的一个曲面

5、。数的图像是空间中的一个曲面。定义域是一个区间定义域是一个区间定义域是一个区域定义域是一个区域一个自变量一个自变量两个自变量两个自变量二元函数表示空间中二元函数表示空间中的的一片曲一片曲面面, 定义域定义域D是该曲面在是该曲面在xoy平平面上投影。面上投影。曲面曲面平面平面考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系二元函数的极限二元函数的极限二重极

6、限不存在的证法：）若某个特殊路径的极限不存在；二重极限不存在的证法：）若某个特殊路径的极限不存在； 或）某两个特殊路径的极限不等；或）某两个特殊路径的极限不等； 或）极坐标法，说明极限与角度有关。或）极坐标法，说明极限与角度有关。考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学2 2、考题选讲、考题选讲数一：数

7、一：20022002、二、二(1)(1)例例1 1一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学2 2、考题选讲、考题选讲数一：数一：19971997、二、二(1)(1)例例2 2一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学2 2、考题选讲、考题选讲数三：数三：20082008、一、一(3)(3)例例3 3一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学2 2、考题选讲、考题

8、选讲数三：数三：20062006、三、三(15)(15)例例4 4一、多元函数微分学中的基本概念及其联系一、多元函数微分学中的基本概念及其联系定义定义 000000(,)(,)limlimxxxzf xyf xyxxx 若极限若极限存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数在点在点处对处对x的偏导数，的偏导数，( , )zf x y 00(,)xy 00000000(,)(,) ,x xx xyyyyf xyzzxxfxyxx 或或记作：记作：00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 一元函数一元函数在点在点的导数：的导数：( )yf x 0 x对于对于x的偏改变量

9、的偏改变量考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分00(,)fxyx 实际上就是一元函数实际上就是一元函数 （固定（固定 ）0( ,)f x y0yy 对对x的导数的导数0( ,)df x yxd计算偏导数的方法计算偏导数的方法：求多元函数对某个自变量的：求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需将偏导数时，只需将其他变量看成常数其他变量看成常数，再用一元函，再用一元函数的求导法对此变量求导，即可得到偏导数。数的求导法对此变量求导，即可得到偏导数。多元函数求偏导数的实质是多元函数求偏导数的实质

10、是“在固定其他自变量的前提在固定其他自变量的前提下，对某个自变量下，对某个自变量求导数求导数”的问题。的问题。全微分：全微分：全微分全微分=各个偏微分之和各个偏微分之和二元函数二元函数( , )zf x y 三元函数三元函数( , , )uf x y z uuuuxyzxyz ddddzzzxyxy ddd考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学1 1、内容提要、内容提要二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分

11、某些问题，如果某些问题，如果合理利用合理利用全微分形式不变性将会十分方便。全微分形式不变性将会十分方便。全微分形式的不变性全微分形式的不变性( , ) ,zf u v 设设无论无论u，v是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量，z的微分的微分.zzzuvuv ddd皆为皆为考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学2 2、考题选讲、考题选讲数三：数三：19981998、三题、三题例例1 1二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学2 2、考题选讲、考题选讲数三：数三：20052005、一、一(3)(3)例例2 2二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分学2 2、考题选讲、考题选讲数二：数二：20082008、二、二(13)(13)例例3 3二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分二、求二元、三元初等函数的偏导数与微分数三：数三：20092009、二、二(10)(10)同类题同类题考研数学考研数学多元函数微分学多元函数微分