数学物理方程_定解问题

1、第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程数学物理思想数学物理思想数学物理方程（简称数学物理方程（简称数理方程数理方程）是指从物理）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程程数学物理方程所研究的内容和所涉及的领数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中自然界中的的许多许多物理现象物理现象和和普遍规律普遍规律.物理规律是代表某物理物理规律是代表某物理现象的物理量在空间的现象的物理量在空间的分布规律和时间的变化分布规律和时间的变化

2、规律。可用规律。可用u(r,t)表示。表示。物理规律反应的是同一物理规律反应的是同一类物理现象遵从的共同类物理现象遵从的共同规律，具有普遍性。规律，具有普遍性。 对于具体问题，由于所对于具体问题，由于所处的处的“环境环境”或或“历史历史原因原因”不同，代表同一不同，代表同一类物理现象的物理量的类物理现象的物理量的具体表达式不同。具体表达式不同。物理规律的物理规律的普遍性普遍性具体问题的具体问题的特殊性特殊性泛定方程：泛定方程：数学上，数学物理方程本身叫做泛定方程。边界条件：边界条件：物理量在边界处需满足的关系。初始条件：物理量在一开始的状态值初始条件：物理量在一开始的状态值。定解条件：边界条件

3、和初始条件合称为定解条件定解条件：边界条件和初始条件合称为定解条件。定解问题：由泛定方程和定解条件构成的数理问题定解问题：由泛定方程和定解条件构成的数理问题。几个概念几个概念振（波）动是研究源与波、场振（波）动是研究源与波、场之间的变化关系之间的变化关系热传导、扩散是研究热源与温热传导、扩散是研究热源与温度场、浓度之间的关系度场、浓度之间的关系泊松（泊松（S. D. Poisson S. D. Poisson 1781178118401840，法国数学家），法国数学家）方程表示的是静态势（或场）方程表示的是静态势（或场）和源分布之间的关系和源分布之间的关系定解定解问题问题从物理规律角度来分析，

4、数学物理定解问题表征的从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系是场和产生这种场的源之间的关系多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏微分方程微分方程振动与波（振动波，电磁波）传振动与波（振动波，电磁波）传播满足播满足波动方程波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导问题和扩散问题满足热传导方热传导方程程静电场和引力势满足静电场和引力势满足拉普拉斯方拉普拉斯方程或泊松方程程或泊松方程第七章第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题7.1 数学建模数学建模-数学物理方程的建立数学物理方程的建立具有波动方具有波动方程的数理方程的数理方程的建立程的建立弦的横振动弦的横振动 杆的纵振

5、动杆的纵振动 再讨论再讨论定解条定解条件件传输线方程传输线方程 一、波动方程一、波动方程1. 弦的微小横振动弦的微小横振动考察一根长为考察一根长为l且两端固定、水平拉紧的弦且两端固定、水平拉紧的弦讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题要确定弦的运动方程，需要明确：题要确定弦的运动方程，需要明确：确定确定弦的弦的运动运动方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪）被研究的物理量遵循哪些物理定理？些物理定理？牛顿第二定律牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物理）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）方程（即建立泛定方程） 要研究的物理量是什么？要

6、研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ； ( , )u x t任选一小段弧任选一小段弧ABC（端点除外），作为研究对（端点除外），作为研究对象。象。 由于其长度非常小由于其长度非常小, 可以看作质点。可以看作质点。 下面下面分析该弧段所遵循的物理规律。分析该弧段所遵循的物理规律。图图7.1注意：注意： 物理问题涉及的因素较多，往往还需要物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化引入适当假设才能使方程简化 数学物理方程必须反映弦上任一位置上数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在

7、端点上，但可以取除端点之外的任不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点何位置作为考察点 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律mFau在横向的运动方程可以描述为在横向的运动方程可以描述为 2211sinsind( d )ttTTg ss u（7.1.1） 作用于小段作用于小段ABC的纵向合力应该为零：的纵向合力应该为零： 2211coscos0TT (7.1.2) 仅考虑仅考虑微小微小的横振动，的横振动， 21,2221,夹角夹角为很小的量，忽略为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有 2112cos11, cos12! 311111

8、222sintan, sintan3!222d(d )(d )1 () ddxsxuuxx注意到: tansinxuux故由图故由图7.1得得1122dtansin, tansinxxxxxuu这样，这样，(7.1.1)和和(7.1.2)简化为简化为21d21dd (9.1.3) 0 (9.1.4) xxttxxxT uT ug xuxTT(7.1.3)(7.1.4)因此在微小横振动条件下，可得出因此在微小横振动条件下，可得出 12TT ，弦中张力不随，弦中张力不随x而变，而变， 可记为可记为 21TTT故有 d()ddxxttxxxT uug xux (7.1.5) 变化量dx可以取得很小，

9、根据微分知识有下式成立 dddxxxxxxxxuuuxuxx这样，这样，ABC段的运动方程段的运动方程(7.1.5)(7.1.5)就成为就成为 0 ttxxuTug (7.1.6)即为即为2ttxxua ug （7.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程 其中其中2/aT讨论：讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(7.1.7)右端的重力加速度项可以忽略由此得到下列齐次右端的重力加速度项可以忽略由此得到下列齐次偏微分方程：偏微分方程： 2ttxxua u （7.1.8） 称式（称式

10、（7.1.8）为弦的自由振动方程。）为弦的自由振动方程。(2) 如果在弦的单位长度上还有横向外力 ( , )F x t作用，则式(7.1.8)应该改写为 2( , )ttxxua uf x t (7.1.9) 式中式中( , )( , )F x tf x t称为力密度称为力密度 t，为，为时刻作用于时刻作用于x处单位质量上的横向外力处单位质量上的横向外力式（式（7.1.97.1.9）称为弦的）称为弦的受迫振动受迫振动方程方程. . 2、 均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动B段的运动方程为段的运动方程为 dd( d )xxxttxxxuYSuYSuYSxS x ux（7.1.10） 可得可得 0 xx

11、ttYuu（7.1.11） 这就是杆的纵振动方程杆的纵振动方程 一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使一根杆，只要其中任一小段做纵向移动，必然使它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使它的邻段压缩或伸长，这邻段的压缩或伸长又使它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵它自己的邻段压缩或伸长。这样，任一小段的纵振动必然传播到整个杆振动必然传播到整个杆,这种振动的传播是这种振动的传播是纵波纵波.3. 传输线方程（电报方程）传输线方程（电报方程） 在非常长的两条平行传输线的输入端加上交变电源时，等效电路为设传输线上任一点处的电压和电流分别为u(x,t), i(x,t)传输线所满足的方程分别为传

12、输线所满足的方程分别为 2222()LCRC GLGRxttvvvv （7.1.10） 2222()iiLCRCGLGRittix (7.1.11) 式（7.1.10）及（7.1.11）即为一般的传输线方程（或电报方程） 令令 无损耗情况下无损耗情况下2222L Cxtvv（7.1.12） 上式具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同。LCa1222222xvatv7.2.1 数学建模数学建模稳定场方程类型的建立稳定场方程类型的建立 1 静电场的电势方程静电场的电势方程 直角坐标系中泊松方程泊松方程为 2222220UUUxyz (7.1)V0若空间中无电荷，即电荷密度，上式成

13、为 2222220UUUxyz (7.8) 称这个方程为拉普拉斯方程拉普拉斯方程. 二、稳定场方程二、稳定场方程2. 稳定温度分布稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程即为下列拉普拉斯方程和泊松方程. 2222220uuuxyz (7.1.19)22222221( , , )uuuf x y zxyza (7.1.20)7. 波动方程的定解条件波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件1.初始条件初始条件 波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加速度要确定振动状态

14、，需知道开始时刻每点的位移和速度 波动方程的初始条件通常是 00( , )|( , )( ), ( , )|( ,0)0)(ttttu x tu xxu x tu xx （7.2.1） 7. 数学物理定解条件数学物理定解条件例例7.2.1 一根长为 l的弦，两端固定于 0 x 和xl,在距离坐标原点为 b的位置将弦沿着横向拉开距离的位置将弦沿着横向拉开距离 h，如图7.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。 x u o b l h 图 7.5 【解解】 初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有 0( , )|( ,0)0tttu x tu x 初始位移如图所示 (0)( ,0)

15、() ()hxxlbu xhlxbxLlb2.边界条件边界条件 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件第一类边界条件 直接规定了所研究的物理量在边界上的数值 第二类边界条件第二类边界条件 规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值 000,000( , , , )|(, )xyzu x y z tf xyz t （7.2.2） 000000,(, )xyzuf xyz tn（7.2.3） 第三类边界条件第三类边界条件 规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值 000000,()(, )nxyzuHuf xyz t（7.2.4） ftH其中其中是时间是时间的已知

16、函数，为常系数为常系数 7.2.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件 泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件,而只有边界条件. 边界条件分为三类: 1、在边界上直接给定未知函数u, 即为第一类边界条件2、在边界上给定未知函数导数的值,即为第二类边界条件3、在边界上给定未知函数和它的导数的某种线性组合, 即第三类边界条件. 第一、二、三类边界条件可以统一地写成第一、二、三类边界条件可以统一地写成 ( , )uutn (7.2.5)其中是边界上的变点； unu表示物理量沿边界外法线方向的方向导数； , 为常数，它们不同时为零 7.3其它边界条件其它边界条件

17、除了前面我们介绍的第一、第二、第三类边第一、第二、第三类边界条件界条件之外，还有其它边界条件，如自然边界自然边界条件，衔接条件条件，衔接条件, 周期性条件周期性条件 7.2.4 数学物理定解问题的适定性数学物理定解问题的适定性 (1) 解的存在性解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解； (2) 解的唯一性解的唯一性 看是否只有一个解 (3) 解的稳定性解的稳定性 定解问题来自实际，它的解答也应回到实际中去。应当要求：定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适定性定解问题的适定性. 当定解问题的自由项自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量 三类典型的数学物理方程

18、三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物型方程抛物型方程热传导方程为代表热传导方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程 7.2.6 数学物理定解问题的求解方法数学物理定解问题的求解方法 1.行波法；行波法；2.分离变量法；分离变量法；3.幂级数解法；幂级数解法；4.格林函数法；格林函数法； 5.积分变换法；积分变换法；6.保角变换法；保角变换法； 7.变分法；变分法；8.计算机仿真解法；计算机仿真解法；9.数值计算法数值计算法典型综合实例典型综合实例 l0 xxl0t ()x lx例例 长为的弦在端固定，另一端自由，且在

19、初始时刻时处于水平状态，初始速度为，且已知弦作微小横振动，试写出此定解问题. 【解解】 （1）确定泛定方程）确定泛定方程： x0 x 取弦的水平位置为轴，为原点， 弦作自由（无外力）横振动，所以泛定方程为齐次波动方程 20ttxxua u(2)确定边界条件确定边界条件 对于弦的固定端，显然有 (0, )0ut 另一端自由，意味着其张力为零故0 x lux(3)确定初始条件确定初始条件 ( ,0)0u x0t 根据题意，当时，弦处于水平状态，即初始位移为零 初始速度 0|()tux lxt综上讨论，故定解问题为综上讨论，故定解问题为20 (0,0) (0, )0,|0 (0) ( ,0)0,(

20、,0)() (0) ttxxxx ltua uxl tututu xu xx lxxl历年试题一、填空题一、填空题 (2010)5、常见的三类数学物理方程根据物理过程可分、常见的三类数学物理方程根据物理过程可分为为 、 和和 ；一、填空题一、填空题 (2009)5. (6分)常见的数学物理方程都是线性二阶偏微分方程，主要有 ， 和 三类，对应于数学上的分类，即 ， 和 ；四、简述题四、简述题(2008)3 简述数理方程分析物理问题的步骤以及数理方程、边界条件的分类。（9分）作业：作业： 122页：页： 第第3, 7题；题； 128页：页： 第第1, 3题题. 7.3 行波法行波法对于常微分方程

21、的求解对于常微分方程的求解, 一般是先求方程的通解一般是先求方程的通解,而通解中含有任意常数而通解中含有任意常数(积分常数积分常数), 用初始条件用初始条件确定这些常数确定这些常数. 本节仿照这个方法求解偏微分方本节仿照这个方法求解偏微分方程的定解问题程的定解问题.先求通解先求通解(其中含其中含有任意函数有任意函数)用定解条件确定用定解条件确定这些函数这些函数波动方程的初值问题（一维）波动方程的初值问题（一维）)(),()(),(, 0 ),(0022222xtxuxtxuRxttxfxuatuttt（I）1. 无界弦的自由振动无界弦的自由振动)(),()(),(, 0 ,0022222xtx

22、uxtxuRxtxuatuttt可以改写为0uxatxat作线性变换,atx atx 方程改写为02u02u022222xuatuatx atx uuxu22222222uuuxuuuatuuuatu222222222uuuatu02u)(Fu)()( )()(),(212fffdFu)()(),(21atxfatxftxu此即为原方程的通解。利用初值条件确定函数f1, f2.)()0 ,(xxu)()()(21xxfxf)()0 ,(xxut)()()(21xxfxfa)()(d)(1)()(0201210 xfxfaxfxfxx其中 为任意一点.0 x)()(21d)(21)(21)(02

23、0110 xfxfaxxfxx)()(21d)(21)(21)(020120 xfxfaxxfxxd)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu达朗贝尔公式达朗贝尔公式d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu)()(21)()(21atxatxaatxatx把定解问题的解表示为左、右行进波把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法称为相叠加的方法称为“行波法行波法”。也可写为也可写为物理意义：物理意义：)(),(1atxftxu)()0 ,(1xfxu0t0tt )(),(010atxftxuuxxtuOO0 x00atx xO0 xatx 0)(1xfu )(

24、1atxfuatxO0 xatx 0)(2atxfu)(2xfu at右传播波右传播波左传播波左传播波例1：xuxuxuatuttt0022222,cos0d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu解：由达朗贝尔公式解：由达朗贝尔公式d212)cos()cos(atxatxaatxatxxtxatcoscos2. 无界弦的强迫振动无界弦的强迫振动)(),()(),(, 0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt)(),()(),( ,0022222xtxtuxtxuxuatutt0),(0),( ),(0022222tttxtutxutxfxuatu（

25、I）（II）（III）叠加原理叠加原理定解问题（I）的解),(Itxu是定解问题(II)的解),(IItxu),(IIItxu与定解问题（III）的解之和。问题（II）的解可以用达朗贝尔公式来求解。故只须考虑求解问题（III）的解。我们利用齐次化原理来求解问题（III）的解。(在此从略)3. 半无界弦的自由振动半无界弦的自由振动)(), 0()(),( ),(),(0 , 0 ,0022222tgtuxtxtuxtxuxtxuatutt我们先考虑0)(tg情形，即一端 x = 0 固定的振动。希望能利用达朗贝尔公式来求解。d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxu为此，我们要作

26、奇延拓)0(),()0(),(),(xtxuxtxutxU)0()()0()()(xxxxx)0()()0()()(xxxxx)(),( ),(),( , 0 ,0022222xtxtUxtxUxtxUatUttd)(212)()(),(atxatxaatxatxtxU为了得到半无界问题的解，只须限制0 x当0, 0atxx时，当0, 0atxx时，d)(212)()(),(atxatxaatxatxtxud)(212)()(),(atxxataxatatxtxu当在当在 x = 0处有一个自由端，即处有一个自由端，即0), 0(tux则需要作偶延拓。则需要作偶延拓。例例303,0 t, 0 ,00202222xtttuxuxuxxutu0, 0txx当d)3(212)()(),(22txtxtxtxtx