曲线的凹凸性与拐点-0

1、主要内容主要内容：曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义 曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定 曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法单调性单调性单调性的判别法单调性的判别法xyo)( xfy abAB0)( xf单单调调增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA单单调调减减少少单调区间的求法单调区间的求法函数极值函数极值函数极值的定义函数极值的定义函数极值的求法函数极值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函数最值函数最值最值存在判别法最值存在判别法oxyoxybaoxyabab最值的求法最值的求法函数最值的求法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸性问题问题:如何研究

2、曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoABC(凹凸性凹凸性)一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC定义定义;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的

3、的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的内的图形是凹的在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf 二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导

4、数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方的的（或或凸凸弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末称称如如果果恒恒有有的的（或或凹凹弧弧）上上的的图图形形是是（向向上上）凹凹在在那那末末称称恒恒有有点点上上任任意意两两如如果果对对上上连连续续在在区区间间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(

5、,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹

6、的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1. 讨论曲线y=lnx在(0, +)内的凹凸性.解解:)0( 012时因为 xxy由定理3知曲线 y=lnx在(0, +)内是凸的. oyx1y=lnx例例2 2.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,曲线凹凸的定义曲线凹凸的

7、定义xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy abAB递递增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y曲线的拐点及曲线的拐点及其求法其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点. 注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.xyoABC0 x0y0 x,()拐点拐点改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy

8、abAB递递增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y曲线的拐点及曲线的拐点及其求法其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点. 拐点的求法拐点的求法:曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy abAB递递增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y曲线的拐点及曲线的拐点及其求法其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点. 拐点的求法拐点的求法:( (方法方法1)1)0)

9、(0 xf;)0(,0(,)(0)1(即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)0(,0(,)(0)2(不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx xyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy abAB递递增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y曲线的拐点及曲线的拐点及其求法其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点. 拐点的求法拐点的求法:( (

10、方法方法1)1)0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf例例3 3.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32().,32,32, 0,0 ,(凸区间凸区间凹为凹为曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定xyo)(xfy

11、 abAB递递增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y曲线的拐点及曲线的拐点及其求法其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点. 拐点的求法拐点的求法:( (方法方法1)1)0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf( (方法方法2)2)0)(0 xf0)(0 xf.)()0(,0(的拐点的拐点是曲线是曲线xfyxfx 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得

12、得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy5329,yx .,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx , 0,)0 ,( y内内但在但在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 注意注意: :曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义xyo1x2x)(xfy xyo)(xfy 1x2x凹弧凹弧凸弧凸弧曲线凹凸的判定曲线凹凸的判

13、定xyo)(xfy abAB递递增增)(xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y曲线的拐点及曲线的拐点及其求法其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点拐点. 拐点的求法拐点的求法:( (方法方法1)1)0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf( (方法方法2)2)0)(0 xf0)(0 xf.)()0(,0(的拐点的拐点是曲线是曲线xfyxfx 拐点的求法拐点的求法:在在0)(0 xf或一阶二阶导数不存在处用方法一或二判定或一阶二阶导数不存在处用方法一或二判定单调性单调性单调性的判别法单调性的判别法xyo)

14、( xfy abAB0)( xf单单调调增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA单单调调减减少少单调区间的求法单调区间的求法函数极值函数极值函数极值的定义函数极值的定义函数极值的求法函数极值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函数最值函数最值最值存在判别法最值存在判别法oxyoxybaoxyabab最值的求法最值的求法函数最值的求法函数最值的求法曲线凹凸性曲线凹凸性曲线凹凸的定义曲线凹凸的定义曲线凹凸的判定曲线凹凸的判定曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法xyo)( xfy 1x2xxyo1x2x)( xfy xyo)(xfy abAB递递增增)( xf 0 yxyo)(xfy abBA递递减减)(xf 0 y0)