《结构力学》_龙驭球_第5章_虚功原理与结构的位移计算(1)

1、1、推导结构位移计算一般公式的基本思路、推导结构位移计算一般公式的基本思路 讨论静定结构由于支座移动引起的位移计算讨论静定结构由于支座移动引起的位移计算 应用刚体体系虚力原理（虚功原理的另一种应用应用刚体体系虚力原理（虚功原理的另一种应用 虚虚设力系设力系求刚体求刚体体系位移）导出其位移计算公式。体系位移）导出其位移计算公式。 讨论静定结构由于局部变形引起的位移计算讨论静定结构由于局部变形引起的位移计算 结构中结构中某个微段某个微段产生拉伸、剪切、弯曲变形而引起位移，其他部分没有产生拉伸、剪切、弯曲变形而引起位移，其他部分没有变形，仍为刚体。仍可应用刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。变形，仍

2、为刚体。仍可应用刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。 讨论静定结构由于整体变形引起的位移计算讨论静定结构由于整体变形引起的位移计算 应用第二步导出的结构中局部变形引起的位移计算公式，再应用应用第二步导出的结构中局部变形引起的位移计算公式，再应用叠加叠加原原理（某微段产生变形而引起位移进行积分），即可得到理（某微段产生变形而引起位移进行积分），即可得到 结构由于整体变形引结构由于整体变形引起的位移计算公式起的位移计算公式。 2、结构位移计算概述、结构位移计算概述计算位移的目的：计算位移的目的： 验算结构的刚度。验算结构的刚度。 为超静定结构内力分析打基础。为超静定结构内力分析打基础。产生位移的原

3、因：产生位移的原因：cc1t12tt 温度变化材料胀缩；温度变化材料胀缩； 支座沉降、制造误差。支座沉降、制造误差。 荷载作用。荷载作用。结构的位移与内部应变：结构的位移与内部应变：BHBVAB无应变无应变无应变无应变有应变有应变位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。1c?3、虚力原理、虚力原理已知已知 ，求：求：。1c虚功方程虚功方程设虚力状态设虚力状态1110RRbFabFa 1110RFc1cab 虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移1ABC abABC1RF小结：小结： 形式是虚功方程，实质是几何方程；形式是虚功方程，实

4、质是几何方程； 在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求 出与已知位移出与已知位移 相应的支座反力。相应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系； 特点是用静力平衡条件解决几何问题。特点是用静力平衡条件解决几何问题。4、支座移动时静定结构的位移计算、支座移动时静定结构的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。代入代入得到得到支座移动时的位移计算公式支座移动时的位移计算公式：icRKKFC 10RkkF C C点的竖向位移点的竖向位移c 杆杆CD的转角的转角已知位移已知位移 ，求

5、：，求：Acc1(1) 103cDc Acc31l23l3lABCDAc111(2) 102AclAcl 21ABCDABCD3132l2l 21l 23ab 1 1 1 11()RkkaFcahh 沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 代入公式代入公式 解得，解得，RkkFc 根据正负号定出方向。根据正负号定出方向。求解步骤：求解步骤：所得负号表明位移方向与假设的单位力方向相反。所得负号表明位移方向与假设的单位力方向相反。ABhllDECABDEC练习练习5-1：三铰刚架三铰刚架B支座发生移动如图示，求铰支座发生移动如图示，求铰C两侧杆端的相对转角两侧杆端

6、的相对转角。1h1h00BA( c )推导位移计算公式的两种途径推导位移计算公式的两种途径 由变形体虚功原理来推导；由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导由刚体虚功原理来推导局部到整体局部到整体。1、局部变形时、局部变形时静定结构静定结构的位移计算的位移计算 在在静定结构静定结构局部变形所引起的位移。在杆仵中取微段局部变形所引起的位移。在杆仵中取微段d s设为变形体，分设为变形体，分析局部变形所引起的位移。析局部变形所引起的位移。dAm1iiaMsin1虚功方程：虚功方程：10mM d mM d例例1：悬臂梁在截面悬臂梁在截面 B 处由于某种原因产生相对转角处由于某种原因产生相对转角 d

7、 （图（图a示），试求示），试求 A 点点在在 i i 方向的位移方向的位移 。m由平衡条件：由平衡条件：mM 解：解：图图 ( a ) 中实际位移状态可改用图中实际位移状态可改用图 ( b )来表示。在来表示。在 B 处加铰，把实际位移表示处加铰，把实际位移表示为刚体体系的位移状态。为刚体体系的位移状态。Baa( a ) 为求未知位移，虚设力系如图为求未知位移，虚设力系如图 ( c ) 示。示。在在A点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在铰铰B处还必须虚设一对弯矩。处还必须虚设一对弯矩。AB( b )dBAiiBAdQ1AQFsin101dFQQdFQQ例例2、悬臂

8、梁在截面悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对剪位移产生相对剪位移d ，试求试求A点在点在 i i方向的位移方向的位移 。Q例例3、悬臂梁在截面悬臂梁在截面B 处由于某种原因处由于某种原因产生轴向位移产生轴向位移d , 试求试求A点在点在i i 方向方向的位移的位移 。NBABAiiNNBANFNFdcos1NF虚功方程：虚功方程：01dFNNdFNN虚功方程：虚功方程： 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在 i i 方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三，即是三者的叠加，有：者的叠加，有：dFdFdMNQNQMQ12、局部变形时的位移公式、局部变

9、形时的位移公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsdRdsR1 三种变形：三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段 ds 设为变形体，分析局部变形所引起的位移。设为变形体，分析局部变形所引起的位移。dsRdsddsddsd 微段两端相对位移：微段两端相对位移： 1QNFFM,续基本思路：设续基本思路：设,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面 B 左右两端的相对位移的形式出左右两端的相对位移的形式出现，现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 应用刚体虚功原理求位移应用刚体虚功原理求位移 d 即前例的结论。即前例的结论。

10、dFdFdMdQNQNMd3、结构位移计算的一般公式、结构位移计算的一般公式iidsFFMdQN)(一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：dsFFMdQN)(如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：dsFFMQN)(若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：kRkQNCFdsFFM)(dFdFdMdQN或或dsFFMdQN)(kRkQNCFdsFFM)(适用范围与特点：适用范围与特点： 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公

11、式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论： 变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 变形原因：荷载与非荷载变形原因：荷载与非荷载。 结构类型：各种杆件结构。结构类型：各种杆件结构。 材料种类：各种变形固体材料。材料种类：各种变形固体材料。 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。dsFFMCFQNkRk)(1 变形体虚功原理：变形体虚功原理：设变形体系在力系作用下处于平衡（力状态），而该设变形体系在力系作用下处于平衡（力状态），而该变形体系由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形变形体系由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形 （位移状态）

12、，则（位移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功 W ，恒等于力状态的内力在位，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功移状态的变形上所作的虚功，即内力虚功，即内力虚功简写为简写为iWW 外力虚功等于内力虚功外力虚功等于内力虚功4、结构位移计算的一般步骤、结构位移计算的一般步骤: 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； 求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力 表达式表达式; ;,NQRMFFF 用位移公式计算所求位移，注意正负号用位移公式计算所求位移，注意正负号问问题。题。5、广义位移

13、的计算、广义位移的计算 作功的两方面因素：作功的两方面因素：力、位移力、位移。与。与力有关的因素，称为力有关的因素，称为 广义力广义力 F 。与位移。与位移有关的因素，称为有关的因素，称为广义位移广义位移。 广义力是一个力偶，广义力是一个力偶，则广义位移是则广义位移是它所作用的截面的转角它所作用的截面的转角。m 若广义力是等值、反向的一对力若广义力是等值、反向的一对力 F ，()ABABWFFFF FFttABBA与广义力相应的广义位移与广义力相应的广义位移为为AB 两点间距两点间距的改变，的改变， 即即AB 两点的相对位移。两点的相对位移。 若广义力是一对等值、反向的力偶若广义力是一对等值、

14、反向的力偶 m，()ABABWmmmm与广义力相应的广义位移与广义力相应的广义位移为为AB 两截面的相对转角。两截面的相对转角。ABmmAB 在荷载作用下建立在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应应变过程推导应变表达式。变过程推导应变表达式。,PNPQPMFF由上面的内力计算应变，其表达式由由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学材料力学可知可知QPNPPFFMddxdxdudxdxdvdxkdxEIEAGA式中：式中：k 为截面形状系数为截面形状系数1.21091AA1 荷载作用下的位移计算公式：荷载作用下的位移计算公式：QNQPNPPF FF FMMdxdxkdxEIEAGA 重点在于解决荷载作用下微段的变形重点在于解决荷载作用下微段的变形 的表达式。的表达式。,ddu dvkRkQNCFdsFFM)( 桁架桁架NNNNPNPNPF FF FF F ldxdxEAEAEA 拱拱NNPPF FMMdsdsEIEA 2、各类结构的位移计算公式、各类结构的位移计算公式 梁与刚架梁与刚架dsEIMMP 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故在梁和刚架中，由