课程教学大纲(第二版)

1、数学与应用数学专业数学与应用数学专业课程教学大纲（第二版）课程教学大纲（第二版）惠州学院数学系惠州学院数学系20092009 年年 1010 月月2009 年编制1目目 录录高等代数高等代数教学大纲教学大纲.2数学分析数学分析课程教学大纲课程教学大纲.8解析几何解析几何课程教学大纲课程教学大纲.12近世代数近世代数课程教学大纲课程教学大纲.15常微分方程常微分方程课程教学大纲课程教学大纲.18复变函数复变函数课程教学大纲课程教学大纲.22组合数学组合数学课程教学课程教学大大纲纲.26初等数论初等数论课程教学大纲课程教学大纲.29实变函数实变函数课程教学大纲课程教学大纲.32竞赛数学竞赛数学课程

2、教学大纲课程教学大纲.35数学教育学数学教育学课程教学大纲课程教学大纲.37高等几何高等几何课程教学大纲课程教学大纲.40数学分析选讲数学分析选讲课程教学大纲课程教学大纲.48高等代数选讲高等代数选讲课程教学大纲课程教学大纲.51数学建模数学建模课程教学大纲课程教学大纲.57泛函分析泛函分析课程教学大纲课程教学大纲.64拓扑学拓扑学课程教学大纲课程教学大纲.672009 年编制2高等代数高等代数教学大纲教学大纲HIGHER ALGEBRA（2009 年年 10 月修订，李桂贞执笔）月修订，李桂贞执笔）一、一、 课程的适用专业、学时及学分课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数

3、学专业，192 学时，11 学分。二、课程的性质、目的和任务二、课程的性质、目的和任务高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。通过学习本课程，使学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。三、与其它课程的联系三、与其它课程的联系高等代数是数学专业必修的代数类基础课，是中学代数的继续和提高，是后续的专业课如常微分方程、近世代数、泛函分析等课程的先修课。四、课程的基本内容、重点及难点四、课程的基本内容、重点及难点（一）基本概念（一）基本概念本章主要介绍了集合、映射

4、、数环、数域等基本概念，这些概念是学习本课程及其它数学分支的基础知识。1、集合子集 集的相等 集合的交与并及其运算律 笛卡儿积2、映射映射 满射 单射 双射 映射的相等 映射的合成 可逆映射 映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理 第一数学归纳法 第二数学归纳法、整数的一些整除性质45、数环和数域重点及难点：重点及难点：映射 可逆映射 数域。（二）多项式（二）多项式本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项2009 年编制3式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学

5、分支的必要基础。1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质 带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质 辗转相除法 多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念 唯一因式分解定理 典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念 多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念 余式定理 综合除法 多项式的根的概念 根与一次因式的关系 多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义 Gauss 引理 整系数多项式在有理数域上的可约性问题 Eisenste

6、in判别法 有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式 多元多项式的概念 字典排列法 多元多项式的和与积的次数10、对称多项式对称多项式的概念 初等对称多项式 对称多项式基本定理重点及难点：重点及难点：整除，最大公因式，互素，唯一分解定理，代数基本定理，Eisenstein 判别法。（三）行列式（三）行列式行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具。1、二阶和三阶行列式的结构2、排列排列的概念 反序数及排列的奇偶性 对换及其对排列奇偶性的影响3、n 阶行列式的定义和性质4、行列式依行依列展开2009 年编制4余子式与代数余子式的概念 行列式依行

7、依列展开 Vandermonde 行列式5、Cramer 规则6、Laplace 定理重点及难点：重点及难点：n 阶行列式的计算，Vandermonde 行列式的计算及应用。（四）线性方程组本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。1、线线方程组的消元法线性方程组的初等变换 方程组的一般解和自由未知量 系数矩阵和增广矩阵2、矩阵的秩k 阶子式 矩阵秩的定义 初等变换不改变矩阵的秩 用初等变换求矩阵的秩3、线性方程组有解的判别法线性方程组有解判别定理及解的个数定理4、线性方程组的公式解线性

8、方程组的公式解 齐次线性方程组及其非零解的概念 齐次线性方程组有非零解的充要条件、结式和判别式5结式判别式二元高次方程组的解法重点及难点：重点及难点：矩阵的秩的概念及求法 线性方程组有解的判别及求解（五）矩阵（五）矩阵矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。1、矩阵的运算矩阵的加法、数乘、乘法和转置 单位矩阵2、逆矩阵可逆矩阵及逆矩阵的概念 可逆矩阵的性质 求逆矩阵的公式3、初等矩阵初等矩阵与初等变换的关系 可逆矩阵的判定 用初等变换求逆矩阵4、矩阵乘积的行列式与秩5、矩阵的分块矩阵的分块分块矩阵的加法、数乘及乘法 对角线分块矩阵

9、重点及难点：重点及难点：逆矩阵的求法，初等矩阵与初等变换的关系。2009 年编制5（六）向量空间（六）向量空间向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。本章主要介绍向量空间的概念与性质。1、向量空间的定义、例子及简单性质。2、子空间子空间的定义及充要条件 子空间的交与和3、向量组的线性相关性线性相关 线性无关 替换定理及其推论 等价的向量组及其性质 极大无关组及其性质4、基和维数生成子空间 基和维数的定义 基的性质 维数公式5、子空间的直和直和的定义及充要条件。6、坐标坐标的定义 过渡矩阵 基变换公式 坐标变换公式7、向量空间的同构同构映射的定义与性

10、质 向量空间同构的定义与充要条件8、齐次线性方程组的解空间矩阵的行（列）空间齐次线性方程组的基础解系9、非齐次线性方程组解的结构。重点及难点：重点及难点：向量的线性相关性，基与维数的求法，过渡矩阵，直和的充要条件，齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构。（七）线性变换（七）线性变换线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。1、线性变换的定义及其简单性质2、线性变换的象与核线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法3、

11、线性变换的运算线性变换的加法、数乘与乘法 可逆线性变换及其逆变换4、线性变换和矩阵线性变换的矩阵 向量的象的坐标公式 线性变换与矩阵的同构对应2009 年编制65、矩阵的相似矩阵相似的定义 同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系6、不变子空间7、特征根、特征向量、特征多项式特征根、特征向量及特征子空间的定义、求法 矩阵的迹和行列式同特征根的关系 相似矩阵的特征多项式8、可对角化的矩阵属于不同特征根的特征向量的线性无关性 特征子空间的维数与所属特征根的重数关系线性变换和矩阵可对角化的条件重点及难点重点及难点：线性变换与矩阵的同构对应，特征根，特征向量，矩阵的相似，线性变换的象与核。（八）欧氏空间

12、（八）欧氏空间欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。1、欧氏空间的定义及基本性质2、CauchySchwarz 不等式 向量的长度及两个向量的夹角3、正交基标准正交基和正交化方法4、向量与子空间的正交 正交补向量到子空间的距离5、同构的定义和同构的充要条件6、正交变换与正交矩阵正交变换与正交矩阵的关系 一个线性变换是正交变换的充要条件7、对称变换与实对称矩阵对称变换的定义 对称变换与实对称矩阵的关系 对称矩阵的标准形、酉空间8、酉变换和对称变换9重点及难点重点及难点：Cauahy-Schwarz 不等式，正交基与正交化

13、方法，正交补，正交变换，对称矩阵的标准形。（九）二次型（九）二次型二次型的理论起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关内容的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象。本章主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判别。1、二次型的矩阵表示2009 年编制7二次型的定义 变量的非退化线性变换 二次型的秩 二次型的化简与对称矩阵的合同2、标准形3、复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性 惯性定理4、正定二次型的定义及充要条件正定二次型的定义正定矩阵正定二次型的充要条件重点及难点重点及难点：矩阵的合同，求二次型的标准形和典范形，正定二次型的判别。五、学时分配表各教学环节学时分配表章 节主要

14、内容讲授实验讨论习题课外其它小计备 注一基本概念628二多项式242632三行列式14418四线性方程组12214五矩阵122418六向量空间242632七线性变换24630八欧氏空间和酉空间18624九二次型14216合 计148638192六、教材与参考书1 张禾瑞，郝鈵新编， 高等代数（第四版） ，高等教育出版社，2001 年（选用教材）2 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编， 高等代数 ，高等教育出版社，20003 钱芳华，黎有高等编， 高等代数习题课教材 ，广西师范大学出版社，2001.4 王品超编， 高等代数新方法 ，山东教育出版社，1989 5 杨子胥编， 高等代数习题解

15、，山东科学技术出版社 返回目录2009 年编制8数学分析数学分析课程教学大纲课程教学大纲MATHEMATICAL ANALYSIS（2009 年年 10 修订，许金泉执笔）修订，许金泉执笔）一、选用专业，学时及学分一、选用专业，学时及学分本课程适用专业为：数学与应用数学专业；学时：264，学分:15 学分，分三学期授课（第一、二、三学期 ） 。二、课程的性质、目的和任务二、课程的性质、目的和任务本课程是高等师范院校数学教育专业的一门最重要的基础课，授课时间最长。通过本课程的学习使学生掌握极限论，一元函数微积分学，无穷级数及多元函数微积分学方面的系统知识，为进一步学习复变函数论，微分方程，微分几

16、何，概率论与数理统计，实变函数，数学模型等后续课程，也是为深入理解初等数学及从事中学数学工作打下坚实的基础。三、课程的基本内容、重点及难点三、课程的基本内容、重点及难点（一）函数函数概念，函数的四则运算、图象、数列、函数的有界性、单调性，奇偶性、周期性，复合函数，反函数，初等函数。重点和难点：函数的概念与表示，函数的复合运算。（二）数列极限极限思想、数列极限概念、收敛数列的性质：唯一性、有界性、单调性，保号性、迫敛性；收敛数列的四则运算，数列收敛的判别法；单调有界定理，柯西收敛准则；子数列及其收敛性。重点和难点：数列极限概念，N 方法的运用，数列收敛的判别。（三）函数极限x时函数 f（X）的极

17、限，xa 时函数 f（X）的极限 ，单侧极限，函数极限的性质，函数极限 与数列极限的关系，函数极限存在判别法，无穷小，无穷大，无穷小的比较。重点和难点：函数极限概念，- 方法的运用，函数极限存在判别法。2009 年编制9（四）连续函数函数在一点的连续性，函数在区间的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质；闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，一致连续性；连续函数的四则运算，反函数，复合函数及初等函数的连续性。重点和难点：连续函数的概念，连续函数的性质，一致连续性。（五）实数的连续性实数连续性的基本定理：闭区间套定理，确界定理，有限复盖定理，聚点定理 ，致密性定理，柯西

18、收敛准则；闭区间连续函数性质的证明。重点及难点：柯西收敛准则，实数完备性定理的等价性。（六）导数与微分引出导数概念的实例，导数概念；求导法则与导数公式;隐函数与参数方程求导法则；微分概念及运算，近似计算；高阶导数与高阶微分。重点和难点：导数概念及其计算，复合函数微分法。（七）微分学基本定理及其应用微分中值定理；待定型计算的洛必达法则；泰勒公式；导数在研究函数上的应用：单调性的判定，极限与最值，曲线凹凸性，拐点，渐进线；函数图象的描绘。重点与难点：拉格朗日中值定理及其证明方法，极值的判定。（八）不定积分原函数与不定积分的概念，基本初等函数的积分公式；换元积分法与分部积分法；有理函数的积分法，三角

19、函数及简单无理函数的不定积分。重点与难点：不定积分的概念与计算，第一类换元积分法。（九）定积分引出定积分概念的实例，定积分概念；可积准则：可积必要条件，小和与大和，可积充要条件，三类可积函数；定积分性质；定积分的计算：积分上限函数，定积分基本公式，换元积分与分部积分法；定积分的应用：微元法，平面面积，体积，弧长，旋转曲面面积的计算，定积分在物理上的应用。重点与难点：定积分概念，定积分性质，积分上限函数，定积分的应用。(十)无穷级数1数值级数：级数收敛与发散的概念，收敛级数的性质，正项级数及其敛散性的判定；交错级数，任意项级数，绝对收敛，条件收敛。2函数项级数：函数级数的收敛域，一致收敛的概念与

20、判定；函数列的一致收敛，2009 年编制10和函数的分析性质。3幂级数：幂级数的收敛域，幂级数和函数的分析性质，泰勒级数，基本初等函数的幂级数展开，幂级数的应用。4付立叶级数。重点与难点：正项级数审敛法，函数级数一致收敛的概念与判定，幂级数收敛区间及和函数求法，初等函数的幂级数展开。（十一）多元函数微分学1. 多元函数：平面点集，坐标平面的连续性，多元函数的概念。2. 二元函数的极限与连续。3. 多元函数微分法：偏导数，全微分定义及几何意义，复合函数微分法，方向导数。4. 高阶导数与二元函数的泰勒公式重点与难点：二重极限，累次极限，二元函数的连续性，多元复合函数的微分法（十二）隐函数存在性定理

21、及其应用1隐函数概念，隐函数存在性定理，隐函数求导法则；隐函数组，隐函数组的存在性定理及求导法则。2函数行列式及其性质。3几何应用：平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；条件极值。重点与难点：隐函数存在性定理及求导法则。（十三）广义积分与含参变量的积分1. 无穷积分：无穷积分收敛与发散的概念，无穷积分的性质，无穷积分敛散性的判定。2. 瑕积分：瑕积分收敛与发散的概念，瑕积分敛散性的判定。3. 含参变量的有限积分，含参变量的无穷积分，函数与函数。重点与难点：无穷积分、瑕积分收敛与发散的概念，判定，含参变量的无穷积分的一致收敛性。（十四）重积分1. 二重积分：引出二重积

22、分定义的实例，二重积分的概念，性质，二重积分的计算，二重积分的换元，曲面面积。2009 年编制112.三重积分：三重积分的定义，计算，换元及简单应用。重点与难点：二重积分的概念与计算，三重积分的换元。（十五）曲线积分与曲面积分1曲线积分：第一、二型曲线积分的概念与计算；格林公式，曲线积分与路径无关的条件。2曲面积分：第一、二型曲面积分概念与计算，奥高公式，斯托克斯公式。3场论初步：梯度，散度，旋度。重点和难点：两类曲线积分的概念及计算，格林公式及曲线积分与路径无关的条件。四、学时分配表四、学时分配表各教学环节学时分配表章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计备注一函数628二数列极限8412三

23、函数极限12416四连续函数8210五实数连续性628六导数与微分10414七中值定理及导数应用16622八不定积分10414九定积分18826十无穷级数28836十一多元函数微分学20626十二隐函数10414十三广义积分与参量积分8614十四重积分16622十五线面积分16622合 计19272264五、教材与教学参考书五、教材与教学参考书1 数学分析讲义上下册，刘玉琏编，高等教育出版社。2009 年编制122 数学分析 （第二版）华东师范大学编,高教出版社。3 数学分析上下册，江泽坚、吴智全、周光亚编,人民教育出版社。4 数学分析原理第一、二卷 菲赫金哥尔茨著,人民教育出版社。5 数学分

24、析习题集吉米多维奇著。 返回目录解析几何解析几何课程教学大纲课程教学大纲ANALYTIC GEOMETRY（2009 年修订，王小梅执笔）年修订，王小梅执笔）一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，60 学时，4 学分。二、课程的性质、目的和任务解析几何是数学与应用数学专业的一门专业必修课。通过学习本课程，使学生系统掌握向量代数、平面与空间直线，二次曲面以及常用的一些特殊曲线和曲面等空间解析几何的基本知识，掌握以向量为工具运用代数知识解决几何问题的基本思想方法，提高运用代数方法解决几何问题的能力，提高空间想象能力，为进一步学习后继课程和从事中学数学教育打下基础。三

25、、与其他课程的联系本课程是数形结合的典型学科，是从学习初等数学进入学习高等数学的转折点，是进一步学习数学专业其他课程的基础，也是学习物理及工程技术的基础。四、课程的基本内容、重点及难点（一）向量与坐标（一）向量与坐标（2020 学时）学时）1.向量的概念；2.向量的加法；3.数量乘向量；4.向量的线性关系与向量的分解；2009 年编制135.标架与坐标；6.向量在轴上的射影；7.两向量的数量积；8.两向量的向量积；9.三向量的混合积；重点及难点重点及难点向量的各种运算及运算律，尤其要注意的是向量的数量积和向量的向量积运算不满足结合律；两向量的向量积不满足交换律等。向量在轴上的射影的概念，向量的

26、线性关系与向量的分解的有关结论。（二（二）轨迹与方程）轨迹与方程 （8 8 学时）学时）1.平面曲线的方程；2.曲面的方程；3.空间曲线的方程。重点及难点：曲面和空间曲线方程的建立；对于缺少某一坐标的方程所代表的轨迹，必须首先明确它所讨论的范围。（三）平面与空间直线（三）平面与空间直线（1818 学时）学时）1.平面方程；2.平面与点的相关位置；3.两平面的相关位置；4.空间直线的方程；5.直线与平面的相关位置；6. 空间直线与点的相关位置；7. 空间两直线的相关位置；8.平面束。重点及难点：平面和空间直线各种方程的求法；各种方程中系数的几何意义；点、直线与平面的各种相关位置。（四）柱面、锥面

27、、旋转曲面与二次曲面（四）柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（1414 学时）学时）2009 年编制141.柱面；2.锥面；3.旋转曲面；4.椭球面；5.双曲面；6.抛物面；7.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。重点及难点：柱面、锥面、旋转与二次曲面的定义及方程；特殊二次曲面方程所表示的图形。从椭球面、抛物面、双曲面的方程出发，利用平行截割法讨论曲面的形状及性质；单叶双曲面与双曲抛物面的直母线方程。五、学时分配表各教学环节学时分配章节主 要 内 容讲授实验讨论习题课外其他小计备注一向量与坐标16420二轨迹与方程628三平面与空间直线14418四柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面12214合 计4812

28、60六、教材与教学参考书教材教材解析几何 （第四版）吕林根、许子道编 高等教育出版社参考书参考书1、 解析几何学习指导书吕林根、张紫霞、孙存金编 高等教育出版社2、 解析几何讲义华南师范大学数学系几何教研室编 广东高教出版社3、 空间解析几何引论南开大学数学系编 人民教育出版社4、 空间解析几何及其应用蒋大为编著 科学出版社2009 年编制15 返回目录近世代数近世代数课程教学大纲课程教学大纲MODERN ALGEBRA（2009 年年 10 修订，潘庆年执笔）修订，潘庆年执笔）一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，68 学时，4 学分。二、课程的性质、目的和任

29、务近世代数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课，是现代数学的重要基础之一。通过本课的学习，能够使学生掌握群、环、域的基础知识，深刻理解和体会公化这一现代数学的思想方法，同时掌握代数的一些基本方法：集合、运算、运算性质，特殊元素，特殊子对象，商对象，同态同构，为学生的进一步学习提供理论基础和方法保证，加深对中等数学中代数体系的理解。三、与其它课程的联系本课程的学习需要一定集合论和高等代数的基础，对数论、组合论、离散数学的学习有一定的帮助。四、课程的基本内容、重点及难点（一）基本概念 1、集合及其运算。2、映射，映射的合成，一一映射，可逆映射击，一一映射与可逆映射的关系。 3、代数运算及其运算

30、律。 4、同态，同构，自同态，自同构。 5、等价关系，集合元素的分类，二者的关系。重点及难点：同态、同构等价关系与集合元素的分类（二）群1、群的定义及其等价条件。2009 年编制162、群的同态及其性质。3、变换群，Cayley 定理。4、置换群，置换的循环表方法，交代群。5、循环群，整数加群 Z 和模 n 剩余类加群 Zn，结构定理。6、子群及子群的陪集，Lagrange 定理。7、不变子群，商群，同态基本定理。重点及难点：群的定义，循环群与置换群，不变子群与商群，同态基本定理。（三）环与域1、环的定义及简单性质，几类常用的环的实例。2、交换律，单位元，可逆元，零因子，正则元，整环。3、除环

31、和域，四元数除环，域中元的运算。4、无零因子环的特征。5、子环，环的同态及同态映射的性质。6、多项式环，同态及代入法，未定元的存在性。7、理想，剩余类（商）环，同态基本定理。8、极大理想，域的构作。9、分式域的存在条件及其构作方法重点与难点：环（域）的概念，几类常用环的性质，理想与商环，同态及同态基本定理。（四）整环的因子分解理论1、整除，因子与平几因子，相伴元，素元，唯一分解。2、唯一分解环及其等价条件，最大公因子，互素。3、主理想环，升链条件，极大理想与素元的关系。4、欧氏环、唯一分解环、主理想环及其之间的关系。5、多项式环的因子分解，根。重点与难点：素元，唯一分解问题。（五）扩域1、扩域

32、，素域，最小扩域 F（S）的构造及其性质。2、代数元与超越元，单代数扩域的同构定理，单超越扩域的同构定理。3、代数扩域，有限扩域，二者的关系4、多项式的分裂域，存在及其唯一性。5、有限域，有限域的阶，多项式 xq-x 的分裂域。重点与难点：单扩 F（）的同构定理，代数扩域，分裂域的存在及唯一，有限域的性质。五、学时分配表 各教学环节学时分配表章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计备注2009 年编制17一基本概念8210二群论17320三环与域17320四整环里的因子分解10212五扩域（选讲）66 合 计581068六、教材与教学参考书 1张禾瑞. 近世代数基础. 北京:高教出版社, 20

33、00 年（选用教材）（选用教材）.2刘绍学. 近世代数基础. 北京:高教出版社,2001 年. 3吴品三.抽象代数.北京:高教出版社,1984 年.4杨子胥.近世代数.北京:高教出版社,2001 年.5韩士安,林磊.近世代数.北京:科学出版社,2008 年.6樊辉,刘宏伟.抽象代数.北京:科学出版社,2008 年.7聂灵沼，丁石孙代数学引论北京：高等教育出版社， 19888T .W .Hungerford . Algebra. Berlin: Springer_verlag,1 974.9Nathan Jacobson Basic Algebra (I) New York ：W. H. Fre

34、eman and Company ， 198510Joseph. J. Rotman. 抽象代数基础教程 ( 英文版). 第 2 版. 北京:机械工业出版社 ,2004 年11Joseph A Gallian Contemporary abstract algebra Boston :New York Houghton Mifflin Company ， 1998 返回目录2009 年编制18常微分方程常微分方程课程教学大纲课程教学大纲ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS (2009 年修订年修订 王宗毅执笔王宗毅执笔)一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为

35、：数学与应用数学专业，68 学时，4 学分。二、课程的性质、目的和任务微分方程是高等师范院校数学与应用数学专业的基础课程之一，通过该课程的学习，使学生正确理解微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程打下基础，同时使学生认识到微分方程在解决实际问题的重要性，以及数学来源于实践，又服务于实践，从而有助于树立辨证唯物主义观点。实施本大纲请注意：.贯彻理论联系实际的原则，力求反映微分方程的实际背景及其应用，各章安排适当的应用例题。.要抓住基本内容，重点放在系统地介绍线性方程(组)的基本理论与主要方法上。.注意通过典型例题的介绍，使学生理解与掌握基

36、本概念领会基本理论的作用与意义。.注意基本技能的训练，安排一定数量的练习题，以及难度适宜的证明题。.加强与有关课程的联系与配合，通过对数学分析、高等代数、普通物理等课程中已学得的知识的应用，使学习得到巩固和深化。2009 年编制19.适当注意内容现代化，如列入有关稳定性理论的基本概念和问题，讲授微分方程组的理论时，要注意多用矩阵工具。三、与其它课程的联系本课程的先修课是数学分析、线性代数等课程。数学分析、线性代数为本课程打下基础；后续课程，如数学模型、控制论、偏微分方程数等课程为其提供应用和发展。故本课程应安排在第三学期讲授。四、课程的基本内容、重点及难点(一)绪论内容：内容：某些物理过程的数

37、学模型。基本概念：(常微分方程和偏微分方程，线性和非线性， 通解和特解，解和隐式解，积分曲线和方向场。)基本要求：基本要求：要求掌握微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，正确理解微分方程的最基本的概念。重点与难点：重点与难点： 教学重点为基本概念；教学难点是积分曲线和方向场。教学重点为基本概念；教学难点是积分曲线和方向场。 (二)一阶微分方程的初等解法 内容：内容：分离方程与变量变换；线性方程与常数变易法；恰当方程与积分因子；一阶隐方程与参数表示。基本要求：基本要求：掌握五种类型的方程的初等解法；理解和掌握变量分离方程和恰当方程的联系，对其它类型的方程要求掌握借助变量变换或积分因子化为变量分

38、离方程或恰当方程。重点与难点：教学重点为解一阶微分方程的几个直接方法；教学难点是恰当方程与重点与难点：教学重点为解一阶微分方程的几个直接方法；教学难点是恰当方程与积分因子积分因子,一阶隐方程与参数表示。一阶隐方程与参数表示。(三)一阶微分方程的解的存在定理内容：内容：解的存在唯一性定理与逐步逼近法; 解的延拓; 解对初值的连续性和可微性定理。基本要求：基本要求：熟练和掌握用逐次逼近法证明解的存在唯一性定理；熟练掌握用逐次逼近法求方程的近似解和误差的估计；掌握解的一般性质。重点与难点：教学重点为重点与难点：教学重点为 Picard 逼近方法，解的延拓、连续性和可微性、唯一性和逼近方法，解的延拓、

39、连续性和可微性、唯一性和奇性；教学难点是解的存在唯一性定理的证明。奇性；教学难点是解的存在唯一性定理的证明。(四)高阶方程(讲授 12 学时，习题 2 课学时)内容：内容：线性微分方程的一般理论; 常系数线性方程的解法;高阶方程的降阶和幂级数2009 年编制20的解法。基本要求：基本要求：正确理解线性方程的基本理论；熟练掌握求常系数齐线性方程的基本解组的特征根法，常系数非齐线性方程的特解的待定系数法，一般非线性方程的常数变易法，求一般二阶齐线性方程特解的幂级数解法和高阶方程可降阶的一些方程类型的解法。重点与难点：教学重点为齐次和非齐次方程解之间的关系，解的结构和形式，求解重点与难点：教学重点为

40、齐次和非齐次方程解之间的关系，解的结构和形式，求解方法；教学难点是求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法，求一般非线性方程的常数方法；教学难点是求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法，求一般非线性方程的常数变易法。变易法。 (五)线性微分方程组(讲授 16 学时，习题课 2 学时)内容：内容：存在唯一性定理;线性微分方程组的一般理论; 常系数线性微分方程组; 利用首次积分求解常微分方程。基本要求：基本要求：理解线性方程组解的存在唯一性定理；熟悉和掌握逐步逼近法；熟悉向量与矩阵的表述方法；正确理解线性方程组的一般理论熟练掌握常系数线性方程组的基解矩阵的求法和应用常数变易公式求非齐次线性方程组的解

41、法；掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系；熟练掌握利用首次积分求解常微分方程。重点与难点：重点与难点：教学重点为基解矩阵，Picard 逼近方法，求解公式，级数解；教学难点是常系数线性方程组的基解矩阵的求法;利用首次积分求解常微分方程。(六)非线性微分方程和稳定性（讲授 12 学时，习题 2 课学时） 内容：内容：本章介绍相平面；介绍按线性近似决定微分方程组的稳定性; 李雅普诺夫第二方法；周期解和极限圈；二次型 V 函数的构造与控制系统的绝对稳定性。基本要求：基本要求：掌握稳定性理论要求掌握特殊或一般的非线性徽分方程组的解的稳定性态，包括局部或全局的稳定性。重点与难点：重点与难点：教学重

42、点为线性和非线性的本质区别，稳定性的基本概念和方法；教学难点是周期解和极限圈；二次型 V 函数的构造与控制系统的绝对稳定性。五、学时分配表各教学环节学时分配章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计备注一绪论4116二一阶微分方程的初等解法82212三一阶微分方程解的存在定理82212四高阶方程1022142009 年编制21五线性微分方程组82212六非线性微分方程和稳定性82212合 计46111168六、考核方式 笔试(闭卷) 各教学环节占总分的比例:作业及平时测验:30%,期末考试:70%七、建议教材和教学参考书1.常微分方程 第三版 王高雄等编 人民教育出版社2.常微分方程讲义 叶彦谦

43、 编 人民教育出版社3. 常微分方程解题方法 ，钱详征， 湖南科学技术出版社， 19844. 常微分方程 ， M.罗梭著、叶彦谦译 ，上海科学技术出版社 ， 1984 返回目录2009 年编制22复变函数复变函数课程教学大纲课程教学大纲COMPLEX VARIABLE FUNCTION(2009 年修订年修订 王宗毅执笔王宗毅执笔)一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，68 学时，4 学分。二、课程的性质、目的和任务复变函数是数学与应用数学专业一门必修的专业基础课，是数学分析的后继课程。复变函数的主要研究对象是复变解析函数，其理论与方法在自然科学和工程技术中有着

44、广泛的应用。通过本课程的教学，使学生正确理解和掌握复变函数的基本概念、基本理论，掌握复变函数论中的论证方法和基本演算方法，为进一步学习数学专业课程打下必要的基础。在教学中，要使学生理解本课程与数学分析有关内容的联系与区别，同时使学生认识复变函数在解决实际问题的重要性，并深刻理解本课程与中学数学有关内容的内在联系，以指导中学数学教学。三、与其它课程的联系本课程的学习需要数学分析基础，对微分方程、积分方程、概率论、数论的学习有一定的帮助。四、课程的基本内容、重点及难点（一）复数及复变函数2009 年编制231、复数，复数的四则运算；复平面，复数的模与辐角，复数的几何表示、三角表示，复数加、减法的几

45、何意义；复数积的几何意义；复数的乘幂与方根，共轭复数；曲线的复数方程。2、复平面上的点集，点 Z0的 邻域；聚点、内点、边界点；开集、闭集、区域；简单曲线，光滑曲线。3、复变函数、单值函数、多值函数，反函数；复变函数的极限，复变函数极限 与其实部与虚部极限的关系；复变函数的连续性，复变函数在点 Z0连续的等价条件；连续函数的性质。4、复球面、扩充复球面的几个概念。重点和难点：复数的模与辐角，复数的乘幂与方根，共轭复数。（二）解析函数1、复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西黎曼条件，函数解析的第一个等价定理。2、指数函数，三角函数与双曲函数。3、根式函数、幂函数的变换性质及其单叶性区

46、域、根式函数的单值解析分支，函数的支点与割线；对数函数，复对数函数的定义，对数函数的基本性质，指数函数的变换性质及其单叶性区域，对数函数的单值解析分支，一般幂函数与一般指数函数；具有多个有限支点的函数，反三角函数与反双曲函数。重点与难点：复变函数的导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西黎曼条件，具有多个有限支点的函数。（三）复变函数的积分1、复变函数积分的定义，复变函数积分的计算方法，复变函数积分的基本性质。2、柯西积分定理，柯西积分定理的古莎证明，不定积分，柯西积分定理的推广。3、柯西积分公式，解析函数平均值定理，解析函数的无穷可微性，柯西不等式与刘维尔定理，解析函数的第二个等价定理，摩勒拉

47、定理。解析函数第三个等价定理。4、解析函数与调和函数的关系。5、流量与环量，无源、漏的无旋流动，复势。重点与难点：柯西积分定理，柯西积分定理的古莎证明，柯西积分公式。（四）解析函数的幂级数表示法1、复数项级数，一致收敛的复函数项级数，解析函数项级数。2009 年编制242、幂级数的敛散性，收敛半径的求法。柯西阿达玛公式，幂级数的解析性。3、泰勒定理，解析函数的第四个等价定理，幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况，一些初等函数的泰勒展式。4、解析函数零点孤立性及唯一性定理，最大模原理。重点和难点：幂级数的敛散性，收敛半径，泰勒定理，幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况，解析函数零点的孤立性及唯一性定

48、理，最大模原理。（五）解析函数的罗朗展式与孤立奇点1、双边幂级数，解析函数的罗朗展式，罗朗级数与泰勒级数的关系，解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式。2、孤立奇点的三种类型，可去奇点，席瓦尔莎引理，极点，本性奇点，毕卡定理。3、解析函数在无穷远点的性质。4、整函数，亚纯函数。5、奇点的流体力学意义，在电场中的应用。重点与难点：解析函数的孤立奇点，整函数，亚纯函数。（六）残数理论及其应用1、残数的定义及残数定理，残数的求法，函数在无穷远点的残数。2、用残数定理计算实积分，计算02R(cos,sin)d 型积分，计算p(x)/dx型积分，计算P（X）/dx 型积分，计算积分路径上有奇点的积分，应用)

49、(xQ)(xQ多值函数的积分。3、对数残数，辐角原理，儒歇定理重点与难点：残数定理及残数定理的应用，辐角原理及其推论。（七）保形变换1、解析函数的保域性，解析函数的保角性导数的几何意义，单叶解析变换的保形性。2、线性变换及其分解，线性变换的保形性，线性变换的保交比性，线性变换的保圆周（圆）性，线性变换的保对称点性，线性变换的应用。3、幂级数与根式函数，指数与对数函数，由圆弧构成的两角形区域的保形变换，儒可夫斯基函数的单叶性区域。4、黎曼存在定理，边界对应定理。重点与难点：解析变换的特性，线性变换及其分解，线性变换的保形性、保交比性，2009 年编制25保圆周性、保对称性（八）解析开拓1、解析开

50、拓的概念，解析开拓的幂级数方法。2、透弧直接解析开拓，黎曼度瓦尔兹对称原理。3、完全解析函数及黎曼面的概念，单值性定理。重点与难点：解析开拓的幂级数方法，透弧直接解析开拓及对称原理，完全解析函数，单值性定理，黎曼面的概念。（九）调和函数1、平均值定理，极值原理。2、波阿松积分公式，狄利克莱问题，单位圆内狄利克莱问题的解，上半平面内狄利克雷问题的解。重点与难点：平均值定理，极值定理，波阿松积分公式，狄利克莱问题的解。五学时分配表各教学环节学时分配章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计备注一复数与复变函数628二解析函数8210三复变函数的积分628四解析函数的幂级数表示法628五解析函数的罗朗

51、展式与孤立奇点628六残数理论及其应用8210七保形变换8210八解析开拓426九调和函数*不讲合 计521668六教材与教学参考书2009 年编制261 复变函数论 （第三版）：钟玉泉编，高等教育出版社（选用教材）2 复变函数论：余家荣编，高等教育出版社。3 复变函数学习指导书：钟玉泉编，高等教育出版社。4 解析函数论简明教程：【苏】A.N.马库雪维奇编,高等教育出版社。 返回目录组合数学组合数学课程教学大纲课程教学大纲combinatoral mathmatics（2009 年修订，仇鹏翔执笔）年修订，仇鹏翔执笔）一、课程的适用专业、学时及学分本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，50

52、学时，3 学分。二、课程的性质、目的和任务组合数学是数学与应用数学专业一门专业课,内容丰富,应用广泛,生命力强.通过本课的学习,它的巧妙的解法,灵活的思路能督促学生勤于思考,努力发挥自己的聪明才智,有利于增强学生的逻辑思维能力,提高他们的智力和分析问题,解决问题的能力.同时加深对中等数学中排列、组合、恒等式、分配问题的理解与解题能力.三、课程教学的基本要求(一)排列和组合1.熟悉计数的基本原理,组合数的基本性质。2.掌握几种排列和组合的计数方法与公式。3.掌握多项式定理及其在恒等证明中的应用。4.掌握二项式反演公式及应用。(二)容斥原理及其应用1.掌握容斥原理的几种表达形式及其应用。2009

53、年编制272.掌握容斥原理在几个典型的问题中的应用。(三)递推关系1.熟悉差分的概念。2.掌握各种递推关系式的解法、牛顿公式。3.掌握 s1(n,k)和 s2(n,k)计数及组合定义。(四)生成函数1.掌握常生成函数和指数生成函数及其应用。2.理解车问题及其运算。(五)整数的分拆掌握各种分拆的计数公式。(六)鸽笼原理和 Ramsey 定理1.掌握鸽笼原理的几种表达形式及其运用。2.掌握 Ramsey 定理及其计数原理。四、课程的教学内容、重点和难点(一)排列和组合主要内容：1.计数的基本原理2.排列3.组合4.T 路的计数5.二项式反演公式重点:计数的基本原理;排列、组合的计数方法,组合数的基

54、本性质。难点:T 路的计算。(二)容斥原理及应用主要内容：1.容斥原理。2.容斥原理的应用。重点:容斥原理及其应用。难点:容斥原理的应用。(三)递推关系主要内容：2009 年编制281.差分2.递推关系3.Fibonacci 数4.两类 Stirling 数重点：递推关系式的解法,两类 Stirling 数及组合定义。难点: Fibonacc 数；递推关系式的解法。(四)生成函数主要内容：1.常生成函数及其应用。2 车问题。3.指数生成函数及其应用。重点:常(指数)生成函数及其应用。难点:常(指数)生成函数的应用原理。(五)整数的分折主要内容：1.分折的计数2.完备分折重点:Pr(n)的计数公

55、式,生成函数在分折计数中的应用.难点:Pr(n)的计数公式；完备分折.(六)鸽笼原理和 Ramsey 定理主要内容1.鸽笼原理的三种表达方式。2. Ramsey 定理及其运用, Ramsey 数重点:(难点)鸽笼原理; Ramsey 定理； Ramsey 数。五、学时分配表各教学环节学时分配表章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计备注一排列和组合8210二容斥原理及应用516三递推关系122142009 年编制29四生成函数819五套数的分拆415六鸽笼原理和 Ramsey 定理516合 计42850六、教材与教学参考书1.组合数学曹汝成编 ， 华南理工大学出版社， 2000（选用教材）2.

56、组合数学(第二版)卢开澄编， 清华大学出版社 1998 返回目录初等数论初等数论课程教学大纲课程教学大纲ELEMENTARY NUMBER THEORY（2009 年修订，钟甲祥执笔）年修订，钟甲祥执笔）一、课程适用的专业、学时及学分一、课程适用的专业、学时及学分本课程适用的专业为：数学与应用数学专业，50 学时，3 学分。二、课程的性质、目的和任务二、课程的性质、目的和任务初等数论是以整数为主要研究对象的一个数学分支。近代，随着科学技术的发展，初等数论已成为离散数学的重要内容, 在许多数学分支以及科学领域，如计算数学，编码学，计算机科学，通讯技术等等，都有重要的应用。初等数论也是与中学数学联

57、系最密切的课程之一。本课程的内容主要包含三部分：（1）整除理论；（2）同余理论；（3）二次剩余理论。本课程的主要目的是：学习初等数论的基本概念，基本性质，基本理论和技巧，加深对整数性质的理解，提高数学修养; 为学习其它数学课程打下必要的基础。三、与其它课程的联系三、与其它课程的联系本课程与近世代数，组合数学，高等代数有着紧密的联系，近世代数的一些内容源于初等数论，本课程将为学习近世代数提供一些直观背景和具体实例。四、课程的基本内容、重点及难点四、课程的基本内容、重点及难点本课程的基本内容包含四个部分：2009 年编制30（一）整除理论(1)整除，因数，倍数，最大公因数，最小公倍数，互素，两两互

58、素; 带余除法，辗转相除法;(2)素数，合数，正整数的标准素数分解式与素数分解式; 算术基本定理; 的标准素! n数分解式;(3)正整数的正因数的个数（除数函数） 、正整数的正因数的和及函数; n nn nS n(4)与素数有关的若干数论问题; Eratosthenes 筛法与素数无穷; 实数的整数部分x和小数部分; xx(5)二元线性不定方程与元线性不定方程的求解; nbyaxkkjjjknxa13(6)勾股数与 Fermat 大定理。（二）同余理论(1)同余，同余类，与模互素的同余类; (2)完全剩余系，简化剩余系; Euler 函数; Euler 定理与 Fermat 小定理; n(3)

59、同余方程及其解数; 线性同余方程的求解; 中国剩余定理; 一元高mbaxmod次同余方程的求解原理; (4)Lagrange 定理，Wilson 定理; 指数，原根，指标; Gauss 原根存在定理。（三）二次剩余理论(1)二次剩余与二次非剩余; Legendre 符号和 Jacobi 符号; pama(2)Euler 判别准则; Gauss 二次互反律; (3)二次同余方程的求解; 将奇素数表示为两个整数平方之和。mcbxaxmod02（四）数论函数(1)数论函数，可乘函数，完全可乘函数; Mobius 函数; n(2) 数论函数的 Dirichlet 乘积; Mobius 反演公式。重点与

60、难点：重点与难点：整除理论部分：整除理论部分：(1)带余除法的两种形式及其应用；算术基本定理；互素的基本性质及其应用求最大公因数和最小公倍数的方法；(2)证明整除的基本方法；二元线性不定方程的求解；nbyax(3)将有关实际问题转化为二元线性不定方程问题并加以求解；的本原解222zyx公式。同余理论部分：同余理论部分：2009 年编制31(1)简化剩余系；Euler 函数的计算；Euler 定理与 Fermat 小定理及其应用；线 n性同余方程的求解；中国剩余定理。mbaxmod(2)素数模的一元高次同余方程的求解；Gauss 原根存在定理；求原根的方法。二次剩余理论部分：二次剩余理论部分：(