第七章通货膨胀

1、在2004年，按年利率计算的6月期美国财政部证券利率刚刚超过1%，而10年期财政部证券的年利率为5.4%，高品质的公司债券平均收益率几乎达7%。两年后，上述债券的利率有了相当大的变化。名义利率是指公布或报出的金融资产的利率。实际利率则是根据实际购买力衡量的贷款人或投资者的收益率。通货膨胀溢价：在某一特定的金融工具投资期间，市场中贷款人和投资者的预期通货膨胀率。例：贷款1000美元给一家公司，为期1年，预期通货膨胀率为10%，报出名义利率为12%，实际回报为2%,即20美元。若CPI为13%呢？一般而言，放款人设定的名义利率是在预期通货膨胀率的基础上，可贷资金能够给他们带来想要的实际回报率。预期

2、名义利率预期通货膨胀溢价+通货膨胀溢价+预期实际利率*通货膨胀溢价哈罗德-凯恩斯效应:如果债券的名义回报率保持不变，当预期价格会更快上涨时，预期的实际利率会下降。3%13%名义利率真实利率+期望通货膨胀率+通货膨胀风险溢价纳税投资者的预期税后实际回报率预期名义利率-预期名义利率*纳税人所得税等级税率-通货膨胀溢价例：一位投资者的所得税等级税率为28%，其投资1年期应纳税证券的当前预期名义利率是12%，而下一年通货膨胀溢价即预期通货膨胀率为5%，则该投资者这一证券的预期税后实际回报率为？假设预期通货膨胀率从5%上升到6%，若投资者想得到相同的预期税后实际回报率，则预期名义利率应为多少？结论：通货

3、膨胀与名义利率正相关。名义利率的上升幅度低于预期通货膨胀率的上升幅度，名义利率的下降幅度低于通货膨胀率的下跌幅度。每股股票价格0)1 ()(tttrDEsp名义合同是指当事人之间的协议，如公司与其工人或客户之间的协议，协议根据当前的美元价值（名义价值）固定某一规定时期间的价格或成本。代理效应：通货膨胀和股票价格之间呈负相关关系，但这种关系是虚假的，不真实的。通货膨胀保护债券（treasury inflation protection securities,TIPS)tPR)1 (例，通货膨胀率为零，美国财政部发行一新品种的TIPS，其面值为1000美元并承诺5年内每年实际息标率为3.5%。如果

4、通货膨胀维持在零，那么该债券将每年支付实际利息35美元，到期被财政部赎回时，其面值将仍保持为1000美元。若通货膨胀率在债券发行日之后上升至4%，且将在债券到期的5年内持续，求1年期满后的通货膨胀调整名义值？5年期满后？收益率曲线影响收益率曲线的因素利率的期限结构即期利率远期利率期限结构理论STRIPS市场收益率曲线（yield curve）是用图来描述到期收益率相对于到期时间或者风险度量，如某个市场（如财政证券）中债务证券的修正久期，相互关系的术语。收益率曲线综合了市场中不同参与者的预期收益率曲线的形状简洁的抓住并总结了不同期限贷款的贷款成本收益率曲线是分析利率走势和进行市场定价的基本工具，

5、也是进行投资的重要依据。不存在违约风险的收益率曲线形成了债券市场的“基准利率曲线”，其他债券和各种金融资产均在这个曲线基础上，考虑风险溢价后确定适宜的价格。收益率曲线通常被分成三种类型：向上倾斜，水平，向下倾斜（或者反转的）久期和凸性的局限性：假设利率期限结构是平坦的假设收益率曲线平行移动假设未来现金流不随利率变化而变化什么是平行移动？为了更好的理解收益率曲线形状及其变化模式，我们需要检验短期利率和长期利率的波动性。波动性（volatility）度量了变量围绕其均值的变化。利率的波动性即利率相对于其期望平均水平的可变性。由历史数据可以估计出波动性。传统的估计波动率的方法是给定频率（日，周，月等

6、）的一定数量的历史信息，计算序列的标准差，然后将其年化，作为波动率的估计。也可以利用期权等衍生产品价格估计出隐含波动率。在固定收益市场中，价格和收益率的波动性都被使用。修正久期可以将两者联系起来：因此知道价格和收益率波动率其中的任何一个，都可以由此式算出另一个。)()(dyMDPdPdyMDPdP估计波动率的传统方法例6-1：设Pt表示某国债在t日的价格，yt表示t日的收益率，t=0,1,2N1.计算样本中每个日期t的价格比率的自然对数Rt=ln(Pt+1/Pt)，其中t=0,1,N。2.计算价格比率的自然对数的均值3.计算每个t对应的离差平方4.则日波动率估计为：5.年波动率为：NRNtt1

7、2)(ttRx111NxNii125211NxNii当考察不同期限利率的波动性时：1.短期波动一般高于长期波动2.波动性显示出与利率水平，长短期价差有关。息票效应：高息票的证券一般收益率也较高，对短期债券和长期债券而言均成立。流动性效应：最新发行的证券（on-the-run）更具有流动性，价格较高，收益率较低。而已经发行的证券(off-the-run)由于流动性较低，因此需要支付流动性溢价，收益率较高，价格较低。Warga(1992)说明了与其他相同的债券相比，最近发行的债券的定价反映了每年大约55个基点的溢价。截止到目前我们均是用YTM来定价债券：对于每期的现金流来说，到期收益率均一样，但是

8、实际中，投资者并非如此。每一个现金流将有它自己的折现率，折现率取决于该现金流发生的时间和定价时点的长度。考虑一个息票率为6.5%，半年付息，4年到期的债券，其YTM=9.3%，价格为$91.795.因此：但是实际中的利率情况为：按照实际折现率：两种算法得到同样的债券价格$91.795.用第二种方法计算的时候就需要更好的理解利率的期限结构每一期息票的支付都可以看做是一个零息债券。利率的期限结构（利率的期限结构（term structure of interest term structure of interest ratesrates）是指无违约风险的零息债券的到期收益率与其期限之间的关系。无

9、违约风险的零息（纯贴现）债券的到期收益率通常被称为即期利率(spot rate of interest)。纯贴现债券的即期利率与其期限之间的关系被称为即期曲线（spot curve）。纯贴现债券：T-bills（国库券），strips（由美国财政证券剥离获得的零息票债券）。为简单起见，我们假设零息债券的面值为$1，还有j期到期的零息债券的价格为zj：yj为还有j期到期的零息债券的每期的即期利率。如果是半年付息，零息债券的价格为：jjjyz2)21 (1现实中零息债券的价格较少，较难获得，但是付息债券的价格很容易获得，因此我们可以从付息债券中算出零息债券的价格和即期利率。（系靴程序bootstr

10、apping procedure）例：考虑如下的三个付息债券首先，我们利用1年的付息债券来计算1年的即期利率和1年零息债券的价格。Pi为债券i的价格，Ci为债券i的息票支付，那么第1只债券的价格表示为：%53. 515 .9910511510050.9911001111yyyCP从而1年期的零息债券价格为：实际上：因此只要知道1年期付息债券的价格和息票，就可以得到1年期零息债券的价格的1年期即期利率的值。9476. 0%53. 5111111yz111110011CPyz接下来，我们来计算z2和y2：注意：在第1年支付的第1个息票C1，以1年期的即期利率折现；在第2年支付的最终支付100+C2

11、，以2年的即期利率折现。在上式中只有y2未知，因此带入已知参数：222122)1 (1001yCyCP9015. 0)1 (1%32. 5)1 (61000553. 01625.101222222yzyy实际上：因此在算出来z1之后很容易就可以得到z2.最后，我们利用3年期的付息债券来得到3年期的即期利率和隐含的3年期零息债券的价格。2122222100)1 (1CzCPyz333223133)1 (100)1 (1yCyCyCP在上式中唯一的未知数就是3年期的即期利率y3，因此带入P3，C3，y1和y2，可得：8159. 0)1 (1%02. 7)1 (7100)0553. 01 (7055

12、3. 01725.1003333332yzyy综合所得：我们也可以利用矩阵的方法来计算：付息债券的信息表达为矩阵A：付息债券的价格向量：零息债券的价格向量：107770106600105A25.10025.10150.99P,321zzzb 那么零息债券价格和付息债券价格的关系为：P=A*b从而：PAb1业内常用的另外一个收益率曲线为平价债券收益率曲线（par bond yield curve）:以面值出售的债券的到期收益率与其到期时间之间的关系。因为平价债券的到期收益率等于其息票率，因此我们只要求出其息票率，就可以得到平价债券的收益率曲线。利用我们前例中求得的即期利率的结果。首先，我们从1年

13、期平价债券开始，设其息票为x1：带入y1，可得x1=5.53。其次，我们计算2年期平价债券的息票率：带入y1=5.53%，y2=5.32%，可得x2=5.327。最后，计算3年期平价债券的息票率：带入y1=5.53%，y2=5.32%，y3=7.02%，可得x3=6.908。111100100yx22212)1 (1001100yxyx33322313)1 (100)1 (1100yxyxyx因此3年内的平价债券收益率曲线为：所谓远期利率（forward rate of interest） 是指隐含在给定的即期利率（spot rate of interest）中从未来的某一个时点到另一个时点的

14、利率水平。以储蓄利率为例：现行银行储蓄一年期存款利率为3.5%，二年期存款利率为4.4%，10000元存2年哪种的收益高？先存一年，到期后取出连本带息再存一年？直接存2年定期？第一种方式在第二年末的本息和为：10000*(1+0.035)2=10712.25元，第二种方式在第二年末的本息和为:10000*(1+1.044)2=10899.36元第二种方式较第一种方式可以多得10899.36-10712.25=187.11元。之所以多得是因为放弃了第二年期间对第一年本息和10000*(1+0.035)=10350元的处置权。因此，较大的收益产生于第二年。如果第一年取3.5%的利率，那么第二年的利

15、率为 (10899.36-10350)/10350*100%=5.3%，这个5.3%就是第二年的远期利率。例子：某投资期为2年的债券投资者有以下两种选择：选择1：购买1年期的零息债券，待其到期后，再购买另外一只1年期的零息债券；选择2：购买2年期的零息债券。如果这两种投资方法在2年后能带来同样的收益，那么投资者选择哪一种债券都无关紧要。该投资者知道1年零息债券和2年期零息债券的即期利率。然而，他不知道1年以后购买1年期零息债券的收益率（远期利率）。给定1年期零息债券和2年期零息债券的即期利率后，如何找出使得这两种选择一视同仁的1年期债券的远期利率？假设1年期和2年期的即期利率分别为y1，y2，

16、1年以后的1年期远期利率为f0(1,2)如果都是在2年末得到100美元，按照选择1，在year0的投入为100/(1+y1)(1+f0(1,2)；如果选择2，在year0的投入为100/(1+y2)2如果两种选择无差异的话，则初始投资应该一样：即，如果投资者确信1年以后1年期零息债券的收益率为f0(1,2)，那么这两种选择对他来说没有差别。用即期利率算出来的远期利率也叫隐含的远期利率（implied forward rate）1)1 ()1 ()2 , 1 ()1 ()2 , 1 (1)(1 ()1 (100)2 , 1 (1)(1 (100122022012201yyfyfyyfy推而广之，

17、如何在t日锁定始于T1，到期日为T2的远期利率（T2T1t）？假设t时期限为T1的利率为y1，期限为T2的利率为y2.1)1 ()1 (),()1 (),(1 )1 (12122121112212211TTtTtTttTTTttTyyTTfyTTfy为什么投资者会关注远期利率？最直接的原因就是即期利率中的隐含的远期利率会对投资决策产生影响。例子：假设一位投资者打算做一项为期1年（2个6个月期）的投资。当前的6个月利率为7%，且1年（2个6个月期）利率为6%。使用远期利率计算公式，该投资者会发现如果购买一只2期的证券，相当于签署了一份6个月以后按5%的6个月利率借出资金的远期合同。如果投资者确信

18、第2期的利率将高于5%，那么开始时只买1期的证券，然后在第1期结束时将本息所得再做一期投资，对他来说比较有利。用收益率曲线可以计算投资期内未来任何时间内的隐含远期利率：f0(1,2),f0(1,3),f0(2,3)?关于利率的期限结构有大量的假说解释，我们简单介绍其中的几种：1，预期假说:由希克斯（Hicks，1946）和卢茨（Lutz，1940）提出，有很多版本，其中一个为无偏预期假说（unbiased expectation hypothesis）：当前的远期利率是未来即期利率的无偏预期。如果ft(k,k+1)是t日锁定的将来的日期k，k+1之间的1阶段远期利率，Rk*为k日的未来1阶段的

19、即期利率，那么无偏预期假说认为： ft(k,k+1)=EtRk*按照预期理论，远期利率代表了预期的未来利率，因此，某个特定时间的整个期限结构就反映了市场当前对未来短期利率的预期。上升的期限结构表明市场预期短期利率会在未来相应的时间段内上升；水平的期限结构反映了市场预期未来短期利率大体上是稳定的；下降的期限结构则反应市场预期未来短期利率会稳步下降。我们考察预期未来短期利率上升如何影响各种市场参与者的行为，从而形成上升的收益率曲线的情况。假设初始的利率期限结构为水平状，并假定财经报道会使市场参与者预期利率会上升。那些原本对长期投资感兴趣的投资者将不再愿意购买长期债券，因为他们预期收益率曲线迟早会上

20、升，会导致债券价格下降并带来持有长期债券的资本损失，于是他们转向短期债务工具。当预期利率会上升的投机者预期长期债券的价格将下降时，会卖出他们持有的所有长期债券或者“卖空”手头现在没有的长期债券。所有出售长期债券或者卖空债券取得的收入将投资于短期债务工具。想获得长期借款的借款者将会选择现在借款，因为根据预期，以后借款会更昂贵。所有这些原因将引起对长期债券净需求的减少和长期债券供应的增加，这两种反应将增加对短期债券的需求。市场均衡要求长期收益率相对于短期收益率呈上升趋势；也就是说，投资者、投机者和借款者的这些行为将使期限结构上翘，直至它与预期的更高的未来利率一致。流动性溢价假说(liquidity

21、 theory of term structure)预期假说的缺陷在于没有考虑与债券投资密切联系的风险。但是在投资期内，持有长期债券是有风险的，并且这一风险将随债券期限的延长而增加，因为期限与价格的波动性是直接相关的。考虑到这些不确定性以及投资者的风险厌恶，流动性溢价假说认为：只有在长期债券提供的长期利率比平均预期利率高于足够的部分，从而能够补偿投资期限较长带来的风险时，投资者才会投资长期债券。并且该理论认为，远期利率应当反映利率预期和流动性溢价两部分内容，期限越长，溢价越大。 ft(k,k+1)=EtRk*+t(k,k+1)根据流动性理论，隐含的远期利率并非一种市场对未来利率的无偏估计，因为

22、它包含了流动性溢价。因此，向上倾斜的收益率曲线既可反映未来利率上升的预期，也可反映未来利率水平不变（甚至下降）的预期；但是因为收益率曲线包含了随期限延长增长足够快的流动性溢价，结果形成了向上倾斜的形状。市场分割假说认为不同期限的债券代表了具有各自供需压力的不同市场。决定收益率曲线形状的主要因素是资产/负债管理约束，及贷款人（借款人）将贷款（借款）限制在特定的期限品种上。局部期望假说(local expectations hypothesis)：局部期望假说认为所有的债券在极短的持有阶段中都提供相同的期望回报率，因此这个假说可以表示为：ttTtTtrzzE1)1(剥离（separate trad

23、ing of registered interest and principal securities-STRIPS）指的是债券发行后，把该债券的每笔利息支付和最终本金的偿还进行拆分，然后依据各笔现金流形成对应期限和面值的零息债券。例如：一只2000年6月18日发行的每年付息一次的10年期债券，票面利率为8%，发行金额为100万元，到期日为2010年6月18日，则期间有10笔利息的支付和最终的一次本金偿还。当该只债券转换为本息分离债券后，每一笔利息支付和本金偿还都分别成为一只单独的债券，即可分离为10只金额为8万元和1只金额为100万元的零息债券。剥离市场产生的原因：1、付息债券利息在投资收益

24、不确定：受信息不对称和交易成本的影响，投资者往往不能按时取出利息立即用于再投资；由于利率变动的不确定性，如果付息债券的利息收入流在到期时的再投资收益率低于购买时所预期的到期收益率，则投资者的再投资面临着利率风险。2、零息债券的特点是现金流量的一次性，不必像普通的付息债券那样周期性的支付票面利息，从而使投资者在到期日有一笔确定的现金流入，节约了再投资成本并避免了再投资风险，可以获得稳定的收益，满足了偏好稳定收益的投资者需求。3、零息债券还可以提供税收方面的好处。美国税法曾经规定利息在收到时才纳税，则由于零息债券在期末支付全部利息，利息税收的缴纳就被延迟，使投资者享有本应该缴纳给税收机关的那部分资

25、金的使用权。4、本息分离债券的出现增加了投资机会，满足了投资者对于各种期限零息债券的需求。付息债券的久期随着利率和到期时间的改变而改变，因此那些通过购买付息债券而匹配久期的投资者就不得不经常重新平衡其头寸。但是零息债券的久期就等于其到期期限，这将显著减少重新平衡头寸的需要。根据债券定价模型，人们开发出了有关债券价格相根据债券定价模型，人们开发出了有关债券价格相对利率变化的灵敏度及其它很有用的指标，如对利率变化的灵敏度及其它很有用的指标，如久期久期（DurationDuration）和凸性（）和凸性（ConvexityConvexity）。）。前面我们注意到，所有债券（证券）都承担利前面我们注意

26、到，所有债券（证券）都承担利率风险，并且长期债券比短期债券对这些风险率风险，并且长期债券比短期债券对这些风险更为敏感。前面的图和表均说明了这个问题。更为敏感。前面的图和表均说明了这个问题。但是，这种说明和表达方式是不精确的。但是，这种说明和表达方式是不精确的。首先，期限的度量，忽视了债券中间时期的现首先，期限的度量，忽视了债券中间时期的现金流，仅仅是关注到期时的最后支付，利息支金流，仅仅是关注到期时的最后支付，利息支付（中间的现金流）对于利率风险是重要的，付（中间的现金流）对于利率风险是重要的，而且众所周知，票息高的债券比那些票息低的而且众所周知，票息高的债券比那些票息低的债券对利率的敏感性要

27、低。实质上，通过更快债券对利率的敏感性要低。实质上，通过更快的现金流回报，持有高息票债券的投资者比持的现金流回报，持有高息票债券的投资者比持有低息票债券的投资者可更快收回投资。上面有低息票债券的投资者可更快收回投资。上面的表的表2 2就是一个例证就是一个例证在上面的例子中，尽管三支债券的期限均相同，在上面的例子中，尽管三支债券的期限均相同，但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。按但三支债券表现出对利率变化不同的灵敏性。按这里的期限，对三支债券对利率变化的相对灵敏这里的期限，对三支债券对利率变化的相对灵敏性的影响是有限的。性的影响是有限的。久期这个指标可以评价具有不同现金流方式的债久期这个指标

28、可以评价具有不同现金流方式的债券的相对承担利率风险的成份，因为它既考虑到券的相对承担利率风险的成份，因为它既考虑到了期末的现金支付又考虑到了期间的现金支付情了期末的现金支付又考虑到了期间的现金支付情况（它使债券定价定理况（它使债券定价定理5 5得以精确化）。得以精确化）。债券价值债券价值时间时间现现金金流流 1现现金金流流 2现现金金流流 3平均生命期平均生命期0 1 2 31、债券平均寿命期图示：期限、债券平均寿命期图示：期限3年，每年内现金流相同。年，每年内现金流相同。现现金金流流 1现现金金流流 2现现金金流流 3 久久 期期债券价值债券价值时间时间0 1 2 3上图中，债券的生命期为上

29、图中，债券的生命期为2 2年。然而，一个更为年。然而，一个更为精确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现精确的现金流生命的度量，应考虑到现金流的现值。在这种情况下，目标是用支付的现金流的现值。在这种情况下，目标是用支付的现金流的现值给每次支付加权，而不是简单地用未加处理的值给每次支付加权，而不是简单地用未加处理的支付额来计算平均时间。这种支付额来计算平均时间。这种用每次支付的现值用每次支付的现值为每次支付时间加权的度量被命名为久期为每次支付时间加权的度量被命名为久期d d，如，如上图。由于较早的支付比较晚的支付现值高，因上图。由于较早的支付比较晚的支付现值高，因此久期的期限将小与平均生命期。见

30、上图。此久期的期限将小与平均生命期。见上图。PkFCtkCkCkCdtn/)1 ()(.)1 (3)1 (2)1 (133221 上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加权。现金流入包括利息权。现金流入包括利息C和赎回本金和赎回本金F，并且时间加，并且时间加权数是从权数是从1到到t。最后，现金流对时间加权后求和，。最后，现金流对时间加权后求和，再除以债券价格再除以债券价格P（债券估值公式中的（债券估值公式中的P）。）。 （1 1）公式：）公式： （2 2）债券）债券A A（折价债券）：（折价债券）：PkCkCkCd/)1 (3)1 (2)1 (13322

31、1年）（）（）（3 1000100030201 1000/)331. 1 (13313)21. 1 (02)10. 1 (01d（3 3）债券）债券B B（抵押债券）：（抵押债券）：（4 4）债券）债券C C（息票债券）：（息票债券）：年）（）（）（1.9)(1929/1000 1000301333123641 1000/)331. 1 (4003)21. 1 (0402)10. 1 (0401d年）（）（）（2.7)(2733/1000 10008273812901 1000/)331. 1 (11003)21. 1 (0102)10. 1 (0101d 注意：零息票折价债券的期限与久期相同

32、，这是注意：零息票折价债券的期限与久期相同，这是因为全部的现金流均在持有期末收到。另一方面，因为全部的现金流均在持有期末收到。另一方面，期间发生支付的债券其久期短于期限。因此息票债期间发生支付的债券其久期短于期限。因此息票债券券C C的久期为的久期为2.72.7年，小于期限年，小于期限3 3年。债券年。债券B B由于其由于其平均现金流而拥有更短的久期，为平均现金流而拥有更短的久期，为1.91.9年。年。问题的引出问题的引出 作为一种度量投资者投资回收期的方法，久作为一种度量投资者投资回收期的方法，久期同期限相比，其最明显的优势是度量债券价格期同期限相比，其最明显的优势是度量债券价格相对于到期收

33、益率变化的灵敏度上：久期使债券相对于到期收益率变化的灵敏度上：久期使债券定价定理定价定理2 2得以精确。通常认为，两支不同期限得以精确。通常认为，两支不同期限的债券，其到期收益率变化的债券，其到期收益率变化1 1，所带来的债券，所带来的债券价格变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。价格变化，期限较长的变化大于期限较短的变化。然而，如果债券的息票不同，上述结论则不正确。然而，如果债券的息票不同，上述结论则不正确。在一般情况下，期限与价格灵敏度之间不存在一在一般情况下，期限与价格灵敏度之间不存在一种简单的关系，而久期却给出了一个更为接近的种简单的关系，而久期却给出了一个更为接近的方程。方程。 到

34、期收益率到期收益率变化久期价格变化百分比1根据上表中的息票债券根据上表中的息票债券C C，假定到期收益率从，假定到期收益率从1010增长到增长到1111。据此可得期望的价格变化：。据此可得期望的价格变化：注意：这个结果与前面表注意：这个结果与前面表2 2中计算出的实际价格下中计算出的实际价格下降降2.6%2.6%相比较，其误差来自于这样一个事实：久期相比较，其误差来自于这样一个事实：久期得出的度量在利率变化幅度较小时很有效，但一旦得出的度量在利率变化幅度较小时很有效，但一旦利率变化较大时，就会失去其精确性。我们认为，利率变化较大时，就会失去其精确性。我们认为，利率在短期内变化利率在短期内变化1

35、00100个基点是比较大幅度的变化，个基点是比较大幅度的变化，因而存在一定的误差。因而存在一定的误差。 %5 . 2)10. 101. 0(7 . 2)1(kkdPP下表给出了三种不同的到期收益率和四种不同息下表给出了三种不同的到期收益率和四种不同息票率条件下，五种不同到期期限的债券的久期变票率条件下，五种不同到期期限的债券的久期变化。化。表中列出了在三种不同的票息率表中列出了在三种不同的票息率1 2 %1 2 %、1 4 %1 4 %和和1 6 %1 6 %条件下不同期限债券的久期。注意：期限条件下不同期限债券的久期。注意：期限较长的债券通常比期限较短的债券拥有更大的久较长的债券通常比期限较

36、短的债券拥有更大的久期。期。例如例如1 4 %1 4 %利率水平下，一只利率水平下，一只2 02 0年的债券票息为年的债券票息为1 0 %1 0 %，其久期为，其久期为6 . 9 86 . 9 8，同样条件下，同样条件下1 01 0年债券年债券久期为久期为5 . 6 85 . 6 8，5 5年债券久期为年债券久期为3 . 73 . 7。同时要注意，高利率水平下的久期低于低利率水同时要注意，高利率水平下的久期低于低利率水平下的久期。平下的久期。例如：例如： 2 0 2 0年的债券在年的债券在1 4 %1 4 %利率水平下，久期为利率水平下，久期为6 . 9 86 . 9 8，而在，而在1 2 %

37、1 2 %利率水平下，久期为利率水平下，久期为7 . 7 47 . 7 4，在在1 6 %1 6 %利率水平下久期为利率水平下久期为6 . 3 06 . 3 0。通过对久期的分析，与本章前面讨论到的证券的通过对久期的分析，与本章前面讨论到的证券的风险因素相联系起来，以对本节做出总结，这将风险因素相联系起来，以对本节做出总结，这将是有指导意义的。是有指导意义的。我们注意到，在一个定价体制中，具有较大利率我们注意到，在一个定价体制中，具有较大利率风险的证券比具有较低利率风险的证券应有较高风险的证券比具有较低利率风险的证券应有较高的增溢或折现率。的增溢或折现率。本节的分析已经指出期限长的证券比期限短

38、的证本节的分析已经指出期限长的证券比期限短的证券对于利率变化的灵敏性要高。我们因此希望较券对于利率变化的灵敏性要高。我们因此希望较长期限的证券比较短期限的证券有着较大的折现长期限的证券比较短期限的证券有着较大的折现率以补偿其较大的风险（在其他风险因素相等条率以补偿其较大的风险（在其他风险因素相等条件下）件下）如上节分析所指出，利率和债券价格可以通过久如上节分析所指出，利率和债券价格可以通过久期以一种线性关系联系起来。这种关系给出了一期以一种线性关系联系起来。这种关系给出了一个债券价格变化精确的近似值，特别是在利率变个债券价格变化精确的近似值，特别是在利率变化很小的情况下。然而，当利率变化较大时

39、，这化很小的情况下。然而，当利率变化较大时，这种关系将失去其精确性。因为此时两者的实际关种关系将失去其精确性。因为此时两者的实际关系是一种曲线关系。由债券定价定理系是一种曲线关系。由债券定价定理4 4可知，债可知，债券价格随利率下降而上升的数额要大于债券价格券价格随利率下降而上升的数额要大于债券价格随利率上升同样幅度而下降的数额。由此可以说随利率上升同样幅度而下降的数额。由此可以说明这种关系的曲线性。这种价格反应的不对称性明这种关系的曲线性。这种价格反应的不对称性就是著名的凸性理论：就是著名的凸性理论： 债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条凸函数

40、而不是一条直线函数。凸函数而不是一条直线函数。下图对一个下图对一个1010年期零息票到期收益率为年期零息票到期收益率为1010的的债券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格债券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系变化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的影响。的影响。债券价值债券价值（美元）（美元）凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）6506005505004504003503005084634223863222957 8 9 10 11 12 13 利率利率%图图5 利率变化对债券价值影响关系图示利率变

41、化对债券价值影响关系图示如前所述，零息票债券的久期与其期限相同。因如前所述，零息票债券的久期与其期限相同。因此图中债券的久期与期限一样也是此图中债券的久期与期限一样也是1010年，而且其年，而且其变化关系是一条直线，这条直线是当前到期收益变化关系是一条直线，这条直线是当前到期收益率为率为1010时价格变化曲线的切线。时价格变化曲线的切线。注意：在利率高于或低于注意：在利率高于或低于1010时，以久期为基础时，以久期为基础的估计与由利率导出的债券价格之间存在一定差的估计与由利率导出的债券价格之间存在一定差异，利率偏离异，利率偏离1010越远差异越大。这是因为当利越远差异越大。这是因为当利率不是率

42、不是1010时，估计的直线将在债券价格变化的时，估计的直线将在债券价格变化的曲线之下。曲线之下。为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化为了调整因凸性现象而产生的对债券价格变化预期的误差，我们可以增加一个凸性项来表示预期的误差，我们可以增加一个凸性项来表示基础的久期利率灵敏度公式。下式就是除久期基础的久期利率灵敏度公式。下式就是除久期外，将凸性因素考虑在内了。外，将凸性因素考虑在内了。2)1()1(kkcvkkdPP注意：这个等式是一个二次方程，它能使我们更注意：这个等式是一个二次方程，它能使我们更充分地表现债券价格与利率之间的关系。公式中充分地表现债券价格与利率之间的关系。公式中的第一项与久

43、期有关，其表现了直线的斜率，并的第一项与久期有关，其表现了直线的斜率，并给出了利率变化的一阶影响。余项与凸性有关，给出了利率变化的一阶影响。余项与凸性有关，是一个二次项，表现了线的曲度并反应了利率变是一个二次项，表现了线的曲度并反应了利率变化的二阶影响。从数学上讲，久期项是债券价格化的二阶影响。从数学上讲，久期项是债券价格利率关系对利率变化的一阶导数，而凸性项利率关系对利率变化的一阶导数，而凸性项是对利率变化的二阶导数。久期的公式前面已有是对利率变化的二阶导数。久期的公式前面已有定义，凸性的定义公式如下：定义，凸性的定义公式如下：01)1 () 1()21(PkCttcvTttt同久期的计算相

44、似，导出凸性价值其实是用时间因素同久期的计算相似，导出凸性价值其实是用时间因素t(t+1)t(t+1)给现金流（息票和面值）加权，即上面公式中给现金流（息票和面值）加权，即上面公式中的分子，这个值再除以债券当前价格或现值。整个表的分子，这个值再除以债券当前价格或现值。整个表达式再乘以达式再乘以1/21/2加以标准化。加以标准化。举例：一支利率为举例：一支利率为1010的零息票债券。假设利率由的零息票债券。假设利率由1010现在下降到现在下降到9 9，即，即100100个基点。随着利率下降，债个基点。随着利率下降，债券价格由到期收益率券价格由到期收益率1010时的时的386386美元上升到了到期

45、美元上升到了到期收益率为收益率为9 9时的时的422422美元，价格上升了美元，价格上升了9.33%9.33%。 首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。首先，计算利率变化引起的与久期有关的影响。这里的价格变化为这里的价格变化为9.09%9.09%，小于所导出的，小于所导出的9.33%9.33%的变化幅度。这个未预料出的的变化幅度。这个未预料出的9.33%-9.33%-9.09%=0.24%9.09%=0.24%的变化就表现了凸性的影响。即：的变化就表现了凸性的影响。即：或9.09 0909. 0)10. 101. 0)(10()%101%10%9)(10()1(kkdPP55386)10.

46、 1 ()1000)(11(10)21()1 () 1()21(1001PkCttcvTtTT把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个把凸性估计和利率变化结合起来，我们得到一个与凸性有关的债券价格变化估计量：与凸性有关的债券价格变化估计量：将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础将凸性调整与上面讨论过的公式中以久期为基础的估计联在一起，我们得到一个债券价格变化的的估计联在一起，我们得到一个债券价格变化的总的估计：总的估计：0045. 0)10. 101. 0(55)1(22kkcv9.54% 0.09540.00450.0909 )1()1(2或价格变化kkcvkkdPP一个例子：假设一个

47、债券的到期收益率为一个例子：假设一个债券的到期收益率为1010。下表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性下表给出了随着债券期限变化和息票变化对凸性的影响。的影响。凸性的决定因素：票息和期限凸性的决定因素：票息和期限 从表中看出：（从表中看出：（1 1）长生命期的债券（如前面的）长生命期的债券（如前面的永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有明显的凸性性质；（明显的凸性性质；（2 2）短期债券（如前面的）短期债券（如前面的3 3年年期债券）的价格利率关系几乎是一条直线，只期债券）的价格利率关系几乎是一条直线，只有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（

48、有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3 3）凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而降低。（降低。（4 4）低利率水平下的凸性大于高利率水）低利率水平下的凸性大于高利率水平下的凸性。（平下的凸性。（5 5）债券价格与利率关系在曲线）债券价格与利率关系在曲线的低利率部分更加弯曲。的低利率部分更加弯曲。 在定位一个有关期限的投资组合时，债券经理们在定位一个有关期限的投资组合时，债券经理们习惯上采用三种方法：习惯上采用三种方法：（1 1）期限集中法；）期限集中法；（2 2）梯形法；）梯形法；（3 3）杠铃法。）杠铃法。当经理们对利率有确定的看法时，使用

49、期限集中投当经理们对利率有确定的看法时，使用期限集中投资组合。资组合。 期限集中投资组合，即子弹型组合。就是集中投资期限集中投资组合，即子弹型组合。就是集中投资中等期限的债券，由于中间突出，所以叫子弹型。中等期限的债券，由于中间突出，所以叫子弹型。 什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？什么是梯形投资法？梯形投资法是什么意思？梯形投资法，又称等期投资法，就是每隔一段时梯形投资法，又称等期投资法，就是每隔一段时间，在国债发行市场认购一批相同期限的债券，间，在国债发行市场认购一批相同期限的债券，每一段时间都如此每一段时间都如此, ,接连不断，这样，投资者在以接连不断，这样，投资者在以后的每段时间

50、都可以稳定地获得一笔本息收入。后的每段时间都可以稳定地获得一笔本息收入。梯形投资法就是将全部投资资金平均投放在各种梯形投资法就是将全部投资资金平均投放在各种期限的证券上的一种组合方式。具体的做法是买期限的证券上的一种组合方式。具体的做法是买入市场上各种期限的证券，每种期限购买数量相入市场上各种期限的证券，每种期限购买数量相等，当期限最短的证券到期后，用所兑现的资金等，当期限最短的证券到期后，用所兑现的资金再购买新发的证券，这样循环往复，投资者始终再购买新发的证券，这样循环往复，投资者始终持有各种到期日证券，并且各种到期日的数量都持有各种到期日证券，并且各种到期日的数量都是相等的。这种情况反映在

51、图形上，形似间距相是相等的。这种情况反映在图形上，形似间距相等的阶梯，故称等的阶梯，故称“ “梯形投资法梯形投资法” ”。这种方法的特点。这种方法的特点是计算简单，收益稳定，便于管理，但不便于根是计算简单，收益稳定，便于管理，但不便于根据市场利率变动转换证券。据市场利率变动转换证券。杠铃投资法杠铃投资法是将是将证券证券投资资金集中投放在短期证投资资金集中投放在短期证券与长期证券两类证券上，并随市场券与长期证券两类证券上，并随市场利率利率变动不变动不断调整资金在两者之间的分配，以保持证券断调整资金在两者之间的分配，以保持证券头寸头寸的一种投资组合方法。的一种投资组合方法。大家应该都看见过杠铃，闭

52、上眼设想一下杠铃的大家应该都看见过杠铃，闭上眼设想一下杠铃的模样，是不是两头大、中间细。在模样，是不是两头大、中间细。在债券债券投资中也投资中也有一种叫杠铃型投资的方法，这种投资模型是集有一种叫杠铃型投资的方法，这种投资模型是集中将资金投资于债券的两个极端：为了保证债券中将资金投资于债券的两个极端：为了保证债券的流动性而投资于短期债券，为确保债券的收益的流动性而投资于短期债券，为确保债券的收益性而持有长期债券，不买入中期债券。性而持有长期债券，不买入中期债券。 投资者可根据自己的流动性要求确定长期、短期投资者可根据自己的流动性要求确定长期、短期债券的持有比例。对流动性的要求高，可提高短债券的持

53、有比例。对流动性的要求高，可提高短期债券的合理比例；要求低，则降低短期债券的期债券的合理比例；要求低，则降低短期债券的持有比率。持有比率。 投资者也可以根据市场利率水平的变化而变更长、投资者也可以根据市场利率水平的变化而变更长、短期债券的持有比例。当市场利率水平上升时，短期债券的持有比例。当市场利率水平上升时，可提高长期债券的持有比率；利率水平下降时，可提高长期债券的持有比率；利率水平下降时，可降低长期债券的持有比例。可降低长期债券的持有比例。 杠铃投资法具杠铃投资法具体操体操作方法是：当长期利率看跌引作方法是：当长期利率看跌引起长期证券价格看涨时，即卖出部分短期证券，起长期证券价格看涨时，即

54、卖出部分短期证券，买进长期证券；当长期利率看涨引起长期证券看买进长期证券；当长期利率看涨引起长期证券看跌时，即将长期证券卖出跌时，即将长期证券卖出 ，购回短期证券。同理，购回短期证券。同理，短期市场利率的升降也可决定长短期证券的进出。短期市场利率的升降也可决定长短期证券的进出。这种方法的关键在于对市场长、短期利率变化的这种方法的关键在于对市场长、短期利率变化的准确准确预测预测。杠铃投资法必须建立在准确预测基础上，需要对杠铃投资法必须建立在准确预测基础上，需要对市场上各种期限和类型的债券进行大量的观察和市场上各种期限和类型的债券进行大量的观察和预测并作出反映，因此，投资者要耗费大量人力预测并作出反映，因此，投资者要耗费大量人力和物力，对于小投资者来说，往往得不偿失。和物力，对于小投资者来说，往往得不偿失。例如，当一个经理预期利率将下降时，他将集中长例如，当一个经理预期利率将下降时，他将集中长期限的债券，因为这种债券价格上涨最多。相反，期限的债券，因为这种债券价格上涨最多。相反，当预期利率上升时，将集中短期限债券以防止债券当