中值定理新课

1、 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数. 但每一点但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新还需架起新的的“桥梁桥梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率, 指导数在某个区间内所具有的一些重指导数在某个区间内所具有的一些重要性质要性质,它们都与自变量区间内部的某个它们都与自变量区间内部的某个中间值有关中间值有关

2、.第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理 费马费马 Fermat,(法法) 1601-1665 有定义有定义,如果如果),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么证证 对于对于)

3、,(00 xUxx 有有 )()(00 xfxxf 0 , 0 x若若xxfxxf )()(00, 0 x若若; 0 ; 0 )()(00 xfxxf xxfxxf )()(00内内的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数)()(00 xUxxf,)(0存存在在且且xf 微分中值定理微分中值定理费马引理费马引理有定义有定义,如果如果 ),(0 xUx 有有 )()(0 xfxf ),()(0 xfxf 或或. 0)(0 xf那么那么 0limx )(0 xf)()(00 xfxf )(0 xf 由极限的保号性由极限的保号性, 0 x若若xxfxxf )()(00, 0 , 0 x若若. 0 xxf

4、xxf )()(00 )(0 xf 0limx 函数的函数的驻点驻点(Stationary point),稳定点稳定点,临界点临界点(Critical point). 0内内的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数)()(00 xUxxf,)(0存存在在且且xf 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的AB在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:微分中值定理微分中值定理一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切

5、线轴的切线 .有水平的切线有水平的切线0)( fABxyO)(xfy 2 1 ABabC)()(bfaf 罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上上连连续续在在闭闭区区间间ba(1)(2);),(内内可可导导在在开开区区间间ba(3),()(bfaf 罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719 ,),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得. 0)( f微分中值定理微分中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理.)(mMb 若若),(afM 设设,),( 内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba.)(Mf 微分中值定理微分中值定理证证.)(mMa

6、若若.,)(mMbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在.)(Mxf 则则. 0)( xf得得),(ba )( f都都有有罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf ,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得. 0)( f. 0所以最值不可能同时在端点取得所以最值不可能同时在端点取得.使使,ba 有有),()( fxf 由由费马引理费马引理,. 0)( f(1) 定理条件不全具备定理条件不全具备, , 1,010,)(xxxxf1 ,1, |)( x

7、xxf注注微分中值定理微分中值定理结论不一定成立结论不一定成立. . 罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf ,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得. 0)( f1xyO11 yxO1yxO1,0,)( xxxf使(2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗

8、尔定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性 .则)(xf在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾

9、, 故假设不真!设机动 目录 上页 下页 返回 结束 结结论论亦亦可可写写成成注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange (法法) 1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:)(满足满足若函数若函数xf(1)(2),),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得)()()(abfafbf ).()()( fabafbf 微分中值定理微分中值定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),(内可导内可导在开区间在开区间ba几何解释几何解释:上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 AB分析分析式式变变为为将将)()(

10、)(abfafbf , 0)()()( abafbff 定理的结论就转化为函数定理的结论就转化为函数,)()()()(xabafbfxfxg ,),( 内内有有点点在在区区间间ba.AB,0)(的问题的问题使使 g化为化为罗尔定理罗尔定理.微分中值定理微分中值定理在该点处的切线在该点处的切线,C一点一点平行于弦平行于弦利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件找出一个满足罗尔定理条件的函数的函数. .)(xfy xyOABbaC1 2 D证证 作作辅助函数辅助函数,)()()()(xabafbfxfxg 使使得得内内至至少少存存在在一一点点故故在在开开区区间间,),( ba. 0)()(

11、)()( abafbffg 由此得由此得).()()()( fabafbf )()(1)(bafabfabag 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.也也成成立立对对ab ,)(上连续上连续在闭区间在闭区间baxg内内开区间开区间),(ba且且)(bg 易知易知,可导可导微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的各种形式:.).)()()()1(时时也也成成立立当当baabfafbf )()()2(xfxxfxxxfy )()3( .的的精精确确表表达达式式增增量量 y 它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注, 未未定

12、定这这里里 ,)(xf .之之间间和和在在xxx 但是增量、但是增量、这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,).10( 导数之间的直接关系导数之间的直接关系.微分中值定理微分中值定理导数是个等式关系导数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值)()()()( fabafbf 的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关

13、系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数微分中值定理微分中值定理例例2 2证明不等式证明不等式证证).(21xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析函数要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.记记,arctanarctan1212xxxx ,21上上在在xx利用微分中值定理利用微分中值定理, 得得)(11arctanarctan12212xxxx ),(21xx , 1112 12arctanarctanxx ,12xx )()

14、()(abfafbf ),(ba 微分中值定理微分中值定理10nababnabaabnbnnnn11ba , nxxfba , abafbff例例(作业)：，证明：证明：在区间上考虑函数，利用拉格朗中至少存在一点使得日中值定理，在区间ababnnnn1111nnnnbnnaba11nnnnnbababna即又因为 所以 baelnlnee lnlnee即即012)(ln)()(eeff 则则 eeabba xxxfln)(取取,exe例例 求证求证 （85高考 )证明证明 改证改证 练习练习 ,时时1xexex)(0 xe)(1xeeexeex化为证化为证1xexfx ,)(取取xxexeee

15、fxfx 1111),()()()(用中值定理有用中值定理有推论推论,)(上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数Ixf证证21, xxI上上任任取取两两点点在在区区间间)()()(1212xxfxfxf ),()(21xfxf 则则.)(Cxf .)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末Ixf,由由拉拉氏氏定定理理有有由条件由条件,即在区间即在区间I中任意两中任意两点的函数值都相等点的函数值都相等, 所以所以,),(21xx 0)(21xx 微分中值定理微分中值定理)()()(abfafbf推 论推 论 2 2 如 果 对如 果 对),(ba内 任 意内 任 意 x，

16、 均 有， 均 有)()(xgxf，则在，则在),(ba 内内)(xf与与)(xg之间只差一个之间只差一个常数，即常数，即Cxgxf)()(（C为常数） 为常数） 例例3 3).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx000由由推论推论微分中值定理微分中值定理自证自证).,( x,2cotarcarctan xx说明说明欲证欲证, Ix 只需证在只需证在 上上且且,

17、0Ix 使使.)(00Cxf I,)(0Cxf , 0)( xf思考题思考题2002年考研数学一年考研数学一, 3分分则则内有界且可导内有界且可导在在设函数设函数,), 0()( xfy. 0)(lim,0)(lim)( xfxfAxx必有必有时时当当. 0)(lim,)(lim)( xfxfBxx必有必有存在时存在时当当. 0)(lim,0)(lim)(00 xfxfCxx必有必有时时当当. 0)(lim,)(lim)(00 xfxfDxx必有必有存在时存在时当当微分中值定理微分中值定理柯西柯西 Cauchy (法法)1789-1859柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函

18、数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理广义微分中值定理广义微分中值定理),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFbF ),(,)()()()()()(baFfaFbFafbf 这两个这两个错错 ! !柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭

19、区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得, 0)( xF且且)()()()()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ? ?不一定相同不一定相同 前面对拉格朗日中值定理的证明前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了构造了xabafbfxfxg )()()()( 现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f(x)、F(x), 构造构造 )()(xfx 即可证明柯西定理即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数)(xF)()(afbf )()(a

20、FbF 微分中值定理微分中值定理)()()()()()( FfaFbFafbf ),(ba )()()()()()(aFbFFfafbf 分析分析 上式写成上式写成xxF )( 用类比法用类比法),(),()()()(bafabafbf 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义 )()(tfytFx)()(ddtFtfxy 注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得, 0)( xF且且)()()()

21、()()( FfaFbFafbf 微分中值定理微分中值定理切线斜率切线斜率XYO)(bF)(aF)( F)(bf)(af罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理柯西柯西中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西中值定理之间的关系定理、柯西中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说, 满足条件满足条件,不满足条件不满足条件, 定理可能成立定理可能成立, 不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.微分中值定理微分中值定

22、理定理定理也可能也可能应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性验证定理的正确性;(2) 证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式证明不等式;(5) 综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).微分中值定理微分中值定理 关键关键 逆向思维逆向思维,找辅找辅助函数助函数费马费马(1601 1665)法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzy

23、xn至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.柯西柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为

24、微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 以下内容是本节的习题课例例. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0

25、 )(xxxfe作辅助函数, )()(xfexFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明不等式证证: 设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调

26、增加 , 从而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时, 如何设辅助函数更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:10nababnabaabnbnnnn11ba , nxxfba , abafbff例例(作业)：，证明：证明：在区间上考虑函数，利用拉格朗中至少存在一点使得日中值定理，在区间ababnnnn1111nnnnbnnaba11nnnnnbababna即又因为 所以 baelnlnee lnlnee即即012)(ln)()(eeff 则则 eeabb

27、a xxxfln)(取取,exe例例 求证求证 （85高考 )证明证明 改证改证 练习练习 ,时时1xexex)(0 xe)(1xeeexeex化为证化为证1xexfx ,)(取取xxexeeefxfx 1111),()()()(用中值定理有用中值定理有思考: 在0,00,sin)(12xxxxfx,0 x),0(, )0)()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,0 0 x时. 0cos1问问是否可由此得出 ?0coslim10 xx不能不能 !因为)(x是依赖于 x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示 x 从右侧以任意方式

28、趋于 0 . 0 x应用拉格朗日中值定理得上对函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明当 x 0 时,.) 1(ln) 1(22xxx证证: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf则0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1, ) 1(2x法法1 由)(xf在1x处的二阶泰勒公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所证不等式成立 .与 1 之间)机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2 列表判别:,)

29、1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx时故当即.) 1(ln) 1(22xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法3 利用极值第二判别法极值第二判别法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一为)(1xfx 故0) 1 (f也是最小值 ,因此当0 x时,0)(xf即22) 1(ln) 1(xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2

30、ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f，极小点,0) 1 ( f且1yox22) 1(ln) 1(xxxy例例6. 设函数在)(xf),(ba内可导, 且,)(Mxf证明在)(xf),(ba内有界. 证证: 取点, ),(0bax 再取异于0 x的点, ),(bax对xxxf,)(0在以为端点的区间上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之间与界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定数)可见对任意, ),(bax,)(Kxf即得所证 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 11lnc

31、os1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef例例7. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 11lncoslncos1sin即分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例. 试证至少存在一点), 1(e使.lncos1sin法法2 令xxflnsin)(则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使0)(fxlncos

32、)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 9).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析结论可变形为结论可变形为 2)(0

33、1)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxF 设设上上在在1 , 0)(),(xFxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 01)0()1( ff).0()1(2)(fff 2)(f 即即微分中值定理微分中值定理满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, , 例例1010分析分析 将结论交叉相乘得将结论交叉相乘得:. 0)(,)()(试试证证明明且且可可导导在在与与若若 xgbaxgxf0)()()()()()( xxgxfbgxfxgaf辅助函数辅助函数F(x)微分中值定理微分中值定理)()()()()()(),( gfbggfafba使得使得)()()()()

34、()()()(bgfgfgfgaf 0)()()()()()()()(bgfgfgfgaf 0 xbgxfxgxfxgxfxgaf)()()()()()()()(证证 设辅助函数设辅助函数 )(xF:)(满满足足xF;,(1)上上连连续续在在ba,),()2(内内可可导导在在ba)()()()3(bgafaF )(bF 因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.)()()()()()(xgxfbgxfxgaf 微分中值定理微分中值定理)()()(xgafxF)()(bgxf )()(xgxf )()(xgxf,),( 内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba即即 0)()()()

35、()()( bggffafg 得得)()()()()()( gfbggfaf . 0)( F使使证毕证毕.微分中值定理微分中值定理 )(xF)()()()()()(xgxfbgxfxgaf )()()()()()( gfgfgaf0)()(bgf 练习练习. 设在)(xf),(上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设)()(xfexx则 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,0 xe因此)(xf也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其它不变时, 如何设辅助函数?)()(xfexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 求)0()1arctan(arct