通信原理(樊昌信)第3章随机过程

1、 随 机 过 程 随机过程的基本概念平稳、高斯、窄带过程的统计特性正弦波加窄带高斯过程的统计特性随机过程通过线性系统高斯白噪声和带限白噪声 本章内容 l学习目标学习目标l 通过对本章的学习通过对本章的学习, ,应掌握以下要点：应掌握以下要点：l随机过程的基本概念；随机过程的基本概念；l随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；l平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；度；l高斯过程的定义和性质、一维概率密度和分布函数；高斯过程的定义和性质、一维概率密度和分布函数；l随机过程通过线性系统、输出和

2、输入的关系；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；l窄带随机过程的表达式和统计特性；窄带随机过程的表达式和统计特性；l正弦波加窄带高斯过程的统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；l高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。随机过程 de 基本概念n什么是随机过程？什么是随机过程？u随机过程是一类随时间作随机变化的过程，随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。可从两种不同角度看：描述。可从两种不同角度看：u角度角度1：对应不同随机试验结果的时间过程：对应不同随

3、机试验结果的时间过程的集合。的集合。【例例】n台示波器同时观测并记录这台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声台接收机的输出噪声波形波形 p样本函数样本函数 i (t)：随机过程的一次：随机过程的一次实现实现，是确定的时间，是确定的时间函数。函数。p随机过程：随机过程： (t) = 1 (t), 2 (t), , n (t) 是随机实验的全部样本函数的集合。是随机实验的全部样本函数的集合。u角度角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。：随机过程是随机变量概念的延伸。p在任一给定时刻在任一给定时刻t1上，每一个样本函数上，每一个样本函数 i (t)都是一个确都是一个确定的数值定的数值 i (t

4、1)，但是每个但是每个 i (t1)都是不可预知的。都是不可预知的。p在一个固定时刻在一个固定时刻t1上，不同样本的取值上，不同样本的取值 i (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为是一个随机变量，记为 (t1)。p换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。p因此，我们又可以把因此，我们又可以把随机过程随机过程看作看作是是在时间进程中处于在时间进程中处于不同时刻的不同时刻的随机变量的集合随机变量的集合。p这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。t tt t1 1t

5、t2 2n 定义定义：n 属性属性：n 特性描述特性描述：随机过程n 一维分布函数11111() ( )F xtPtx，1111111()()F xtf xtx，一维概率密度函数3.1.1 随机过程的分布函数n 二维分布函数二维概率密度函数)(),(2121221212122ttxxfxxttxxF，；，；，221121212)()()(xtxtPttxxF，；，-描述孤立时刻的统计特性n n 维分布函数n 维概率密度函数 1( )( , )Etxf x t dxa t22( )( )tEt-摆动中心n 方差-偏离程度当当 a(t)=0 时：时： - t 的确定函数n 均值-描述随机过程的主要

6、特性3.1.2 随机过程的数字特征令 ， 则有：1211( , )( ,)R t tR t tn 互相关函数n 自相关函数-同一过程的关联程度21-tt-两个过程的关联程度3.2 平稳随机过程 n 狭义平稳u 随机过程的统计特性与时间起点无关。随机过程的统计特性与时间起点无关。 一维分布则与时间一维分布则与时间t t 无关：无关： 二维分布只与间隔二维分布只与间隔有关：有关：n 广义平稳u 均值与时间均值与时间 t 无关无关: :u 相关函数仅与相关函数仅与 有关有关: :11111( , )()f x tf x21212212( ,; , )( ,; )fx x t tfx x注意注意：3.

7、2.1 定义l具有各态历经性的随机过程，其数字特征（均为具有各态历经性的随机过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。间平均值来代替。3.2.2 各态历经性（遍历性）设设x(t) 是平稳过程的任一个实现，是平稳过程的任一个实现，它的时间平均值为：它的时间平均值为：/2/2/2/21( )lim( )1( )lim( ) ()TTTTTTax tx t dtTRx t x tdtT遍历遍历注意注意：意义意义：含义含义：（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）( )( ( ) ()REtt2(0)( )REt

8、S22( ) ( )REta ( )()RR2(0)( )RR ( )(0)RR2 ( )() 0 2 (0)2 ( )0EttRR2( )lim ( ) () ( ) () ( )REttEt EtEt -平均功率平均功率-直流功率直流功率-交流功率（方差）交流功率（方差）-偶函数偶函数-上上 界界n 重要性质：3.2.3 平稳过程的自相关函数n 样本的功率谱：统计平均统计平均2( )( )li)m(xTTE XPfPfTfE2( )m( )lixTTPXfTfn 过程的功率谱-截短函数截短函数3.2.4 平稳过程的功率谱密度（PSD）)()(PR0)(P)()(PP 当 =0时，有平稳过程

9、的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换：平稳过程的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换：维纳-辛钦定理 PSD 性质：u偶函数： u非负性： l 自相关函数的意义自相关函数的意义？作用作用？ l 功率谱密度的意义功率谱密度的意义？作用作用？解题思路：第第1步：判断步：判断 是否平稳，即求其是否平稳，即求其统计平均值统计平均值 若均值为常数，且自相关函数只与时间 间隔 有关， 则 是广义平稳的。第第2步：求步：求 的的时间平均值时间平均值)(t第第3步：比较步：比较 统计平均值统计平均值 和和 时间平均值时间平均值)(t)(t参见教材41页解题过程：例例3.3 高斯随机过程 （1）若广义平稳

10、，则狭义平稳；）若广义平稳，则狭义平稳； （2）若互不相关，则统计独立；）若互不相关，则统计独立； （3）若干个高斯过程的代数和仍是高斯型；）若干个高斯过程的代数和仍是高斯型； （4）高斯过程）高斯过程线性变换线性变换高斯过程。高斯过程。3.3.1 定义3.3.2 重要性质( ) t1( )( )2aaf x dxf x dx( )1f x dx关于直线关于直线 x=a 对称对称性质：性质：-集中程度集中程度a-分布中心分布中心n 一维概率密度函数记为记为(a ，2) 3.3.3 高斯随机变量3.4 平稳随机过程 通过线性系统输入有界且系统是物理可实现的，有 o( ) t( )iti ( )E

11、tao( )(0)Eta Hi( )P f2oi( )( )( )P fH fP fii( )( )RP foo( )( )RP f 是线性系统的直流增益； 2( )H f0)()0(dtthHo( ) t( )it平稳、高斯平稳、高斯平稳、高斯平稳、高斯常数常数常数常数是功率增益3.5 窄带随机过程通过窄带系统的随机信号或噪声n什么是窄带随机过程？什么是窄带随机过程？ 若随机过程若随机过程 (t)的谱密度集中在中心频率的谱密度集中在中心频率fc附附近相对窄的频带范围近相对窄的频带范围 f 内，即满足内，即满足 f fc的条的条件，且件，且 fc 远离零频率，则称该远离零频率，则称该 (t)为

12、窄带随机过为窄带随机过程。程。 0ccfffn 窄带条件：n 示意图： 可视为可视为包络缓慢变化包络缓慢变化 的正弦波的正弦波n 表达式：( )cos,( )( )(0)cttaa ttt包络相位形式包络相位形式( )( )( )cossincsccttttt同相正交形式同相正交形式随机包络随机包络随机相位随机相位同相分量同相分量正交分量正交分量n 两者关系： 显然，显然， a (t)和和 (t)的变化相对于载波的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。n 统计特性：3.5.1 同相和正交分量的统计特性( )( )( )cossincsccttttt根据上式和窄带过程根据

13、上式和窄带过程的的统计特性，可统计特性，可推出：推出： 均值均值 0 0、方差方差 的的平稳平稳高斯高斯窄带窄带过程过程 ，它的，它的 2平稳、高斯正交分量同相分量同样也是)()(ttsc222cs0)0(SCR并且并且 互不相关互不相关统计独立统计独立高斯高斯均值均值 0 0平均功率相同平均功率相同结论1且且 均值为均值为0 0，方差也相同：，方差也相同：按照推导思路：借助结论1,根据关系：3.5.2 包络和相位的统计特性推出结论2： 均值均值0 0 、方差方差 的的平稳平稳高斯高斯窄带窄带过程过程 ，它的，它的u包络瑞利分布：包络瑞利分布： u相位均匀分布：相位均匀分布： 且且 2 -统计

14、独立统计独立结论2 3.6 正弦波加窄带高斯过程窄带高斯噪声 ( 0, )n合成信号：cos( )( )cz ttt( )cos( )sinccscn ttn tt( )cos()(crAtn tt( )cos( )sinccScz ttztt关心-z(t) 的统计特性的统计特性:2常数 随机相位在(0，2)上均匀分布在在给定给定条件下，利用条件下，利用3.5.2节节的推导方法和的推导方法和结论结论2。n分析思路：n推导结果： 讨论：讨论：莱斯莱斯分布分布注：注：u f()不再服从均匀分布不再服从均匀分布3.7 高斯白噪声 和 带限白噪声白噪声仅在 =0（同一时刻）时才相关。1. 白噪声理想的宽带过程其功率谱密度均匀分布在整个频率范围内：0( )( )2nR 0( )2nPn0 -常数 (W/Hz)2. 高斯白噪声-指概率分布服从高斯分布的白噪声。高