基数与实数理论

1、Functional Analysisn一、基数与实数理论一、基数与实数理论集合集合n 集合论自十九世纪八十年代由德国数学家Cantor创立以来，已发展成一个独立的数学分支，其基本概念与方法已渗入到二十世纪的各个数学领域。集合论是研究集合的各种性质，它的初期工作与数学分析的深入研究密切相关。理发师悖论理发师悖论 1900年H. Poincare：现在，我们能够说完全严格性已达到了。 1903年Russell 提出“理发师悖论”。一个乡村理发师，自夸无人可比，他宣称自己当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的刮脸。有一天，他发生了疑问：他是不是应该给自己刮脸? 说明：集合分为两类：（1）

2、集合是它本身的元素，）集合是它本身的元素，. .,ieXX（2）集合不是它本身的元素，）集合不是它本身的元素，. .,ieXX:,AX XX问：问：A 属于哪一类？属于哪一类？AA若AA若AAAA 矛盾矛盾集合的集合的公理系统公理系统-ZFC系统系统 自Russell悖论后，许多数学家为摆脱这一危机而努力工作。途径为: 对Cantor的集合论加以改造，引进新的理论体系。Zermelo在1908年提出七条公理 Fraenkel加入代换公理Axiom of Choice (选择公理) 。ZFC系统n 1917年法国数学家米里马诺夫提出了一个悖论，von Neumann又引入了正则公理，至此的公理系

3、统最终建立起来。附附: : 自然数的自然数的Peano公理公理n设 是一非空集合，且1) 在 内存在一个特定元素，记为0;2) 存在 到自身的一个映射 使下面三条公理满足: a) 对任意 b) 是一个单射nn,0;nnnnPeano公理n C) (归纳公理) 如果 的一个子集S 具备如下条件: 1) 2) 若 , 则 , 那么,必有 此时,称 是一个自然数系, 内的元素称为自然数.0SnSnSS 0,1,2,.集合的基数集合的基数( (势势) )n映射(双射） :fABAB对等两个集合A和 B，若存在双射则称A与B对等，记n1 1 、 若A与 对等，则称A为有限集，其基数为n，否则，称之为无限

4、集。1,2,3,. n对对 等等n命题命题 设A和B为同基数的有限集，若 为单射，则 必为满射。反之，若 为满射，则必为单射。:fABf对对 等等fn设想有一群鸽子，和等数的鸽笼，则上命题知：如果每一鸽子一一进笼，则鸽笼必无空者；反之，如鸽笼皆无空者，则必然每一笼子中仅有一只鸽子。 鸽笼原理鸽笼原理n2、若A与正整数集 对等，则称A为可数集，否则为不可数集（在无限集中讨论）。 1,2,., ,.n可数、不可数可数、不可数定理定理Th 1. 有理数集Q是可数(无限)集。Th 2. 可数多个可数集的并集是可数的。Th 3. 实数集R是不可数集。Cantor-Bernstein定理定理Th4. (C

5、antor-Bernstein) 若集合A与集合B的某真子集对等，B与A的某个真子集对等，则AB。. .,:,.ieA B=AB ABAB基数可比较性基数可比较性Cantor: 这等价于选择公理这等价于选择公理,A BABAB、 都有或成立？定理定理Th 6. 集合A为无限集 A与其一 真子集对等。ABTh 5. 设A是无限集，B是可数集，则 与A对等。部分与整体部分与整体无穷大的世界里，部分可能等于整体。n “整体多于部分”这一法则被破坏，表明无限集合具有本质上异于有限集合的特性。从有限过渡到无限，完全符合辩证的规律性质的质变。Hilbert 旅馆旅馆 设想一旅店内有限个房间，而所有的房间都

6、已客满。这时来了位房客，旅店主说：“对不起，所有的房间都住满了。” 现设想另一家旅店内设有(可数)无限个房间，所有房间都住满了。这时候也有一新客来住，想订房间。旅店主说：“非常对不起。”Hilbert 旅馆 正好这时候，聪明的旅店主的女儿说：“这好办（不成问题）。”办法: 她把一号房间的旅客移至二号房间，二号房间的旅客移至三号房间，等等。这一来，新客就住进了已被腾空的一号房间。Hilbert旅馆n 又来了(可数)无穷多位要求订房间的客人，旅店的女儿采用如下办法: 一号房间的旅客移到二号房间，二号房间的旅客移到四号房间，三号房间的旅客移到六号房间，等等。现在，所有单号房间都腾空出来了。从而新来的

7、无穷多位客人可住进去了。Hilbert 旅馆n 这(可数)无穷多位旅客想每个人可数无数间房来安排他们的亲戚朋友。女儿想了很久，终于想出了办法。n 后来，女儿进入大学数学系。有一天，Cantor教授上课，他问：“要是区间 上每一点要占一个房间，是不是还能安排？”她绞尽脑汁，也无法安排。0,1不可数无最大基数定理nTh7. 若A是非空集合，则A与其幂集 （由A的一切子集所构成的集合）不对等。2A证明证明若2AA:2AA:( )BxA xxA, . ., ( )2AyA styB( )yByyB若( )yByyB若矛盾矛盾基数 ， ，n 在 （N的基数）与 c （R的基数）之间是否还存在其它基数？

8、连续统假设： 与 c 之间不存在别的基数。 01200连续统假设n 1900年Hilbert在他的著名演讲中列举了23个未解决的问题，第一个便是连续统假设。 Godel在1940年指出连续统假设与ZFC的相容性；1963年Cohen证明它的独立性。Godel 第一第一不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出： 任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有不可判定命题。即存在某一命题A，使A与A的否定在该系统中皆不可证。Godel 第二第二不完全性定理不完全性定理n1931年Godel指出： 如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可

9、证明的.不等式不等式n1 1、三角形不等式、三角形不等式: : |,ababa bR1212|.| . |,nniaaaaaaaR n2、|1 |1 |1 |abababab 3. YoungYoung不等式不等式 ( p，q 为相伴数), 111,1ppq0,0abpqababpq4. Holder4. Holder不等式不等式n p, q p, q为相伴数为相伴数, ,11111|(| ) (| ) .nnnpqpqiiiiiiiabab积分型Holder不等式n p, q为相伴数11| ( ) ( )|( | ( )|) ( | ( )|)bbbpqpqaaaf x g x dxf xd

10、xg xdx5. Minkowshi5. Minkowshi不等式不等式n 111111(| )(| )(| ) .nnnppppppiiiiiiiabab1p 积分型Minkowshi不 等式1p 111(|( )( )|)( |( )|)( | ( )|)pbpabbppppaaf xg xdxf xdxg xdx直线上的点集直线上的点集n实数理论实数理论 十九世纪后半叶严格解决：什么是实数？ 1、Cantor, Meray, Weierstrass; 2、Dedekind理论实数理论实数理论定义定义 设设 都是有理数。都是有理数。假设对任意的正有理数假设对任意的正有理数 ，存在自然，存在

11、自然数数 ，使得当，使得当 时不等式时不等式 成立，成立， 就称就称 是是基本有理数列基本有理数列。 12,.,.na aa, n mN|nmaanaN实数理论实数理论 设 和 是两个基本有理数列，若对任一正有理数 ，有自然数 ，使得当 时，不等式 成立，就称基本有理数列 和 相等，记 。Nna nbnN|nnabna nb nnab实数 称基本有理数列是一个实数，规定相等的基本有理数列是同一实数。引理引理n引理1 两个基本有理数列 和 ， 那么 也都是基本有理数列；na nb, nnnnaba b引理n引理引理2 2 若基本有理数列 满足 则 , , , nnnnabab, nnnnaabb

12、, nnnnnnnnababa ba b 实数域实数域n定义 设 是两个实数，称实数 为“ 加 ”（和）， 记 。称 为 乘 （积），记 （引理说明合理性）, nnaabbnnab a bnna bna nbabab实数域定理 实数 全体按上述的加法及乘法成为一个域。（ Abel群; Abel群; 乘法与加法之间的分配律）。(, )R( , )R R开集开集n邻域： 称 为 的 邻域。n内点：存在 的一个 邻域 则称 集 的内点。n开集：集合的每一点都是内点。aR( , ) :|U axxaaa( , )U aAaA聚点聚点n聚点： 的任意的邻域中都含有 中异于 的一个点，则称 为 的聚点。

13、0, ( ( , ) )U aaA , . .()nnnxA xa st xa n aAaAaa的任意的邻域中都含有 A中无限多个点闭包、闭集闭包、闭集n闭包：设 表示 的一切聚点所成之集， 的闭包定义为 n闭集：如果 的余集 是开集， 则称 为闭集。n定理： 为闭集的充分条件是AAAAAAAcARAAAAAn 实数理论正是由于极限运算而出现的。例如一个单调递增的数列，如果有上界，是否一定有极限。从几何的直观上这个问题似乎是显而易见的，但若要求给出严格的逻辑证明却又发生困难。这样必须要有严格的数学理 论，给极限论以坚实的基础。 Cantor提出的这种用一列数来规定一个数的思想不仅为实数建立了严

14、格的理论，而且这个方法已被泛函分析和其它学科推广了。极限理论极限理论n定义 设 是一实数列，如果有实数 ，适合如下条件：对于任何正实数 ，有自然数 ，得当 时， 成立 那么称实数列 收敛于极限 ，记 na|naaNnNanaalimnnaa上确界上确界 若 是 的一个上界，且对 的任一上界 ，均有 ，则称 为 的上确界，记 。 下确界aAaaaaARAsupaAinf A上确界上确界 是 的最小上界 是 的一个上界; 比 小的任何数都不是 的上界。AsupaAaaAAa. .,(1),iesasA (2)0, . .bA st ba 定定 理理确界存在定理 有上（下）界的非空数集必存在上（下）

15、确界。单调有界定理 单调递增有上界的数列必存在极限。闭闭区间套定理区间套定理n设 是一串闭区间，满足： （1）对任何自然数 ，都有（2） 则有 且 是一切闭区间的唯一公共点.,1,2,.nnabn n1122,.,.nna babablimlim,nnnnacbclim()0.nnnba1., ., .nnni eabc紧性定理紧性定理nBolzano-Weierstrass定理：任一有界数列必有收敛的子列。n覆盖： 是一族开区间，若 ,则称开区间族 覆盖了U , a bUU , .a b紧性定理紧性定理Heine-Borel定理： 若开区间族 覆盖有界闭区间 ，则从 必可挑出有限个开区间 同

16、样覆盖U , a b12,.,nU UU , :a b12 , .na bUUUU完备性定理完备性定理 nCauchy列 ： nCauchy收敛原理：数列 存在极限的充要条件为 是 Cauchy列 。na0,|.nmNn m N aa nana实数集的完备性实数集的完备性( (连续性连续性) )nCauchy收敛原理：n单调有界原理n闭区间套定理n确界存在定理nBolzano-Weierstrass定理(聚点定理)nHeine-Borel定理(有限覆盖定理)Cantor 三分集三分集n 将 均分为三段，删去中间的开区间 ，剩下两个闭区间 和 ，又把这两个部分都均分成三段，删去中间的开区间 和 。如此下去0,11233( , )130, 23 ,11299( , )7899( , )Cantor三分集三分集n自然有些点是永远删不去的( 被删去的开区间的端点 )，所有这些永远删不去的点所成的集称为 Cantor Cantor 集集。1233, ,.Cantor三分集三分集n Cantor三分集在现代分析中是一个十分典型而有用的集合。 它是一个最经典的自相似集， 在分形几何中具有重要地位。 然而，经典的分析却把它看成是“病态”的集合， 而将它排除在研究和讨论的问题之外。Cantor三分集三分集n 事实上,