点、线、面的投影(88)

1、 主讲教师介绍刘刘 炀炀 : : 毕业于大连理工大学毕业于大连理工大学, ,硕士硕士合肥工业大学机械与汽车学院工程图学系合肥工业大学机械与汽车学院工程图学系主任主任, ,副教授，硕士生导师副教授，硕士生导师, ,主要讲授主要讲授现现代工程图学代工程图学工程制图基础工程制图基础 画法几画法几何及机械制图何及机械制图 ASP ASP动态网页设计与制动态网页设计与制作作计算机绘图计算机绘图等课程。主编教材等课程。主编教材2 2本本, ,其中其中 ASP ASP网络程序设计网络程序设计获安徽省十获安徽省十一五规划教材，参编教材近一五规划教材，参编教材近1010本，发表论本，发表论文文2020余篇。余篇

2、。20102010年年6 6月月-9-9月月 德国罗斯托克德国罗斯托克大学访问学者大学访问学者欢迎同学们来到合肥工业大学学习！欢迎同学们来到合肥工业大学学习！工程图学工程图学是工科院校的学生一门是工科院校的学生一门必修的技术基础课，必修的技术基础课，主要培养空间思维能力。主要培养空间思维能力。本门课程的学习对有些同学来说有一定的难度。本门课程的学习对有些同学来说有一定的难度。请记住两条：一是听懂每堂课，二是完成每次作业。请记住两条：一是听懂每堂课，二是完成每次作业。加强与教师的交流，不懂就问，有问题要提。加强与教师的交流，不懂就问，有问题要提。第一章 投影法概述一、中心投影法一、中心投影法二、

3、平行投影法二、平行投影法三、投影法的性质三、投影法的性质四、工程上常用的几种投影图四、工程上常用的几种投影图 概述概述投影法概述投影的概念：（日常生活中的投影现象）投影的概念：（日常生活中的投影现象）有关名词有关名词 光线（光源）光线（光源）投射线（投射中心）投射线（投射中心） 地（墙）面地（墙）面投影面投影面 影影 子子投影投影投影法：投影法：在投影面上获得物体投影的方法。在投影面上获得物体投影的方法。投影法的分类：投影法的分类：中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法 斜投影法斜投影法（斜投影）（斜投影） 正投影法正投影法 （正投影（正投影-投影）投影）P一、中心投影法SABCabc投射中

4、心投射中心投射线投射线投影面投影面投影投影中心投影法中心投影法投影法：投影法：在投影面上获得物体投影的方法。在投影面上获得物体投影的方法。 中心投影法中心投影法P二、平行投影法平行投影法平行投影法投影法：投影法：在投影面上获得物体投影的方法。在投影面上获得物体投影的方法。 平行投影法平行投影法SABCabcABCa bcS斜投影法斜投影法正投影法正投影法三、两种投影法的性质( (一一) ) 共同性质共同性质1.1.直线的投影一般仍是直线，直线的投影一般仍是直线，sABabc点在直线上则点的投影在直线的投影上。点在直线上则点的投影在直线的投影上。CABabCc中心投影法中心投影法平行投影法平行投

5、影法从属性从属性三、两种投影法的性质( (一一) ) 共同性质共同性质2.2.当直线与投射线方向一致时当直线与投射线方向一致时, ,其投影积聚为一点。其投影积聚为一点。ABa(b )积聚性积聚性 当当平面上有平面上有直线与投射线方向一致直线与投射线方向一致时时, , 该平面的投影积聚为一直线。该平面的投影积聚为一直线。ABCabc直线、平面的积聚性直线、平面的积聚性三、两种投影法的性质aAA1aA2A3( (一一) )共同性质共同性质3.3.空间点在一个投影面上只有唯一一个投影。空间点在一个投影面上只有唯一一个投影。 而点的一个投影不能确定点的空间位置。而点的一个投影不能确定点的空间位置。物体

6、物体的一的一个投个投影不影不能确能确定它定它的整的整体形体形状和状和大小大小三、两种投影法的性质( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点1.1.实形（长）性实形（长）性 直线段（或平面）平行于投影面，其投影反映线直线段（或平面）平行于投影面，其投影反映线段的实长（或平面的实形）。段的实长（或平面的实形）。实形实形(长长)性性ababcABABCAB = abABC abc三、两种投影法的性质( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点2.2.点分线段之比投影后不变。点分线段之比投影后不变。ABabCcAC :CB = ac :cbAB :CB = ab :cb定比性定比性三、两种投

7、影法的性质( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点3.3.空间两平行线段，其投影仍然平行，且它们之间长度空间两平行线段，其投影仍然平行，且它们之间长度之比投影后不变。之比投影后不变。ABCD = abcdAB :CD = ab :cd定比性定比性ABCDcd平行性平行性ab三、两种投影法的性质( (二二) )平行投影法的平行投影法的特点特点4.4.当平面与投射面倾斜时当平面与投射面倾斜时, ,其投影为实形的类似形。其投影为实形的类似形。类似性类似性ABCabc四、工程上常用的几种投影图 按照用途和形体的结构特点，工程上常用以下按照用途和形体的结构特点，工程上常用以下几种投影图：几种投影

8、图：1.1.透视图透视图2.2.轴测图轴测图3.3.多面正投影图多面正投影图4.4.标高投影标高投影四、工程上常用的几种投影图按按中心投影法中心投影法原原理绘制的理绘制的透视图透视图按按平行投影法平行投影法原原理绘制的理绘制的轴测图轴测图四、工程上常用的几种投影图按按正投影法正投影法原理原理绘制的绘制的多面正投多面正投影图。影图。四、工程上常用的几种投影图按按正投影法正投影法原理绘原理绘制的制的标高投影标高投影第二章 点的投影2-1 2-1 点的两面投影点的两面投影2-2 2-2 点的三面投影点的三面投影2-3 2-3 点的相对位置点的相对位置2-1 点的两面投影一、两投影面系形成的条件一、两

9、投影面系形成的条件二、点的两面投影的投影特性二、点的两面投影的投影特性一、两投影面系形成的条件1.1.两面投影体系两面投影体系2.2.四个分角四个分角3.3.有关规定有关规定V 面面正立投影面正立投影面H 面面水平投影面水平投影面 OX 轴轴投影轴投影轴 ( (V 、H 投影面的交线投影面的交线) )V 、H 投影面应相互垂直投影面应相互垂直VXOvOXv二、点的两面投影的投影特性aaXAa1.1.点的两面投影点的两面投影符号规定符号规定空间空间点点大写字母大写字母H 投影投影小写字母小写字母投影面展开投影面展开V 投影投影小写字母加一撇小写字母加一撇v二、点的两面投影的投影特性OXaaX A

10、a90v1.1.点的两面投影点的两面投影符号规定符号规定空间空间点点大写字母大写字母H 投影投影小写字母小写字母投影面展开投影面展开V 投影投影小写字母加一撇小写字母加一撇v二、点的两面投影的投影特性OXaaxOXaaXa vH1.1.点的两面投影点的两面投影去边框去边框符号规定符号规定空间空间点点大写字母大写字母H 投影投影小写字母小写字母投影面展开投影面展开V 投影投影小写字母加一撇小写字母加一撇二、点的两面投影的投影特性OXaaxa OXaaXa vH1.1.点的两面投影点的两面投影点的两面投影图点的两面投影图去边框去边框符号规定符号规定空间空间点点大写字母大写字母H 投影投影小写字母小

11、写字母投影面展开投影面展开V 投影投影小写字母加一撇小写字母加一撇二、点的两面投影的投影特性OXaaXa OXaaXAa2.2.点的两面投影特性点的两面投影特性2.2.aaX = Aa （A 点到点到H 面的距离）；面的距离）； aaX = Aa （A 点到点到V 面的距离）。面的距离）。1.1.aa OXVccdbb二、点的两面投影的投影特性3.3.其它分角点的投影图其它分角点的投影图Aadabbddcc空间位置空间位置投影图投影图 分角内的点分角内的点A 分角内的点分角内的点B 分角内的点分角内的点C 分角内的点分角内的点DX O BaDaCVX O X O B二、点的两面投影的投影特性特

12、殊位置点的投影：特殊位置点的投影：aDcabBbCccD点点A 在在V 面上面上点点B 在在H 面上面上点点C 在在V 面上面上点点D 在投影轴上在投影轴上bbAaddaAd d空间位置空间位置投影图投影图cCVX O 2-2 点的三面投影一、三投影面系形成和点的投影特性一、三投影面系形成和点的投影特性二、点的投影与坐标的关系二、点的投影与坐标的关系三、点的投影作图三、点的投影作图一、三投影面系形成的条件和点的投影特性1.1.三面投影体系三面投影体系OZXYV有关规定有关规定W 面面侧立投影面侧立投影面 轴轴H、 面的交线面的交线V 、H、W 投影面应两两相互垂直投影面应两两相互垂直 Z 轴轴

13、V、 面的交线面的交线一、三投影面系形成的条件和点的投影特性OZXaXaza”9090aYYV2.2.点的三面投影点的三面投影符号规定符号规定投影面展开投影面展开W 投影投影小写字母加两撇小写字母加两撇aaA一、三投影面系形成的条件和点的投影特性OZAaXaXaZaa”aYYaaa”XZYHYwOV1.1.点的三面投影点的三面投影符号规定符号规定投影面展开投影面展开W 投影投影小写字母加两撇小写字母加两撇aXaYHaYWaZ9090一、三投影面系形成的条件和点的投影特性2.2.点的三面投影特性点的三面投影特性2)2)aaX =a”Ayw =Aa ( (H 面距离面距离);); aaX =a”a

14、Z =Aa ( (V 面距离面距离);); aaZ =aaYH =Aa” ( (W 面距离面距离) )。1)1)aa OX , , aa” OZ ； aaYH OY , , a” aYWOY ; ;aaa”XZYHYwOaXaYHaYWaZOZAaXaXaZaaYYV9090a”二、点的投影与点的坐标的关系V 面面 XOZ 坐标面坐标面1.1.投影面与坐标面的对应关系投影面与坐标面的对应关系H 面面 XOY 坐标面坐标面W 面面YOZ 坐标面坐标面2.2.点的投影与直角坐标的一一对应关系点的投影与直角坐标的一一对应关系V 面投影面投影a ( (x，z ) ) W 面投影面投影a” ( (y，z

15、 ) )H 面投影面投影a ( (x，y ) )OZAaXaXaZaaYVYa”二、点的投影与点的坐标的关系点的两个投影完全确点的两个投影完全确定其在空间的位置定其在空间的位置2.2.点的投影与直角坐标的一一对应关系点的投影与直角坐标的一一对应关系aaa”XZYHYwOV 面投影面投影a ( (x，z ) ) W 面投影面投影a” ( (y，z ) )H 面投影面投影a ( (x，y ) )三、点的投影作图两类作图题两类作图题1.1.根据点的空间坐标根据点的空间坐标( (x，y，z ) )，求点的三面投，求点的三面投影，如影，如( (a , ,a , ,a ) )。2.2.已知点的两个投影求第

16、三投影。已知点的两个投影求第三投影。三、点的投影作图例例1 1 已知点已知点A ( (15 , ,10 , ,20 ) )，求作点，求作点A 的三面投影。的三面投影。YHYWOXZ20 mm10mm15 mm10 mmaaa1.1.画坐标轴；画坐标轴；3.3.整理作图线。整理作图线。2.2.求作点的投影；求作点的投影；axaYH作图步骤：作图步骤：三、点的投影作图例例1 1 已知点已知点A ( (15 , ,10 , ,20 ) )，求作点，求作点A 的三面投影。的三面投影。YHYWOXZ1.1.画坐标轴；画坐标轴；3.3.整理作图线。整理作图线。2.2.求作点的投影；求作点的投影；ax作图步

17、骤：作图步骤：aaaaYH20 mm10mm15 mm10 mm三、点的投影作图例例2 2 已知点已知点B 的投影的投影b 、b” ，求点，求点B 的水平投影的水平投影b。YHYWOXZ?用圆规用圆规截取截取Y 相等相等bba三、点的投影作图YHYWOXZbbb作作45 辅助线，辅助线，使使y 相等。相等。正方形的各边相等正方形的各边相等45画圆弧，使画圆弧，使y相等。相等。Y 相等的其它作图方法：相等的其它作图方法：例例2 2 已知点已知点B 的投影的投影b、b” ，求点，求点B 的水平投影的水平投影b 。2-3 点的相对位置一、两点相对位置的判断方法一、两点相对位置的判断方法二、重影点二、

18、重影点一、两点相对位置的判断方法空间两点的相对位置，可以通过两点的同组投影空间两点的相对位置，可以通过两点的同组投影判断其前后、上下、左右关系。判断其前后、上下、左右关系。 X 轴方向轴方向 称称 左右左右Y 轴方向轴方向 称称 前后前后Z 轴方向轴方向 称称 上下上下VabAXBbaOa”b”Z Y左左右右前前后后上上下下B 点在点在A 点的点的左、前、下方左、前、下方约定约定: :一、两点相对位置的判断方法H 面上：面上：左右，前后左右，前后V 面上：面上：左右，上下左右，上下W 面上：面上：上下，前后上下，前后 在投影图上判断两点的相对位置关系在投影图上判断两点的相对位置关系abXbaO

19、a” b”ZYHYWB 点在点在A 点的左、点的左、前、下方前、下方V二、重影点定义：在同一条投射线上的两点，其在某投影面上的定义：在同一条投射线上的两点，其在某投影面上的 投影重合，称这两点为该投影面的重影点。投影重合，称这两点为该投影面的重影点。A、B 为为H 面上的重影点。面上的重影点。abABa b( )( )a”b”aba b( )( )a”b”XZYHYW水平投影重影，由正水平投影重影，由正( (侧侧) )面投影判断上下关系。面投影判断上下关系。XOZ YOV二、重影点C、D 为为V V面上的重影点。面上的重影点。c d( )( )cdc d ( ( ) )d”XZYHYW正面投影

20、重影，由水平正面投影重影，由水平( (和侧面和侧面) )投影判断前后。投影判断前后。c”d”dcDCc”XOZ YO二、重影点aba ba”b”XZYHYW小结：小结：重影点的可见性判别重影点的可见性判别水平投影重影水平投影重影 由正面由正面( (和侧面和侧面) )投投影判断上下：影判断上下： Z 值大在上，可见；值大在上，可见； Z 值小在下，不可见。值小在下，不可见。 投影不可见加括号。投影不可见加括号。（ ）O二、重影点小结：小结：重影点的可见性判别重影点的可见性判别XZYHYW正面投影重影正面投影重影 由水平面由水平面( (和侧面和侧面) )投投影判断前后：影判断前后： Y 值大在前，

21、可见；值大在前，可见； Y 值小在后，不可见。值小在后，不可见。cdc dd”c”（ ）O二、重影点小结：小结：重影点的可见性判别重影点的可见性判别侧面侧面投影重影投影重影 由正面由正面( (和水平和水平) )投影投影判断左右：判断左右： X 值大在左，可见；值大在左，可见； X 值小在右，不可见。值小在右，不可见。侧面侧面投影投影重影重影？第三章 直线的投影3-2 3-2 特殊位置直线的投影特殊位置直线的投影3-3 3-3 求一般位置线段的实长求一般位置线段的实长3-4 3-4 两直线的相对位置两直线的相对位置3-1 3-1 一般位置直线一般位置直线3-5 3-5 直角投影定理直角投影定理3

22、-1 一般位置直线一般位置直线一、直线投影图的画法一、直线投影图的画法二、一般位置直线的投影特性二、一般位置直线的投影特性一、直线投影图的画法 两点的同面投影相连得直线的投影两点的同面投影相连得直线的投影 可知直线的空间可知直线的空间方向：方向： 如以如以A 为基点，则为基点，则图示图示直线直线的方向为的方向为向左前下方倾斜向左前下方倾斜。abXbaOa”b”ZYHYW二、一般位置直线的投影特性对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。约定约定: :直线对投影面的倾角直线对投影面的倾角 是直线与其在该投影面上的投影之间的夹角。是直线与其在该投影面上的投

23、影之间的夹角。与与V 面的夹角面的夹角, ,称为正面夹角称为正面夹角。ab AB 对对H 面的倾角面的倾角即即AB 与与ab 的夹角。的夹角。与与H 面的夹角面的夹角, ,称为水平夹角称为水平夹角。 与与W 面的夹角面的夹角, ,称为侧面夹角称为侧面夹角。BA二、一般位置直线的投影特性 一般位置线段的投影特性：一般位置线段的投影特性：VabAXBbaOa”b”zY三个投影长都缩短；三个投影长都缩短；三个投影都倾斜于相应的投影轴。三个投影都倾斜于相应的投影轴。abXbaOa”b”ZYHYW3-2 特殊位置直线的投影一、投影面平行线一、投影面平行线二、投影面垂直线二、投影面垂直线一、投影面平行线

24、平行某一投影面，倾斜另两个投影面的直线称为平行某一投影面，倾斜另两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面平行线。 投影面平行线分为三种：投影面平行线分为三种：水平线水平线 (于于H 面，面，于于V 面和面和W 面）。面）。正平线正平线 (于于V 面，面，于于H 面和面和W 面）。面）。侧平线侧平线 (于于W 面，面，于于H 面和面和V 面）。面）。一、投影面平行线1.1.水平线水平线V BAabaa” b” b1)1)ab = AB ; ; 2)2)反映反映、实角实角; ;3)3)ab OX 轴，轴，a”b OYW 轴。轴。实长实长XZYabbYWbaZYHOaX实长实长投影特性投影特性一、投

25、影面平行线VabAXBbaOb”Z Ya”XbaOb”ZYHYWa”ba实长实长2.2.正平线正平线1)1)ab = = AB ； 2 2) )反映反映 、实角；实角；3 3) )ab OX 轴，轴，abOZ 轴。轴。 实长实长投影特性投影特性一、投影面平行线3.3.侧平线侧平线1)1)a” b” = =AB ； 2)2)反映反映、实角；实角；3)3) abOY 轴，轴，abOZ 轴。轴。投影特性投影特性VAXBOZ Y实长实长实长实长 abbaZXbaOb”YHYWa”baa”b”一、投影面平行线 归纳投影面平行线的投影特性：归纳投影面平行线的投影特性： 直线的另两个投影平行于相应的轴，且长

26、度直线的另两个投影平行于相应的轴，且长度缩短。缩短。 直线在所平行的投影面上的投影反映实长、直线在所平行的投影面上的投影反映实长、投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影面的夹角实际大小；面的夹角实际大小；二、投影面垂直线空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线。空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线。 投影面垂直线分为三种：投影面垂直线分为三种：铅垂线铅垂线 (于于H 面，面，于于V 面和面和W 面面) )。正垂线正垂线 (于于V 面，面，于于H 面和面和W 面面) )。侧垂线侧垂线 (于于W 面，面，于于H 面和面和V 面面) )。二、投影面垂直线

27、1.1.铅垂线铅垂线VabAXB（b）aOb”a”ZYWOXba( (b ) )abZYHYa1)1)ab 积聚为一点；积聚为一点；2)2)ab = = a”b” = = AB ；3)3)ab OX 轴轴, , a”b” OYW 轴。轴。投影特性投影特性积聚性积聚性实长实长二、投影面垂直线2.2.正垂线正垂线1)1)ab 积聚为一点；积聚为一点；2)2)ab = =a”b” = =AB ；3)3)abOX 轴，轴，a”b” OZ 轴。轴。aYW YHZbaba(b )XOVXOZ Ya（b）abb” a” AB投影特性投影特性积聚性积聚性实长实长VXOZ Y 二、投影面垂直线3.3.侧垂线侧垂

28、线1)1)a”b” 积聚为一点；积聚为一点；2)2)ab = =ab = =AB ；3)3)abOYH 轴轴, , ab OZ 轴。轴。aab( (b”) ) a” bB AHYW YZ(b” )a“ bbaaXO投影特性投影特性积积聚聚性性实长实长实长实长二、投影面垂直线归纳投影面垂直线的投影特性归纳投影面垂直线的投影特性在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。另外两个投影反映实长，且垂直于相应的轴。作业本作业本P02：2-01、2-02题选做一题；题选做一题；2-03题任选一小题；题任选一小题；2-04、05题。题。P

29、03：3-01、02题中各任选一小题；题中各任选一小题；3-03题。题。ZabXbaOa”b”YWYH直线上点的投影特性VabAXBbaOa”b”ZY从属性从属性点在直线上，则点的投影在直线的同面点在直线上，则点的投影在直线的同面投影上，且点的投影符合点的投影规律。投影上，且点的投影符合点的投影规律。Cccc”c定比性定比性点分线段之比投影后不变。点分线段之比投影后不变。= ac / cb AC / CB = ac / cb= a”c” / c”b”c”c直线上点的投影特性投影作图投影作图例例1 1 已知已知C 点在直线点在直线AB 上，据上，据c ，求，求c 、c” 。ZabXbaOa”b”

30、YWYHcc”c直线上点的投影特性投影作图投影作图例例2 2 求点求点C ，使，使AC : :CB =1: :4 。cc”ZabXbaOa”b”YWYHc分析分析作图作图直线上点的投影特性投影作图投影作图例例3 3 判断点判断点K 是否在是否在AB 直线上直线上。X O abab k k否否直线上点的投影特性投影作图投影作图例例4 4 判断点判断点C 是否在是否在AB 直线上直线上。a”b”c”aabbX O YWZ YH cc两种判断方法：两种判断方法：从属性从属性-作侧投影；作侧投影；定比性定比性-分析比例关系。分析比例关系。否否 ac / / cb ac / / cb否否实长实长实长直角

31、三角形ABC中：斜边AB=AB实长直角边BC=bc = Z直角边AC=abZa角:ab与实长AB的夹角ZZZ直角三角形3-3 求一般位置线段的实长和夹角求一般位置线段的实长及其与求一般位置线段的实长及其与V V面的夹角面的夹角b b实长直角三角形ABD中：斜边AB=AB实长直角边DA=ad = Y直角边BD=abb角:ab与实长AB的夹角Y实长YY直角三角形例例1 1 已知已知EF =30 ，试完成，试完成e f 。f EFzf -zeR30zf-zeO X eef1.1.以以ef 为一直角边；为一直角边；2.2.以以R30 为半径画弧，在另为半径画弧，在另一直角边上截得一直角边上截得zf -

32、ze ; ;方法方法1 13.3.在在f f 投影连线上定投影连线上定f 点点，完成完成 ef 。解题完毕解题完毕effEFR30OX eef1.1.以以ye-yf 为一直角边；为一直角边；2.2.以以R30 为半径画弧，为半径画弧，在另一直角边上截得在另一直角边上截得ef ; ;方法方法2 23.3.以以ef 为半径画弧为半径画弧, ,在在f f 投影连线上投影连线上定定f 点点，完成完成ef 。ye-yfef 解题完毕解题完毕例例1 1 已知已知EF =30 ，试完成，试完成ef 。例例2 2 已知三角形已知三角形ABC ABC 的投影，试求其实形。的投影，试求其实形。实形BC实长YYAC

33、实长AB实长例例3 3 已知线段已知线段AB AB 的投影，试定出属于的投影，试定出属于AB AB 的点的点S S 的投影，的投影， 使使AS AS 的实长等于已知长度的实长等于已知长度L L 实长例例4 4 已知线段已知线段KM KM 的实长为的实长为32 mm32 mm，以及投影，以及投影kmkm和和k k，完成，完成kmkm；在；在KM KM 上取上取KN=LKN=L，求作点，求作点N N 的投影。的投影。 在反映KM 实长的线段kM上量取L,得到点N，根据点分线段成比例得到点N 的投影n、n。 采用直角三角形方法求出mk的Y坐标差，画出水平投影mk。解：例例5 5 已知正平线已知正平线

34、CD CD 与直线与直线AB AB 相交于点相交于点K K，AK AK 的长度为的长度为20 mm20 mm，且且CD CD 与与H H 面的夹角为面的夹角为6060，求，求CD CD 的两面投影。的两面投影。两解 解：解： 1.1.用直角三角形用直角三角形法求出法求出ABAB 实长，确定实长，确定点点K K 的投影的投影kk、k k 3.3.过过k k作线作线cdcd/OX OX 轴轴2.2.过过kk作线作线cdcd与与OX OX 轴夹角为轴夹角为6060度度小结小结1)1)实长、坐标差、投影长、倾角为实长、坐标差、投影长、倾角为直角三角形直角三角形的的四要素。四要素。 注意：注意： 直线的

35、坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。 Z坐坐标标差差水平水平投影投影TL ( (实长实长) ) Y坐坐标标差差正面正面投影投影TL ( (实长实长) ) X坐坐标标差差侧面侧面投影投影TL ( (实长实长) ) 小结小结 2) 2)只要已知其中任两个，即可通过直角三角形求得另两个。只要已知其中任两个，即可通过直角三角形求得另两个。因此直角三角形法的题型衍生为多种形式。因此直角三角形法的题型衍生为多种形式。水平投影水平投影z 坐标差坐标差实长实长z 坐标差坐标差水平投影水平投影实长实长水平投影水平投影实长实长z坐标差坐标差z 坐标差坐标差实长实长

36、水平投影水平投影z 坐标差坐标差实长实长水平投影水平投影实长实长z 坐标差坐标差水平投影水平投影可可 求求已已 知知（以以H 面为例列举说明面为例列举说明）3-4 两直线的相对位置一、两直线平行一、两直线平行二、两直线相交二、两直线相交三、两直线交叉三、两直线交叉V XZ Y O 一、两直线平行两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行两直线在空间平行则它们的各组同面投影必平行a bcdabcdACBD平行平行O X abbacddc平行平行即若即若ABCD则则abcd ； abcd 。一、两直线平行例例1 1 过点过点E（e、e）作直线作直线AB。O X eeabba若使若使 EF AB，须

37、须 ef ab ；efab 。ff 分析分析: :作图作图: :解题完毕解题完毕二、两直线相交空间两直线相交，其同面投影必相交，且交点的空间两直线相交，其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。投影符合点的投影规律。两直线相交，交点既在两直线相交，交点既在ABAB线上，又在线上，又在CDCD线上，线上，交点的投影必须符合一交点的投影必须符合一点的投影规律：投影连点的投影规律：投影连线垂直于投影轴。线垂直于投影轴。三、两直线交叉既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。投影图上的交点是重影点。投影图上的交点是重影点。 不符合投影规律不符合投影规律直线在空间

38、没有交点。图中水直线在空间没有交点。图中水平投影图中的平投影图中的“交点交点”是是CDCD线上的线上的A A点和点和EFEF线上的线上的B B 点在点在水平投影上的水平投影上的“重影点重影点” 。判断两直线的相对位置例例1 1 判断判断AB 、EF 两直线的相对位置。两直线的相对位置。相交相交O X abbafeefkkba分析：分析：判断判断方法：方法：方法一作第三投影（略）方法一作第三投影（略）方法二按定比性。方法二按定比性。k由于由于 ak : :kb = ak : :kb结论：结论：所以所以 AB、 EF 相交相交。解题完毕解题完毕判断两直线的相对位置例例2 2 判断判断AB 、CD

39、两直线的相对位置。两直线的相对位置。交叉交叉O Xabbacddc分析：分析：判断判断方法：方法：方法一作第三投影（略）方法一作第三投影（略）方法二按定比性。（略）方法二按定比性。（略）方法三：方法三： 假定假定AB、CD平行，则平行，则ABCD 共面，共面，AD 和和BC 必相交，必相交，AB、CD 两交叉直线。两交叉直线。结论：结论：平行？平行？ 交叉？交叉？作图：作图： 角度的投影一般不等于原空间实角；角度的投影一般不等于原空间实角；在直角中：在直角中： 如两直角边同时平行某一投影面，则在该投如两直角边同时平行某一投影面，则在该投影面上的投影必反映直角关系；影面上的投影必反映直角关系；

40、如有一条直角边平行某一投影面，则在该投如有一条直角边平行某一投影面，则在该投影面上的投影也反映直角关系影面上的投影也反映直角关系-直角投影定理。直角投影定理。3-5 直角投影定理V ZY O 直角的投影 直角投影定理直角投影定理CAbabccaB已知：已知：AB为水平线，为水平线，BAC 为直角，则为直角，则bac 仍为直角。仍为直角。证明：证明： ABAC， ABAa , , AB平面平面ACca ， ABH面，面， ab AB ab平面平面ACca 有有abac 。abbABabOX直角直角 有有ABac ；bac 仍为直角仍为直角X直角的投影V ZY O CAababccBXO abcb

41、ca投影图投影图 直角投影定理直角投影定理已知：已知：AB为水平线，为水平线，BAC 为直角，则为直角，则bac 仍为直角。仍为直角。X直角的投影V Z YO 直角投影定理直角投影定理bccCaAB 反之：反之：若若abOX，bac 为直角，则空间为直角，则空间BAC 为直角。为直角。ab平面平面aACc ， 有有abAC ； AB平面平面ACca , , 有有ABAC 。AB为水平线为水平线ABababX直角的投影 直角投影定理直角投影定理也适于两交叉直线。也适于两交叉直线。 已知已知CD 与与EF 交叉垂直，交叉垂直，EF 为水平线，则在为水平线，则在H 面上面上cd 与与ef 垂直。垂直

42、。投影图投影图XO efcfc( (e ) ) d dV ZY O effcc (e )EF dDdCMX直角的投影例例1 1 已知已知ABV，试过点，试过点E 作直线作直线EK 与与AB 垂直相交垂直相交。baeebakk分析：分析：AB 为正平线，为正平线，正面投影反映垂直正面投影反映垂直关系。关系。作图过程：作图过程：解题完毕解题完毕直角的投影例例2 2 过点过点A 作与直线垂直作与直线垂直CD 。eef分析：分析： 有无数解。有无数解。能图示出垂直关系的能图示出垂直关系的有两条：一条水平线，有两条：一条水平线，一条正平线。一条正平线。faaddccxo作图：作图：作正平线作正平线AE

43、，使使ae c d ，aeOX 。作水平线作水平线AF ，使使af cd ，afOX 。解题完毕解题完毕例例3 3 过点过点A A 作直线作直线ABAB 与直线与直线CDCD 正交。正交。解：1.求出点A与直线CD的侧面投影; 3.求出b、b，ab、ab连线2.利用直角投影定理，过a” 作a”b”c”d”，且BCD ; 直角的投影例例4 4 已知水平线已知水平线AB AB 及正平线及正平线CDCD，试过定点，试过定点S S 作它们的公垂线作它们的公垂线直角的投影例例5 5 试过点试过点A A作一直角三角形作一直角三角形ABCABC。已知一条直角边。已知一条直角边BCBC 属于已知水平线属于已知

44、水平线MNMN，另一直角边为，另一直角边为ABAB，且知，且知 ABAB: :BCBC=3:2=3:2ZZ空间分析：ABMNbc =BC直角的投影例例6 6 给定一平面给定一平面 ABCABC，过点，过点A A 作属于该平面的两直线，此两直线作属于该平面的两直线，此两直线与与H H 面都成面都成6060。 以a为圆心，水平投影长为半径画圆弧，得e、fZ水平投影长 解：1.设所求两直线AE、AF；点E、F在BC上，则坐标差ZA-ZE=ZA-ZF=ZA-ZB，以60及坐标差作直角三角形,可求得水平投影长；3. 求e、f。2.在水平投影中确定e、f例例7 7 一等腰直角一等腰直角ABCABC，ACA

45、C 为斜边，顶点为斜边，顶点B B 在直线在直线NCNC 上，完成其上，完成其 两面投影。两面投影。ABNC空间分析：AB =BCbc =BC 解： 1.利用直角投影定理,过a 作abnc，b为垂足; 3.连接 abc， abc。2.以a、b的Y坐标差及AB实长(AB =BC=bc)作直角三角形。 I II即为ab长。III例例8 8 已知直线已知直线ABAB 与与CDCD 垂直相交，求作垂直相交，求作cdcd。AB为侧平线，故CD为侧垂线。空间分析：2.CD为侧垂线,故cd/OX轴。解法一：1.利用定比概念求出交点K。直角的投影例例9 9 已知直线已知直线ABAB 与与CDCD 垂直相交，求

46、作垂直相交，求作cdcd。2.求出a”b”及c”d”,求得cd。解法二：1.AB与CD为共面二直线，且该平面为侧平面。直角的投影例例1010 已知矩形已知矩形ABCDABCD，完成其水平投影。，完成其水平投影。解：空间分析：ABAD, AB为水平线1. 利用直角投影定理 abad2.对边平行得bc、dc直角的投影例例11 11 作等边作等边ABCABC，顶点为，顶点为A A，使，使BCBC 属于直线属于直线EFEF。空间分析：ADEF ABD=60 o BD =DC =(1/2)ABBD=bd,DC=dc 解： 1.作AD EF 5.连ABC2.求AD实长 4.在反映实长的ef投影上，量取dc

47、 = DC= bd3.利用直角三角形求出DC实长第四章 平面的投影4-2 4-2 各种位置平面的投影各种位置平面的投影4-3 4-3 平面内的线和点平面内的线和点4-4 4-4 平面图形的实形平面图形的实形4-1 4-1 平面的表示法平面的表示法4-1 平面的表示法一、几何元素表示法一、几何元素表示法二、迹线表示法二、迹线表示法P ABC一. 平面的表示方法1.1.几何元素表示法几何元素表示法直线及线外一点直线及线外一点两平行直线两平行直线两相交直线两相交直线平面图形平面图形不共线的三点不共线的三点P ABCP ABCDP ABCP ABCXOabcabcXOabcabcXOabcabcddX

48、OabcabcXOabcabcV XZY一.平面的表示方法2.2.迹线表示法迹线表示法迹线：平面与投影面的交线。迹线：平面与投影面的交线。PPVPHPWPXPYPZ规定：规定：V、H、W 各面迹线分别用各面迹线分别用PV、PH、PW 表示。表示。 XZYHYW OPVPZPXPHPYHPYWPWO 4-2 各种位置平面的投影一、投影面垂直面一、投影面垂直面二、投影面平行面二、投影面平行面三、一般位置平面的投影特性三、一般位置平面的投影特性一、投影面垂直面 垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面的平面称为投影面垂直面。称为投影面垂直面。 投影面垂直面分为三

49、种：投影面垂直面分为三种： 铅垂面铅垂面 ( (于于H 面，面，于于V 面和面和W 面面) ) 正垂面正垂面 ( (于于V 面，面，于于H 面和面和W 面面) ) 侧垂面侧垂面 ( (于于W 面，面，于于H 面和面和V 面面) )V XZY一、投影面垂直面1.1.铅垂面铅垂面积聚性积聚性类似性类似性类似性类似性c”b”a”cbacbaYW ZYHXbaCBAcbac” a”投影特点：投影特点：H 投影积聚为投影积聚为- -倾斜线；倾斜线；反映反映和和V 投影和投影和 W 投影为类似形。投影为类似形。空间分析：空间分析：Ocb”O一、投影面垂直面1.1.铅垂面铅垂面V V XZYYW ZYHXP

50、VPHPWPHPWPV迹线表示迹线表示? ?POOV XZY 一、投影面垂直面2.2.正垂面正垂面a”b”c”d ”abcdYW ZYHX积聚性积聚性类似形类似形类似形类似形OV 投影积聚为投影积聚为- -倾斜线；倾斜线；反映反映和和；H 投影和投影和W 投影为类似形。投影为类似形。投影特点：投影特点：空间分析：空间分析：ABCDOc ( (b ) )d ( (a ) )V XZY 一、投影面垂直面2.2.正垂面正垂面RHRWRVRVRHRWYW ZYHX迹线表示迹线表示ROOY V XZ一、投影面垂直面3.3.侧垂面侧垂面W 投影积聚为投影积聚为- -倾斜线；倾斜线；反映反映和和 ；H 投影

51、和投影和 V 投影为类似形。投影为类似形。YW ZYHX积聚性积聚性类似形类似形类似形类似形投影特点：投影特点：空间分析：空间分析：OOY V XZ一、投影面垂直面3.3.侧垂面侧垂面YW ZYHXQWQVQVQHQW迹线表示迹线表示OOQHQ一、投影面垂直面例例1 1 包含包含A（a，a）作作=30 的正垂面。的正垂面。30aaxoaaxo30 两相交直线决定平面两相交直线决定平面 迹线表示平面迹线表示平面bcbcRVRHdd一、投影面垂直面例例2 2 包含包含AB（ab，ab ）作铅垂面。）作铅垂面。ababXOcc一、投影面垂直面例例3 3 完成侧垂面的水平投影。完成侧垂面的水平投影。1

52、23451“2“4“ 3“5“ 6“165243侧垂面侧垂面注意：注意： V、H 投影的投影的“类似性类似性”。投影分析：投影分析：XOZYHYW6二、投影面平行面n平行于某一投影面的平面称为投影面平行面。平行于某一投影面的平面称为投影面平行面。 投影面平行面分为三种：投影面平行面分为三种： 水平面水平面 ( (于于H 面，面，于于V 、W 面面) ) 正平面正平面 ( (于于V 面，面，于于H 、W 面面) ) 侧平面侧平面 ( (于于W 面，面，于于H 、V 面面) )V XZYo二、投影面平行面1.1.水平面水平面CABabca”b”c”abc投影特点：投影特点：H 投影反映实形；投影反

53、映实形；V 投影和投影和 W 投影积聚为直线；投影积聚为直线；积聚投影垂直于积聚投影垂直于OZ 轴。轴。YW YHXZabcabca”b”c”实形实形OV XZYo二、投影面平行面1.1.水平面水平面QWQVYW YHXZQVQW迹线表示迹线表示CABOV XZYo二、投影面平行面2.2.正平面正平面投影特点：投影特点：V 投影反映实形；投影反映实形；H 投影和投影和 W 投影积聚为直线；投影积聚为直线；积聚投影积聚投影都垂直于都垂直于OY 轴。轴。YW YHXZ实形实形OV XZYo二、投影面平行面2.2.正平面正平面PPHPWYW YHXZPHPW迹线表示迹线表示OV XZY o二、投影面

54、平行面3.3.侧平面侧平面投影特点：投影特点：W 投影反映实形；投影反映实形；H 投影和投影和 V 投影积聚为直线；投影积聚为直线；积聚投影垂直于积聚投影垂直于OX 轴。轴。XZYHYW实形实形OV XZYo二、投影面平行面3.3.侧平面侧平面RHRVXZYHYW RVRH迹线表示迹线表示RO二、投影面平行面例例1 1 包含点包含点A（a，a）作正平面。作正平面。aaxo 正平面的水平投影为一条正平面的水平投影为一条OX 轴的直线。轴的直线。bcbc二、投影面平行面例例2 2 含水平线含水平线BC（bc，bc）作平面作平面P 平行于平行于H 面。面。bbxoccPV 三、一般位置平面 倾斜于三

55、个投影面的平面，称为一般位置平面。倾斜于三个投影面的平面，称为一般位置平面。V XZY三个投影均是三个投影均是投影特点：投影特点：XZYHYWbcbabcacbabcaacb acbBACoo三、一般位置平面 用迹线表示的一般位置平面用迹线表示的一般位置平面V XZY PPVPHPWPXPYPZ XZYHYW OPVPZPXPHPYHPYWPW三、一般位置平面例例 包含包含A（a，a）作一般位置平面。作一般位置平面。任作两相交直线决定一平面任作两相交直线决定一平面. .bcbcaxoa无数解无数解! !4-3 平面内的直线和点一、直线在平面内的几何条件一、直线在平面内的几何条件二、平面内的一般

56、位置直线二、平面内的一般位置直线四、平面内的投影面平行线四、平面内的投影面平行线三、平面内的点三、平面内的点P一、直线在平面内的几何条件通过一平面上的两个点；通过一平面上的两个点；通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。平行平行MN二、平面内的一般位置直线例例1 1 在平面在平面ABC 内作一任意直线。内作一任意直线。122abcXOabc1无数解无数解! !二、平面内的一般位置直线例例2 2 判断直线判断直线 是否在是否在ABC 平面内。平面内。122abcXObac1否否3443P三、平面内的点点在平面上的点在平面上的几何条件几何条件： 在平面内

57、定点时，一般要通过包含点在平面在平面内定点时，一般要通过包含点在平面内取辅助线求解。内取辅助线求解。点在平面内的一条直线上。点在平面内的一条直线上。三、平面内的点例例1 1 已知点已知点K 在平面在平面ABCD 内内，据据k 求求k。作图分析：作图分析： 在平面内取一条过在平面内取一条过K 点点的直线，如的直线，如AI I 。使。使k 在在a 1上，则上，则K 在平面内。在平面内。ka b c cadOXd bk11作图：作图：解题完毕解题完毕三、平面内的点平面的水平投影积聚；平面的水平投影积聚；ccbbaaO XKk例例2 2 已知点已知点K 在平面在平面ABC 内内，据据k 求求k 。使使

58、k 落在投影落在投影abc上即可。上即可。解题完毕解题完毕作图分析：作图分析：作图：作图：三、平面内的点例例3 3 完成平面四边形完成平面四边形ABCD 的水平投影。的水平投影。作图分析：作图分析：平面平面四边形四边形ABCD 的的对角线必相交。对角线必相交。kcXa b c adOd bk作图：作图：解题完毕解题完毕三、平面内的点例例4 4 试判断试判断K 点是否在平面内点是否在平面内。分析：分析：cXa c adOd b bkk11作图：作图： KD 与平面内的线不平与平面内的线不平行或相交。行或相交。点点K 不在平面内不在平面内解题完毕解题完毕 K 与平面内任一点连线与平面内任一点连线,

59、 ,若若K 在平面内则该连线应与在平面内则该连线应与平面内的线平行或相交。平面内的线平行或相交。例例5 5：已知一正垂面的两面投影：已知一正垂面的两面投影, ,求第三面投影。求第三面投影。bckadad bckb例例6 6 已知已知ACAC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形ABCDABCD的水平投影的水平投影解法一解法一：解法二解法二：cadadbcX XX X例例7 7：完成六边形的水平投影。：完成六边形的水平投影。正平线水平线侧平线四、平面内的投影面平行线1.1.定义定义: : 平面内平行于某一投影面的直线，称为平面平面内平行于某一投影面的直线，称为平面内的投影面平行线。内的

60、投影面平行线。 在一般在一般位置平面内位置平面内可取三类投可取三类投影面平行线影面平行线: :V XZYO四、平面内的投影面平行线从属性从属性( (属于平面属于平面); ); 投影面平行线的投影特性。投影面平行线的投影特性。DEededA Cc baabcde=DEdeoxdea b c ca bOXde取平面内的水平线取平面内的水平线DE2.2.投影特性投影特性: :deOX 轴轴B四、平面内的投影面平行线例例1 1 在平面在平面( (ABCD ) )内作直线内作直线EF V 面，使距离面，使距离V V面为面为15 。eff15bbaaXdccOde解题完毕解题完毕例例2 2：已知：已知 A