曲线的凸凹及拐点

1、第五讲第五讲 曲线的凸凹及拐点曲线的凸凹及拐点同样是单调上升的曲线同样是单调上升的曲线, , 但却但却有不同的弯曲方向有不同的弯曲方向, , 如何研究如何研究曲线的弯曲方向？曲线的弯曲方向？xyoxyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x曲线向上弯曲的弧段曲线向上弯曲的弧段位于其上任一点处切位于其上任一点处切线的上方线的上方, 称为称为上凹上凹.ABC1.11.1、问题的提出问题的提出曲线向下弯曲的弧段曲线向下弯曲的弧段位于其上任一点处切位于其上任一点处切线的下方线的下方,称为称为下凹下凹.定义定义4.31.21.2、曲线凹向的曲线凹向的定义定义 若在某个区间内若在某个区间内, 曲线

2、弧位于其上任一曲线弧位于其上任一点的切线上方点的切线上方, 则称曲线在该区间内是则称曲线在该区间内是上上凹凹的的; 若若曲线弧位于其上任一点的切线下方曲线弧位于其上任一点的切线下方, 则称曲线在该则称曲线在该区间内是区间内是下下凹凹的的.注注: 上上凹凹简称简称凹凹, 也称也称下凸下凸; 下下凹凹简称简称凸凸, 也称也称上凸上凸.xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y图形分析图形分析结论结论: 利用一阶导数符号来研究函数的增减性利用一阶导数符号来研究函数的增减性; 利用二阶导数的符号来研究函数的利用二阶导数的符号来研究函数的凹凹凸性

3、凸性.1.31.3、曲线凹向的曲线凹向的判定判定证明略。证明略。例例1 1.3的凹向性的凹向性判断曲线判断曲线xy 解解定理定理4.10 4.10 设函数设函数f(x)在在(a,b)内具有二阶导数内具有二阶导数, ,若对若对 x(a,b), ,有有f(x)0,0,则曲线则曲线y=f(x)在在(a,b)内上凹内上凹; ;若对若对 x(a,b),有有f(x)0,则为则为上凹区间上凹区间; ; f(x)0, 则为则为下凹区间下凹区间; ; 若上述各点是不同凹向区间分界点若上述各点是不同凹向区间分界点 , 则与该点对则与该点对 应的曲线上的点就是拐点应的曲线上的点就是拐点; 反之则不是反之则不是拐点拐

4、点. .例例3 3.14334的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的区区间间求求曲曲线线 xxy解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凹凸区间为凹凸区间为xyO11例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲

5、线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy xyo3xy 例例5 5. .求曲线求曲线 的凹向区间及拐点的凹向区间及拐点. . xxey )1(xexeeyxxx 解：解：),()( yD)2()1( xeexeyxxx20 xyyx+上凹上凹下凹下凹y )2 ,( 2), 2( 022 e故故 上凹区间：上凹区间： 下凹区间：下凹区间： 拐点拐点), 2( )2 ,( )2 , 2(2 exxey 解解),()( yD35) 1(92 xy列表考察一阶、二阶导数的符号列表考察一阶、二阶导数的符号yxy y

6、 )0 ,(0)1 , 0(1)2 , 1(), 2( 2例例6 6 求求 增减、凹向区间、极值与拐点增减、凹向区间、极值与拐点. .3/13xxy ,31)1(3132 xy2, 00 xxy,x = 1 不可导点不可导点 + + 00不可导不可导+ 1 3/13/1 故函数的单增区间为故函数的单增区间为(0,2)，单减区间为，单减区间为 上凹区间上凹区间 , ,下凹区间下凹区间 , ,极小值极小值 , , 极大值极大值 ，拐点拐点 ), 2(),0 ,( )1 ,(), 1( 1)0( y3/1)2( y)3/1, 1( *定义定义的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那末称如果恒有的（或凹弧

7、）上的图形是（向上）凹在那末称恒有点上任意两如果对上连续在区间设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),

8、(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.2.12.1、渐近线的定义渐近线的定义 若曲线若曲线y=f(x)上的动点上的动点P沿曲线无限远离坐标原沿曲线无限远离坐标原点时，该点点时，该点P与某条定直线与某条定直线L的距离趋于零，则称该的距离趋于零，则称该定直线定直线L为曲线

9、为曲线y=f(x)的一条渐近线的一条渐近线. . 2.22.2、分类、分类水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的的一一条条水水平平渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy xyo 注注: : 设曲线设曲线 y=f(x) 的定义区间为无限区间，的定义区间为无限区间，若若 则曲线向左无限延伸时，以直线则曲线向左无限延伸时，以直线 y=b1为其一条水平渐近线；为其一条水平渐近线；若若 则曲线向右无限延伸时，以直线则曲线向右无限

10、延伸时，以直线 y=b2为其一条水平渐近线；为其一条水平渐近线；若若 则曲线向左右无限延伸时，都以则曲线向左右无限延伸时，都以 直线直线 y=b为其水平渐近线为其水平渐近线. . bxfx )(lim1)(limbxfx 2)(limbxfx xyo xyo1xy 2 xy21 xyoxy1 例例8 8. . 求求 的水平渐近线的水平渐近线xxeey 1解解: :01lim xxxee故曲线向左延伸以故曲线向左延伸以 y=0 为水平渐近线为水平渐近线1lim1lim xxxxxxeeee曲线向右延伸，以曲线向右延伸，以 y=1为为水平渐近线水平渐近线Oxy1 y22)1 ()1 ()1 (xx

11、xxxxxeeeeeeey 3)1/()1(xxxeeey 铅垂渐近线铅垂渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x如果函数如果函数y=f(x)在点在点x=a处间断，且处间断，且 ,)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfaxaxax或或或或则曲线向上方或下方无限延伸时，以直线则曲线向上方或下方无限延伸时，以直线x=a为为铅垂渐近线铅垂渐近线. .注意：注意：若若x=a 是函数的无穷间断点，必为曲线的铅是函数的无穷间断点，必为曲线的铅垂渐近线；垂渐近线；无穷大有正、负无穷大之分，具体解题无穷大有正、负无穷大之分，具体解题应分清应分清. .例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线

12、两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xxxyO32 例例9 9. . 求求 的水平渐近线和铅垂渐近线的水平渐近线和铅垂渐近线xey/1 解解1lim0/1 eexx曲线向左右延伸以曲线向左右延伸以 y=1为水平为水平渐近线渐近线x=0为函数的间断点，又因为为函数的间断点，又因为 xxe/10lim故故x=0为曲线的为曲线的一条铅垂渐近线一条铅垂渐近线xy01 y1。例例10. 求求 的铅垂渐近线的铅垂渐近线. .12322 xxxy解解： 为间断点为间断点1 x2/1232lim123lim1221 xxxxxxx故故 x=1 不是铅垂渐近线不是铅垂渐近线，故故 x=- -1 是铅垂渐近线

13、是铅垂渐近线注意注意: : 由于由于x时时, y1;故故y=1是水平渐近线是水平渐近线. 123lim221xxxx斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或若若xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法: :,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注意注意: :;)(lim1不不存存在在如如果果xxfx .)(lim,)(lim2不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线

14、线可可以以断断定定xfy 注意注意：在同一个方向上，若曲线有水平渐近线，：在同一个方向上，若曲线有水平渐近线，则必无斜渐近线，反之亦然则必无斜渐近线，反之亦然. .例例11. . 求求 的斜渐近线的斜渐近线1 xxy 解解xyO, 1)1(lim)(lim2 xxxfaxx0lim)(lim1 xaxxfbxx故故 y=x 为曲线的斜渐近线为曲线的斜渐近线注：关于渐近线我们要防止如下的错误认识：注：关于渐近线我们要防止如下的错误认识： 渐近线与曲线不能相交渐近线与曲线不能相交? 是可以相交的！是可以相交的！如如xOyxyO例例1212.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解)

15、., 1()1 ,(:D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2) 1()3)(2(2limxxxxx1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4 1124lim xxx.42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)( xxxxfxyO22 渐近线都是直线渐近线都是直线, ,但斜率不同但斜率不同 水平渐近线平行于水平渐近线平行于x轴；轴；铅垂渐近线垂直于铅垂渐近线垂直于x轴；轴；斜渐近线斜交于斜渐近线斜交于x轴。

16、轴。若将自变量的变化趋势作为横坐标，函数的趋势若将自变量的变化趋势作为横坐标，函数的趋势为纵坐标，则可将渐近线简记为：为纵坐标，则可将渐近线简记为：水平渐近线：水平渐近线：),(),(),(21bbb 铅垂渐近线：铅垂渐近线：),(),(),( aaa斜渐近线：斜渐近线：),(),(),(2211 bababa bybyby21ax baxbxabxay2211无穷间断点无穷间断点2.22.2、有关渐近线的认识、有关渐近线的认识一、一、 填空题：填空题：1 1、 若函数若函数)(xfy 在在 （ba,） 可导， 则曲线） 可导， 则曲线)(xf在在( (ba,) )内取凹的充要条件是内取凹的充

17、要条件是_._.2 2、 曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点 . .3 3、 曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、 曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、 求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间 . .三、三、 利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点 . .练练 习习 题题五、五、 试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上 . .六、六、 问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、 试决定试决定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点 . .一、一、1 1、),()(baxf在在 内递增或内递增或0)(