弯曲内力计算

1、三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。 3.13.1梁的弯曲正应力梁的弯曲正应力(normal stress )(normal stress )1 1、变形几何关系、变形几何关系弯曲平面假设：弯曲平面假设： 变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交。 ydddy)(2 2、物理关系、物理关系yE 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力3 3、静力学关系、静力学关系0NAFdAAydAzM00AAydAEdA0dAyMAzz z轴必须通过截面

2、的形心轴必须通过截面的形心 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力0AAyzdAEdA横截面对横截面对y y和和z z轴的惯性积为零，轴的惯性积为零， y y和和z z轴为主轴轴为主轴 dAyEdAyMAA22ZAy dAIzEIM1yIMz三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力 maxmaxmaxyIMyIMzzmaxyIWzz zWMmax三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力62bhWz 323dWz 43132DWz圆形截面的抗弯截面系数圆形截面的抗弯截面系数 矩形截面的抗弯截面系数矩形截面的抗弯截面系数 空心圆截面的抗弯截面系数空心圆截面的抗弯截面系数 三、三、 梁的

3、弯曲应力梁的弯曲应力例例1 1 图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F F作用，已知：作用，已知：h=18cmh=18cm，b=12cmb=12cm，y=6cmy=6cm，a=2ma=2m，F=1.5KNF=1.5KN。计算计算A A截面上截面上K K 点的弯曲正应力。点的弯曲正应力。三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力解：解： 先计算截面上的弯矩先计算截面上的弯矩kNmFaMA325 . 1截面对中性轴的截面对中性轴的惯性矩惯性矩(moment of inertia )(moment of inertia )473310832. 51218012012mmbhIZM

4、PayIMZAk09. 36010832. 510376A A 截面上的弯矩为负，截面上的弯矩为负，K K 点在点在中性轴中性轴 (neutral axis )(neutral axis )的上边，所以为拉应力。的上边，所以为拉应力。 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力3.2 3.2 平面图形的几何性质平面图形的几何性质反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，反映截面形状和尺寸的某些性质的一些量，统称为截面的几何性质。统称为截面的几何性质。 形心和静矩形心和静矩形心形心(Centroids(Centroids) )坐标公式：坐标公式： AdAyyAzdAzACAC,静矩又称面积矩静矩又称面积矩

5、AyAzzdASydAS三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力CACAAzzdAAyydACAyCAzAzzdASAyydASiniizyAS1iniiyzAS1iiiCAyAziiiCAzAy组合图形是几个组合图形是几个规则而成的图形。规则而成的图形。图形组合的静矩：图形组合的静矩： 图形组合的形心坐标公式：图形组合的形心坐标公式： 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力惯性矩、惯性积和平行移轴定理惯性矩、惯性积和平行移轴定理惯性矩惯性矩(Moments of Inertia )(Moments of Inertia )定义为定义为： 22,zAyAIyd AIzd A惯性积惯性积(Products

6、 of (Products of Inertia)Inertia)定义为定义为：AzyzydAI极惯性矩极惯性矩(Polar Moments of Inertia)(Polar Moments of Inertia)定义为定义为：222()zyAAIdAzy dAII三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性同一截面对不同的平行的轴，它们的惯性矩和惯性积是不同的。矩和惯性积是不同的。 byyazzAAAAAydAazdAadAzdAazdAzI22222)(AaIIycy2AbIIzcz2abAIIzcycyz平行移轴公式平行移轴公式三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应

7、力例例2 2 计算图示计算图示T T 形截面的形心和过它的形截面的形心和过它的形心形心 z z轴的惯性矩。轴的惯性矩。 选参考坐标系选参考坐标系ozoz y y 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力（2 2）计算截面惯性矩）计算截面惯性矩49214923249231101 .211032.131732008008002001211075. 727710010001001000121mmIIImmImmIzzzzz05731026004001016008501010002222211CCCiiiczmmAyAyAAyAy三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力3.33.3梁的弯曲剪应力梁的弯曲剪应力(S

8、hearing stress )(Shearing stress )当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，用，这时梁的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可如果梁截面窄且高或是薄壁截面，这时剪应力可达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。达到相当大的数值，剪应力就不能忽略了。 矩形截面梁的弯曲剪应力矩形截面梁的弯曲剪应力三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力dAyIMdANz1zzIMSN1zzQzzISdxFMISdMMN)()(2bISFzzQI Iz z代表整个横截面对中性

9、轴矩代表整个横截面对中性轴矩z z的惯性距；而的惯性距；而SzSz* *则代表则代表y y处处横线一侧的部分截面对横线一侧的部分截面对z z轴的轴的静距。对于矩形截面，静距。对于矩形截面， 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力)4(2)2(21)2(22yhbyhyhbSz)41 (2322hybhFQ矩形截面梁的弯矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面曲剪应力沿截面高度呈抛物线分高度呈抛物线分布；在截面的上、布；在截面的上、下边缘下边缘剪应力剪应力=0=0；在中性轴在中性轴(y=0),(y=0),剪应力最大，剪应力最大， 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力剪应力最大公式：剪应力最大公式： bhFQ23m

10、ax工字形截面梁的弯曲剪应力工字形截面梁的弯曲剪应力bISFzzQ腹板上的弯曲剪应力腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布，呈二次抛物线分布，在中性轴处在中性轴处(y=0)(y=0)，剪应力最大，在腹板剪应力最大，在腹板与翼缘的交接处与翼缘的交接处(y=(y=h/2)h/2)，剪应力，剪应力最小最小 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力8)(822maxhbBBHbIFzQ)88(22minBhBHbIFzQ近似地得表示腹板的剪应力近似地得表示腹板的剪应力 bhFQ或bSIFZQmax 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力圆形截面梁的弯曲剪应力圆形截面梁的弯曲剪应力

11、bISFZZQy在中性轴上，在中性轴上，剪应力为剪应力为最大值最大值 maxmax AFrFQQ34342max一般公式：一般公式：三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力例例3 3 梁截面如图梁截面如图8.16(a)8.16(a)所示，横截面上剪力所示，横截面上剪力F FQQ=15KN=15KN。试计算该截面的最大弯曲剪应力，。试计算该截面的最大弯曲剪应力，以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。截面的惯性矩惯性矩I Iz z=8.84=8.841010 6 6mm4 4。最大弯曲剪应力发生最大弯曲剪应力发生在中性轴上。中性轴在中性轴上。中性轴一侧的部分截面对中一

12、侧的部分截面对中性轴的静矩为：性轴的静矩为：解：解：1.1.最大弯曲剪应力。最大弯曲剪应力。342max,10025. 9220)4512020(mmmmmmmmmmSz三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力最大弯曲剪应力：最大弯曲剪应力： MPammmmmmNbISFzZQ66. 7)20)(1084. 8 ()10025. 9)(1015(46343max,max(2).(2).腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力 341040. 8)3512020(mmmmmmmmSZ交接处的弯曲剪应力交接处的弯曲剪应力 MPammmmmmNbISFzzQ13. 7201084. 8)1

13、040. 8)(1015(46343三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力3.4 3.4 梁的强度条件梁的强度条件(strength condition) 为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能为了保证梁的安全工作，梁最大应力不能超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正超出一定的限度，也即，梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。应力强度条件和剪应力强度条件。 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件为：弯曲正应力强度条件为： maxmaxzWM要求梁内的最大弯曲正应力要求梁内的最大弯曲正应力 maxmax不超过材不超过材料在单向受力时的许用应力料在单向受力时的许用应力 三、三

14、、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计利用上述强度条件，可以对梁进行三方面的计算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷算：正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。载。弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件 最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，最大弯曲剪应力作用点处于纯剪切状态，相应的强度条件为：相应的强度条件为： maxmaxmaxbISFzzQ 要求梁内的最大弯曲剪应力要求梁内的最大弯曲剪应力 maxmax不超过材料不超过材料在纯剪切时的许用剪应力在纯剪切时的许用剪应力 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力在一般细长的非薄壁

15、截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。远大于最大弯曲剪应力。 但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，但是，对于薄壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等，则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且弯曲剪应力则不仅应考虑弯曲正应力强度条件，而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。强度条件也可能起控制作用。 例例4 4 图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为图所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T T字形，字形，并承受均布荷载并承受均布荷载q q作用。试校该梁的强度。已知作用。试校该梁的强度。已知荷载集度

16、荷载集度q=25N/mmq=25N/mm，截面形心离底边与顶边的，截面形心离底边与顶边的距离分别为距离分别为y y1 1=95mm=95mm和和y y2 2=95mm=95mm，惯性矩，惯性矩I Iz z=8.84=8.8410-6m410-6m4，许用拉应力，许用拉应力t t=35MPa=35MPa，许，许用压应力用压应力c c=140Mpa=140Mpa。三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力解：解：（1 1）危险截面与危险点判断。）危险截面与危险点判断。 梁的弯矩如图示，在横截面梁的弯矩如图示，在横截面D D与与B B上，上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩

17、，因分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩，因此，该二截面均为危险截面。此，该二截面均为危险截面。 截面截面D D与与B B的弯曲正应力分布分别如图的弯曲正应力分布分别如图示。截面示。截面D D的的a a点与截面点与截面B B的的d d点处均受压；点处均受压；而截面而截面D D的的b b点与截面点与截面B B的的c c点处均受拉。点处均受拉。 即梁内的最在弯曲压应力即梁内的最在弯曲压应力 c,maxc,max发生在截面发生在截面D D的的a a点处。点处。至于最大弯曲拉应力至于最大弯曲拉应力 t,maxt,max, , 究竟发生在究竟发生在b b点处，还是点处，还是c c点点处，则须经计算后才能确定

18、。处，则须经计算后才能确定。由于由于|MD|MB|MD|MB|，|ya|ya|yd|, |yd|, 因此因此 |a|d|a|d| |三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力（2 2）强度校核。）强度校核。MPammmmNmmIyMzaDa8 .591084. 8)950)(1056. 5(466MPaIyMMPaIyMzcBczbDb6 .333 .28tctcacMPaMPa6 .338 .59max,max,梁的弯曲强度符合要求梁的弯曲强度符合要求 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力例例5 5 悬臂工字钢梁悬臂工字钢梁ABAB，长，长l=1.2ml=1.2m，在自由端有，在自由端有一集中荷载一集

19、中荷载F F，工字钢的型号为，工字钢的型号为1818号，已知钢的号，已知钢的许用应力许用应力=170Mpa=170Mpa，略去梁的自重，略去梁的自重，(1)(1)试试计算集中荷载计算集中荷载F F的最大许可值。的最大许可值。(2)(2)若集中荷载为若集中荷载为45 kN45 kN，确定工字钢的型号。，确定工字钢的型号。三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力解：解：1.1.梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固梁的弯矩图如图示，最大弯矩在靠近固定端处，其绝对值为：定端处，其绝对值为：MMmaxmax=Fl=1.2F Nm=Fl=1.2F NmF F的最大许可值为：的最大许可值为： KNNF2.26102

20、.262.11701853max由附录中查得，由附录中查得，1818号工字钢的抗弯截面模量为号工字钢的抗弯截面模量为WzWz=185=185103mm103mm3 3公式公式(8.16)(8.16)得：得：1.2F(1851.2F(1851010-6-6)(170)(17010106 6) )三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力(2)(2)最大弯矩值最大弯矩值MMmaxmax=Fl=1.2=Fl=1.24545103=54103=54103Nm103Nm按强度条件计算所需抗弯截面系数为：按强度条件计算所需抗弯截面系数为： 3356max3181018. 31701054cmmmMPaNmmMWZ

21、 查附录可知，查附录可知，22b22b号工字钢的抗弯截面模量号工字钢的抗弯截面模量为为325cm325cm3 3 ，所以可选用，所以可选用22b22b号工字钢。号工字钢。 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力例例6 6 例例8.58.5中的中的1818号工字钢悬臂梁，按正号工字钢悬臂梁，按正应力的强度计算，在自由端可承受的集中应力的强度计算，在自由端可承受的集中荷载荷载F=26.2KNF=26.2KN。已知钢材的抗剪许用应力。已知钢材的抗剪许用应力=100Mpa=100Mpa。试按剪应力校核梁的强度，。试按剪应力校核梁的强度，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图，绘出沿着工字钢腹板高度的剪应力分

22、布图，并计算腹板所担负的剪力并计算腹板所担负的剪力F FQ1Q1。三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力解：解：（1 1）按剪应力的强度校核。）按剪应力的强度校核。 截面上的剪力截面上的剪力FQ =26.2kNFQ =26.2kN。由附录查得由附录查得1818号工字钢截面的几个主要号工字钢截面的几个主要尺寸尺寸 I Iz z=1660=166010104 4mmmm4 4, ,mmSIzz154腹板上的最大剪应力腹板上的最大剪应力 MPaMPamNdSIFzzQ1002 .26)/(102 .26)105 . 6)(10154(102 .26)(26333max三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力腹

23、板上的最小剪应力为腹板上的最小剪应力为 MPamNbISFZZQ2 .21/102 .21261min（3 3）腹板所担负剪力的计算）腹板所担负剪力的计算 )/(10389010)2 .212 .26()106 .158(32)106 .158)(102 .21(363361mNAkNNbAFQ3 .25)(103 .253111可见，腹板所担岁的剪力占可见，腹板所担岁的剪力占整个截面剪力整个截面剪力FQFQ的的96.6%96.6%。 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力3.5 3.5 提高梁强度的措施提高梁强度的措施在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁的在横力弯曲中，控制梁强度的主要因素是梁

24、的最大正应力，梁的正应力强度条件最大正应力，梁的正应力强度条件 WMmaxmax（1 1）合理安排梁的受力情况）合理安排梁的受力情况三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力（2 2）选用合理的截面形状）选用合理的截面形状矩形截面比圆形截面好，矩形截面比圆形截面好，工字形截面比矩形截面好得多工字形截面比矩形截面好得多 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力 （3 3 ） 采用变截面梁采用变截面梁 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力3.6 3.6 应力状态与强度理论应力状态与强度理论( (选讲）选讲）（1 1） 应力状态的概念应力状态的概念一点的应力状态一点的应力状态是研究通过受力构件内任一点是研究通过受力

25、构件内任一点的各个不同截面上的应力情况。的各个不同截面上的应力情况。 应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。应力状态分为空间应力状态和平面应力状态。全部应力位于同一平面内时，全部应力位于同一平面内时，称为平面应力称为平面应力状态状态；全部应力不在同一平面内，在空间分；全部应力不在同一平面内，在空间分布，布，称为空间应力状态。称为空间应力状态。应力状态分类：应力状态分类：三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力 在三对相互垂直的相对面上剪应力等在三对相互垂直的相对面上剪应力等于零，而只有正应力。这样的单元体称为于零，而只有正应力。这样的单元体称为主主单元体单元体，这样的单元体面称，这样的单元体面称主

26、平面主平面。主。主平面上的正应力称平面上的正应力称主应力主应力。 通常按数值排通常按数值排列，用字母列，用字母 1 1、 2 2和和 3 3分别表示。分别表示。主应力、主平面：主应力、主平面：应力状态按主应力分类：应力状态按主应力分类：（1 1）单向应力状态。在三个相对面上三个）单向应力状态。在三个相对面上三个主应力中只有一个主应力不等于零。主应力中只有一个主应力不等于零。 （2 2）双向应力状态。在三个相对面上三个）双向应力状态。在三个相对面上三个主应力中有两个主应力不等于零。主应力中有两个主应力不等于零。 三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力（3 3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例

27、）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应力状态下应力状态下. .（2 2） 强度理论强度理论A A、最大拉应力理论（第一强度理论）：、最大拉应力理论（第一强度理论）：理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素 。最大拉应力最大拉应力 1 1达到该材料在简单拉伸时最达到该材料在简单拉伸时最大拉应力的危险值材料引起断裂。大拉应力的危险值材料引起断裂。其强度条件为：其强度条件为： 1 1 理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩

28、时，沿纵向发生的断裂性材料受轴向压缩时，沿纵向发生的断裂破坏。破坏。三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力B B、最大伸长线应变理论、最大伸长线应变理论( (第二强度理论第二强度理论) )：理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。要因素。 拉断时伸长线应变的极限值为拉断时伸长线应变的极限值为Eb11 断裂准则为：断裂准则为： 32111Eb321第二强度理论的强度条件：第二强度理论的强度条件： 321理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆理论理论能很好的解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时的断裂破坏。性材料受轴向压缩时的断裂破坏。三、三、 梁的弯曲应力梁的弯

29、曲应力CC、最大剪应力理论（第三强度理论）：、最大剪应力理论（第三强度理论）：理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要理论认为最大剪应力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪应力因素，只要最大剪应力 maxmax达到与材料性达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。质有关的某一极限值，材料就发生屈服。 单向拉伸下，当与轴线成单向拉伸下，当与轴线成4545。的斜截面上的的斜截面上的 maxmax= =s/2s/2时时任意应力状态下任意应力状态下 231max屈服准则：屈服准则： 2231s三、三、 梁的弯曲应力梁的弯曲应力s31第三强度理论建立的强度条件为：第三强度理论建立的强度条件为： 31D D、形状改变比能理论、形状改变比能理论( (第四强度理论第四强度理论) )：第四强度理论认为：第四强度理论认为：形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。形状改变比能是引起塑性屈服的主要因素。 单向拉伸时，单向拉伸时， 的形状改变比能。的形状改变比能。 231sE就是导致屈服的形状改变比