三角函数的诱导公式(二)课件(人教A版必修四)

1、1.3 三角函数的诱导公式(二)诱导公式五、六诱导公式五、六1.1.公式的表达形式公式的表达形式cos sin sin 2.2.公式的语言概括公式的语言概括(1)(1)函数名称：函数名称： 的正弦的正弦( (余弦余弦) )函数值函数值, ,分别等于分别等于的的_函数值函数值. .(2)(2)符号：函数值前面加上一个符号：函数值前面加上一个_原函数值的符原函数值的符号号. .(3)(3)作用：利用诱导公式五、六，可以实现作用：利用诱导公式五、六，可以实现_的相互转化的相互转化. .2余弦余弦( (正弦正弦) )把把看成锐角时看成锐角时正弦函数与余弦函正弦函数与余弦函数数思考：思考：由诱导公式五、

2、六，可否得出由诱导公式五、六，可否得出 的关的关系？系？提示：提示：因为因为所以所以 互为负倒数互为负倒数. .tan()tan 2与sin()cos 112tan()sin 2sin tan cos()2cos ，1tan()tan()tan 2tan 2 ，即与【知识点拨【知识点拨】1.1.三角形中的诱导公式三角形中的诱导公式由于由于A+B+C=,A+B+C=,所以所以A+B=A+B=C,C,所以所以所以所以sin(A+B)=sin(sin(A+B)=sin(C)=sin CC)=sin C；cos(A+B)=cos(cos(A+B)=cos(C)=C)=coscos C C；ABC.22

3、2ABCCsin sin()cos 2222 ABCCcoscos()sin .2222；2.2.解读六组诱导公式解读六组诱导公式(1)(1)诱导公式一至诱导公式六揭示了终边具有某种对称关系的诱导公式一至诱导公式六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系两个角的三角函数之间的关系. .(2)(2)这六组诱导公式可归纳为这六组诱导公式可归纳为 的三角函数值与的三角函数值与的三角函数值之间的关系的三角函数值之间的关系. .当当k k为偶数时得角为偶数时得角的同名三角函的同名三角函数值数值, ,当当k k为奇数时得角为奇数时得角的异名三角函数值的异名三角函数值. .然后前面加上一然后前

4、面加上一个把角个把角看成锐角时原三角函数值的符号看成锐角时原三角函数值的符号. .可简记为可简记为“奇变偶奇变偶不变不变, ,符号看象限符号看象限”. .k(kZ)2类型类型 一一 利用诱导公式利用诱导公式解决给角解决给角( (或值或值) )求值求值 【典型例题【典型例题】1.sin 951.sin 95+cos 175+cos 175的值为的值为( )( )A.sin 5A.sin 5 B.cos B.cos 5 5 C.0 D.2sin 5 C.0 D.2sin 52.2.已知已知sin 10sin 10=k=k，则，则coscos 620 620的值等于的值等于( )( )A.kA.k

5、B. B.k C.k C.k k D. D.不能确定不能确定3.3.已知已知 求下列各式的值：求下列各式的值：2cos()63 ， 21 sin(). 2 sin().33【解题探究【解题探究】1.1.哪组诱导公式可以实现正弦函数与余弦函数哪组诱导公式可以实现正弦函数与余弦函数之间的转化？之间的转化？2.6202.620与与1010有何联系？有何联系？3.3.角角 分别与角分别与角 有何联系？有何联系？2,33 6探究提示：探究提示：1.1.诱导公式五、六实现了正弦函数与余弦函数之间的转化，诱导公式五、六实现了正弦函数与余弦函数之间的转化，即：即：2.6202.620=720=720-100-

6、100, ,而而1010=100=100-90-90. .3.3.sin()cos cos()sin ,22 ，cos()sin .2 ()()3622()().362 ； 【解析【解析】1.1.选选C.C.原式原式=sin(90=sin(90+5+5)+cos(180)+cos(1805 5) )=cos=cos 5 5coscos 5 5=0.=0.2.2.选选B.cosB.cos 620 620=cos(720=cos(720100100) )=cos=cos 100 100=cos(90=cos(90+10+10) )= =sin 10sin 10= =k.k.3. (1)3. (1)

7、(2)(2)sin()sin()326 2cos().63 2sin()sin()326sin()262cos().63 【拓展提升【拓展提升】角的转化方法角的转化方法(1)(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数角的三角函数. .若转化了以后的正角大于若转化了以后的正角大于360360，再利用诱导，再利用诱导公式一，化为公式一，化为0 0到到360360间的角的三角函数间的角的三角函数. .(2)(2)当化成的角是当化成的角是9090到到180180间的角时，再利用间的角时，再利用180180-的的诱导公式化为诱导

8、公式化为0 0到到9090间的角的三角函数间的角的三角函数. .(3)(3)当化成的角是当化成的角是270270到到360360间的角，则利用间的角，则利用360360-及及-的诱导公式化为的诱导公式化为0 0到到9090间的角的三角函数间的角的三角函数. .(4)(4)善于发现类似善于发现类似 间的互余关系，间的互余关系，间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题. .36 与233 与【变式训练【变式训练】(2013(2013广东高考广东高考) )已知已知 那么那么coscos =( ) =( )【解题指南【解题指南】本题考查三角函数诱导公式，可以

9、直接利用本题考查三角函数诱导公式，可以直接利用公式计算公式计算. .【解析【解析】选选C.C.51sin()25 ，2112A.B.C.D.55555sin()sin(2)22 1sin()cos .25 类型类型 二二 利用诱导公式化简利用诱导公式化简 【典型例题【典型例题】1.sin1.sin2 21 1+sin+sin2 22 2+sin+sin2 23 3+sin+sin2 28888+sin+sin2 28989+sin+sin2 29090的值等于的值等于_2.2.化简：化简：2233sin() sin() tan222cos() cos() cos ()22【解题探究【解题探究】

10、1.sin 1.sin 与与coscos 有怎样的关系？有怎样的关系？2.2.诱导公式一六用语言可怎样概括？诱导公式一六用语言可怎样概括？探究提示：探究提示：1. sin1. sin2 2+cos+cos2 2=1.=1.2.2.奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限. .【解析【解析】1.1.因为因为sinsin2 21 1+sin+sin2 28989=sin=sin2 21 1+cos+cos2 21 1=1=1，sinsin2 22 2+sin+sin2 28888=sin=sin2 22 2+cos+cos2 22 21 1，sinsin2 2x x+sin+sin2 2(90

11、(90 x x)=sin2x)=sin2x+cos2x+cos2x=1 (1x44,=1 (1x44,xNxN) )，所以原式所以原式=(sin=(sin2 21 1+sin+sin2 28989)+(sin)+(sin2 22 2+sin+sin2 28888) )+ +(sin+(sin2 24444+sin+sin2 24646)+sin)+sin2 29090+sin+sin2 24545答案：答案：229145().229122.2.原式原式22sin() sin() tan (2)22cos() cos() cos ()2222222cos( cos ) tansin( sin )

12、 costan1.sincos 【互动探究【互动探究】本题本题1 1若改为若改为coscos2 21 1+cos+cos2 22 2+cos+cos2 23 3+coscos2 28888+cos+cos2 28989+cos+cos2 29090，又如何求解呢？，又如何求解呢？【解题指南【解题指南】利用利用sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1进行计算进行计算. .【解析【解析】coscos2 21 1+cos+cos2 28989=cos=cos2 21 1+sin+sin2 21 1=1,=1,coscos2 22 2+cos+cos2 28888=cos=cos2 22 2+

13、sin+sin2 22 2=1,=1,即即coscos2 2x x+cos+cos2 2(90(90 x x)=cos)=cos2 2x x+sin+sin2 2x x=1(1x44,=1(1x44,xNxN),),所以原式所以原式=(cos=(cos2 21 1+cos+cos2 28989)+(cos)+(cos2 22 2+cos+cos2 28888)+)+(cos+(cos2 24444+cos+cos2 24646)+cos)+cos2 29090+cos+cos2 24545228944().22【拓展提升【拓展提升】用诱导公式化简求值的方法用诱导公式化简求值的方法(1)(1)对

14、于三角函数式的化简求值问题对于三角函数式的化简求值问题, ,一般遵循诱导公式先行一般遵循诱导公式先行的原则的原则, ,即先用诱导公式化简变形即先用诱导公式化简变形, ,达到角的统一达到角的统一, ,再进行三角再进行三角函数名称转化函数名称转化, ,以保证三角函数名称最少以保证三角函数名称最少. .(2)(2)对于对于kk和和 这两套诱导公式这两套诱导公式, ,切记运用前一套公切记运用前一套公式不变名式不变名, ,而后一套公式必须变名而后一套公式必须变名. .2【变式训练【变式训练】化简化简【解析【解析】tan(3tan(3)=)=tan tan ，sin(sin()=sin )=sin ， 7

15、sin 2cos()tan 32.33sinsin()sin()cos 2223sin()cos sin 2sin 27cos()cos()sin 223sin()cos 2cos 2cos ，所以，原式所以，原式sin sin tan sin cos cos cos 22222221sincoscos1 sincos1.coscos类型类型 三三 利用诱导公式证明等式利用诱导公式证明等式 【典型例题【典型例题】1.1.求证：求证：2.2.求证：求证：sin5cos()sin()221.3cos 3cos()sin423tan 2cos()cos 62tan .33sin()cos()22【解

16、题探究【解题探究】1.1.证明三角恒等式时，从一边开始化简使它等证明三角恒等式时，从一边开始化简使它等于另一边，遵循的原则是什么？于另一边，遵循的原则是什么？2.2.有关正切的诱导公式有哪些？有关正切的诱导公式有哪些？探究提示：探究提示：1.1.一般遵循由繁到简的化简原则一般遵循由繁到简的化简原则. .2.tan(+)=tan 2.tan(+)=tan ；tan(tan()=)=tan tan ；tan(tan()=)=tan .tan .【证明【证明】1.1.左边左边故原式得证故原式得证. .2.2.左边左边所以原式成立所以原式成立. .sin 5sin cos cossin sin 4si

17、nsin cos sin 1cos sin sin sin 右边，tancos()cos2sin()cos()22 tan sin cos tan cos sin 右边，【拓展提升【拓展提升】证明等式的常用方法证明等式的常用方法利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：证明的常用方法有：(1)(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. .(2)(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. .(3)(3)针对题设与结论间

18、的差异，有针对性地进行变形，以消除针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同其差异，即化异为同. .【变式训练【变式训练】求证：求证：【证明【证明】因为因为所以原式成立所以原式成立. .5cos(x)21.5sin(x)tan 6x2 5cos(x)25sin(x)tan(6x)2cos(2x)2sin(x2 )tan( x)2cos(x)sin x21.cos xtan xsin(x)tan x2 右边【规范解答【规范解答】诱导公式的综合应用诱导公式的综合应用【典例【典例】【条件分析【条件分析】【规范解答【规范解答】(1) (1) 4 4分分 3sin3cos 2s

19、in()2fcossin() (sin ) cos(cos )(cos )cos .sin (2)(2)因为因为所以所以 6 6分分又又是第三象限的角，是第三象限的角，所以所以所以所以 8 8分分3cos()sin 2，1sin 5 ，211 ()52cos 6.5 2f6.5 (3)(3)因为因为所以所以 1010分分所以所以 1212分分31,356 23 3131f()cos()335cos( 6 2)3 51cos cos ,332 1f.2 【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.准确把握诱导公式准确把握诱导公式对于六组诱导公式，理解对于六组诱导公式，理解“奇变偶不变，符

20、号看象限奇变偶不变，符号看象限”，即，即掌握好三角函数名称和符号掌握好三角函数名称和符号. .如本例中在如本例中在，处的化简处的化简. .2.2.三角函数值符号的确定三角函数值符号的确定对于三角函数值的符号的准确判定，要记准在四个象限内的对于三角函数值的符号的准确判定，要记准在四个象限内的不同的三角函数值的符号，即不同的三角函数值的符号，即“一全正，二正弦，三正切，一全正，二正弦，三正切，四余弦四余弦”，否则就会在求解时出现符号错误，如本例在，否则就会在求解时出现符号错误，如本例在处处求解求解coscos 的值时，若忽略的值时，若忽略是第三象限的角这一条件或符是第三象限的角这一条件或符号记错，

21、都会导致失误号记错，都会导致失误. . 【类题试解【类题试解】已知：已知： (1)(1)化简化简f(f().).(2)(2)若若的终边在第二象限且的终边在第二象限且 求求f(f().). sincoscos()2f.cos()sin 2tan 3sin 5 ，【解析【解析】(1)(1)(2)(2)由题意知由题意知所以所以 sincoscos()2fcossin 2tan() sin cos sin cos .cos sin tan 24cos 1 sin5 ， 4fcos .5 1.sin 4801.sin 480的值是的值是( )( )【解析【解析】选选A.sinA.sin 480 480=sin(360=sin(360+120+120)=sin(90)=sin(90+30+30) )3311A.B.C.D.22223cos 30.2 2.2.已知已知 且且是第四象限角，则是第四象限角，则coscos( (3+)3+)的值为的值为( )( )【解析【解析】选选B. B. 因为因为 则则所以所以33cos()25 ，4443A.