第十章 组合变形

1、2022年年7月月5日日第十章第十章 组合变形组合变形 中国民航大学中国民航大学第一节第一节 概概 述述第二节第二节 斜弯曲斜弯曲第四节第四节 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合第三节第三节 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合第五节第五节 组合变形的普遍情况组合变形的普遍情况10.1 概概 述述请看实例请看实例拉弯组合拉弯组合弯扭组合弯扭组合在外力作用下，构件若同时产生两种或两在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，称为种以上基本变形的情况，称为组合变形组合变形。拉扭组合拉扭组合10.1 概概 述述压弯组合压弯组合10.1 概概 述述组合变形的研究方法组合变形的研究方法

2、叠加原理叠加原理外力分析：外力分析：外力向形心外力向形心( (或弯心或弯心) )简化并沿主惯性轴分解；简化并沿主惯性轴分解；内力分析：内力分析：作每个外力分量的内力图，确定危险面；作每个外力分量的内力图，确定危险面；应力分析：应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立强度条件。画危险面应力分布图，叠加，建立强度条件。前提：前提：小变形、线弹性。小变形、线弹性。叠加原理叠加原理: :杆件在几个载荷作用下产生的总效果杆件在几个载荷作用下产生的总效果, ,等于各载荷单独等于各载荷单独 作用产生的效果之和作用产生的效果之和. .求解方法求解方法: :将载荷分成几组静力等效载荷将载荷分成几组静力等效载荷,

3、 ,他们各自对应一种基本他们各自对应一种基本 变形变形, ,分别计算杆件在各基本变形下的应力、变形值。分别计算杆件在各基本变形下的应力、变形值。 然后叠加，即得原载荷引起的应力、变形。然后叠加，即得原载荷引起的应力、变形。10.2 斜弯曲（弯弯组合）斜弯曲（弯弯组合）动画：矩形截面梁斜弯曲动画：矩形截面梁斜弯曲平面弯曲：平面弯曲：1：所有外力作用在：所有外力作用在纵向对称平面内；纵向对称平面内；2：外力通过弯曲：外力通过弯曲中心，且与形心主中心，且与形心主惯性轴平行；惯性轴平行；斜弯曲：斜弯曲：外力通过弯曲中心，外力通过弯曲中心，但于形心主惯性轴间但于形心主惯性轴间存在一定夹角。存在一定夹角。

4、cos ,sinyzPPPP cos ,sinyzPPPP ();()yzzyMP lxMP lx10.2 斜弯曲（弯弯组合）斜弯曲（弯弯组合）例例1 已知：矩形截面梁截面宽度已知：矩形截面梁截面宽度b、高度高度h、长、长2l，外载荷，外载荷FP1和和FP2。求：。求：根部截面上的最大正应力。根部截面上的最大正应力。A点点弯曲拉弯曲拉应力最大应力最大：解：解： 悬臂梁在悬臂梁在FP1力作用下，在力作用下，在xz平面内产生平面弯曲；在平面内产生平面弯曲；在FP2力作用力作用下在下在xy平面内产生平面弯曲。平面内产生平面弯曲。两种平面弯曲的最大弯矩都在根部截面上，所以两种平面弯曲的最大弯矩都在根部

5、截面上，所以根部横截面上的应力叠加后的最大拉应力和最大根部横截面上的应力叠加后的最大拉应力和最大压应力分别为：压应力分别为：maxyztyzMMWW122 ;yPzPMFlMFlB点点弯曲压弯曲压应力最大应力最大：max()yzcyzMMWW 斜弯曲情况下，横截面的对称轴一般不是中性轴。斜弯曲情况下，横截面的对称轴一般不是中性轴。1324xMzMyzytantan00yzIIzyaFzyx10.2 斜弯曲（弯弯组合）斜弯曲（弯弯组合）P解：解：当小车行至梁跨度中点当小车行至梁跨度中点时，梁的最大弯矩最大，所时，梁的最大弯矩最大，所以最危险截面是梁跨度中点以最危险截面是梁跨度中点处的截面。处的截

6、面。将将 P 沿两个主惯性轴分解沿两个主惯性轴分解:cos30 cos1529kNyPPsin30 sin157.76kNzPP例例2 已知：已知：l=4m, P=30kN， =15。材料为。材料为No.32a工字钢，工字钢， =160MPa。试。试校核梁的强度校核梁的强度。P/ 2l/ 2lmax29 429kNm44yzPlMmax7.76 47.76kNm44zyPlM确定危险点：确定危险点：D1，D266maxmaxmax3329 107.76 10151.5MPa 692.2 1070.8 10yzzyMMWW33maxmax330 104 1043.3MPa4 692.2 10zM

7、W 无偏离时：无偏离时：D1D2cosPPxsinPPy产生轴向拉伸产生轴向拉伸产生弯曲变形产生弯曲变形轴力引起截面上的正应力：轴力引起截面上的正应力：NxFPAA 弯矩引起截面上的正应力：弯矩引起截面上的正应力：()yzzzP lxyM yII 总应力：总应力：NzzFM yAINt,maxzzFMAWNc,maxzzFMAW 一、一、弯拉（压）组合弯拉（压）组合10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合+c,maxt,max=lxyzPxyPxPk固定端处固定端处 Mz 最大，该截面为危最大，该截面为危险截面，其上的最大应力：险截面，其上的最大应力：Nmaxt,maxzzFMA

8、WNmaxc,maxzzFMAW因此，强度条件为：因此，强度条件为：Nmaxt,maxztzFMAWNmaxc,maxzczFMAW10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合 +c,maxt,max=lxyzPyPxPxk解：解：1、内力计算、内力计算轴力轴力 FNP弯矩弯矩aFMaFMyzsincos例例3 求图示悬臂梁求图示悬臂梁 a 截面指定点的正应力。截面指定点的正应力。2、应力计算、应力计算点点 1：NzyyzFMMzyMMPAWW点点 2：NzyFMMyzzyMMPAWW点点 3：NzyFMMyzzyMMPAWW点点 4：NzyFMMyzzyMMPAWW1324xMzM

9、yzyFNaFzyxzy1234P10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合二、偏心压缩二、偏心压缩ypyyzpzzIzPzIzMIyPyIyMAP NypzpFP MP zMP y 10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合二、偏心压缩二、偏心压缩ABCDPypzpxyz内的点：内的点：yzyzM zM yPAII NypzpFP MP zMP y PMyMzMzMyP内的点：内的点：yzyzM zM yPAII 内的点：内的点：yzyzM zM yPAII 内的点：内的点：yzyzM zM yPAII ABCD端为危险截面端为危险截面A点拉应力最大，点拉应力最大，C

10、点压应力最大点压应力最大底端横截面为危险截面底端横截面为危险截面A点拉应力最大，点拉应力最大，C点压应力最大点压应力最大Nt,maxyzyzMFMAWW Nc,maxyzyzMFMAWW t,maxtc,maxc压压应应力力拉拉应应力力10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合中性轴方程中性轴方程0)1 (2020ypzpizziyyAP12020ypzpizziyypzyyia2pyzzia2三、截面核心三、截面核心压力作用在一个封闭区域内时，截面上只压力作用在一个封闭区域内时，截面上只有压应力而没有拉应力。有压应力而没有拉应力。2;*dzy16222diizy8;0*21*21

11、dzieyieyzzy截面核心的应用：截面核心的应用：10.3 拉伸（压缩）与弯曲组合拉伸（压缩）与弯曲组合中性轴中性轴中性轴中性轴直线直线1的截距：的截距：2;*hzy1212232hbhbhAIiyy1212232bbhhbAIizz6;0*21*21hzieyieyzzy得得1点坐标：点坐标：同理得同理得2点的坐标：点的坐标：6;0*22*22bzieyieyyzzmm5102010100201020Cz235100101210010CyI4523mm1027.7252010122010解：解：内力分析内力分析如图如图坐标如图，挖孔处的形心坐标如图，挖孔处的形心3510500N mMPP

12、PP2010020yzyC例例4 图示钢板受力图示钢板受力 P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板宽试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？MFNycIzMANmaxmaxMPa8 .1628 .37125应力分析应力分析如图如图73631027.710555001080010100孔移至板中间时孔移至板中间时)100(10mm9 .631108 .16210100263maxxNAmm8 .36 xP2010020yzyCMN例例4 图示钢板受力图示钢板受力 P=100kN，试求最大正应力；若

13、将缺口移至板宽试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？作作 业业P281-28210-2、 10-5、10-1010.4 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合动画：拉、扭、弯组合动画：拉、扭、弯组合动画：弯扭组合变形动画：弯扭组合变形一、弯扭组合一、弯扭组合BB BB 剪力剪力 FS = P，可忽略不计，可忽略不计弯矩弯矩 M = - P( l x )扭矩扭矩 T = Mc = Pd/2MPlxTMcx10.4 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合PzWMpTW223142102CDlyzx三个主应力为：三个主应力为：

14、BPcMxBB 31 224 22r,3zMTW由第三强度理论：由第三强度理论： 2221223311()()()2 223 22r,40.75zMTW由第四强度理论：由第四强度理论：对于圆截面杆：对于圆截面杆：10.4 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合二、弯拉二、弯拉( (压压) )扭组合扭组合 22r34由第三强度理论：由第三强度理论： 22r43 22MN()3由第四强度理论：由第四强度理论： 22MN()4危险截面：危险截面：A截面；截面； 危险点：危险点：a点点应力状态：单向拉压应力状态：单向拉压+纯剪切纯剪切10.4 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合33p16 7 1035.7MPa0.1

15、TW MPa37. 61 . 01050423AP解：解：拉扭组合拉扭组合, ,危险点应力状态如图危险点应力状态如图例例5 5 直径为直径为d = 0.1m的圆杆受力的圆杆受力如图如图, ,T=7kNm, P=50kN, , =100MPa, ,试按试按第三强度理论校第三强度理论校核此杆的强度核此杆的强度。故，安全。故，安全。22r3134AAPPTT2222max(min)()()2222xyxyxDCAB(b)解：解： （1）分析载荷）分析载荷如图（如图（b）所示。所示。（2）作内力图）作内力图如图（如图（c）、）、（d）、（e）、（f） 所示。所示。1.5kN m5kN7kN12kN1.

16、5kN m(c)xT1.5kN m5kN500(a)3002kN5kNCA2kN500DB12.5kN4.9kN4.5kN2.1kN例例6 如图所示一圆轴，装有皮带轮如图所示一圆轴，装有皮带轮A和和B。两轮有相同的直径。两轮有相同的直径D=1m和和相同的重量相同的重量P=5kN。两轮上的拉力两轮上的拉力大小和方向如图。设许用应力大小和方向如图。设许用应力 =80MPa，试按第三强度理论来，试按第三强度理论来求所需圆轴直径。求所需圆轴直径。DCAB(b)1.5kN m5kN7kN12kN1.5kN m12.5kN4.9kN4.5kN2.1kN22(1.5)(2.1)2.58kN mCM22(2.

17、25)(1.05)2.48kN mBMxyzx(f)MyMx(e)zMx(d)按第三强度理论按第三强度理论:363m103 .3732dW因此，得：因此，得：mm72d 22r3MTW6221080)1500()2580(W2.25kN m1.5kN m2.1kN m1.05kN m2.58kN m2.48kN m解：解： （1）分析载荷）分析载荷任意横截面上的任意横截面上的内力分量为：内力分量为：例例7 如图所示，水平放置的圆弧形圆截面杆，平均如图所示，水平放置的圆弧形圆截面杆，平均半径为半径为 R， A点承受铅垂载荷点承受铅垂载荷 F。材料的许用应力为。材料的许用应力为 ，试按第三强度理论

18、设计圆杆的直径。，试按第三强度理论设计圆杆的直径。圆杆发生弯扭组合变形，由第三强度理论公式得：圆杆发生弯扭组合变形，由第三强度理论公式得：10.5 组合变形的普遍情况组合变形的普遍情况同时承受弯矩、扭矩、剪力同时承受弯矩、扭矩、剪力 和轴力作用的圆轴和轴力作用的圆轴特点：除特点：除Mx、My、Mz外，外，还有还有FNx ( 忽忽略略FQy ) 危险点的应力状态为危险点的应力状态为 、 同时作用的情形，所不同的是：同时作用的情形，所不同的是：,4223r ,3224r AFWMxN pxMW22zyMMM例例8：均均质圆杆质圆杆AB，直径为，直径为d。B端铰支，端铰支，A端靠在光滑的铅直墙上。端靠在光滑的铅直墙上。若圆杆只承受自重若圆杆只承受自重q，试确定杆内最大压应力截面到，试确定杆内最大压应力截面到A端的距离。端的距离。0,cos/ 2sin0cot/ 2BAAmqL LRLRqL解：解： (1) 先求先求A点的约束力点的约束力N2( )cos( sin )cossin2sinAFxRqxqLqx22( )sin( cos )2coscos22