人教版九年级锐角三角函数全章教（学）案

1、. .PAGE17 / NUMPAGES17九年级数学教 案第二十八章 锐角三角函数教材分析：本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以与利用锐角三角函数解直角三角形等容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章容与已学 相似三角形勾股定理等容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是

2、学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以与用含有几个字母的符号 sinA 、 cosA 、 tanA 表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。281 锐角三角函数（1）第一课时教学目标：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固

3、定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯重难点：1重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实2难点与关键：难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实教学过程：一、复习旧知、引入新课引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片

4、）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米然后他很快就算出旗杆的高度了。1米10米?你想知道小明怎样算出的吗？ 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦二、探索新知、分类应用活动一问题的引入问题一为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在RtABC中，C=90o，A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即可得

5、AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于问题二如图，任意画一个RtABC，使C=90o，A=45o，计算A的对边与斜边的比，能得到什么结论？（学生思考）结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。问题三一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：RtABC与RtABC，C=C =90o，A=A=，那么与有什么关系分析：由于C=C =90o，A=A=，所以RtABCRtABC，即 结论：

6、在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值。活动二认识正弦如图，在RtABC中，A、B、C所对的边分别记为a、b、c。师：在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦。记作sinA。板书：sinA （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=）注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56、sinDEF3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。提问：B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？活动三正弦简单应用 例1 如课本图2

7、81-5，在RtABC中，C=90，求sinA和sinB的值 教师对题目进行分析：求sinA就是要确定A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定B的对边与斜边的比我们已经知道了A对边的值，所以解题时应先求斜边的高三、总结消化、整理笔记 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是一个固定值 在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA。四、书写作业、巩固提高练习：做课本第77页练习五、教学后记281 锐角三角函数（2）第二课时教学目标：知识与技能：1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角

8、三角形中两边的比2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯重难点：1理解余弦、正切的概念2难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算教学过程：一、复习旧知、引入新课复习1、口述正弦的定义2、（1）如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，且AB5，BC3则sinBAC=；sinADC=（2）2006如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D。已知AC= EQ R(,

9、5) ，BC=2，那么sinACD（ ）ABCD二、探索新知、分类应用活动一余弦、正切的定义一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：RtABC与RtABC，C=C =90o，B=B=，那么与有什么关系？分析：由于C=C =90o，B=B=，所以RtABCRtABC，即 结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，B的邻边与斜边的比也是一个固定值。如图，在RtABC中，C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做B的余弦，记作cosB即把A的对边与邻边的比叫做A的正切.记作tanA,即锐角A的正弦,余弦,正切都叫做A的锐角三角函数.活动二

10、余弦、正切简单应用教 HYPERLINK :/ czsx .cn 师解释课本第78页例2题意：如课本图281-7，在RtABC中，C=90，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值 教师对解题方法进行分 HYPERLINK :/ czsx .cn 析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值我们可以通过已知角的正弦值与对边值与勾股定理来求 教师分析完后要求学生自己解题学生解后教师总结并板书三、总结消化、整理笔记在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，把A的对边与斜边的比叫做A的正切，记作tanA分析?

11、 本题主要考查锐解三角函数与三角变换知识。其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D.四、书写作业、巩固提高学生做课本第78页练习1、2、3题分层作业五、教学后记281 锐角三角函数（3）第三课时教学目标：知识与技能：1、使学生了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况过程与方法：1通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力2锐角正弦、余弦和正切与正弦、余弦

12、之间的关系，了解锐角三角函数的涵。情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯，让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣重难点、关键：1重点：三个锐角三角函数间几个简单关系 2难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系教学过程：一、复习旧知、引入新课复习叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义二、探索新知、分类应用活动一锐角三角函数间几个简单关系讨论：1、从定义可以看出与有什么关系？与呢？满足这种关系的与又是什么关系呢？2、利用定义与勾股定理你还能发现与的关系吗？3、

13、再试试看与和存在特殊关系吗？经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：结论：（1）若 那么=或=（2）（3）4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？通过一番讨论后得出：结论：（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。活动二题型分析(1)判断题：i 对于任意锐角，都有0sin1和0cos1 （ ）ii 对于任意锐角1，2，如果12，那么cos1cos2 （ ）iii 如果sin1sin2，那么锐角1锐角2I （ ）iv

14、如果cos1cos2，那么锐角1锐角2（ ）（2）在RtABC中，下列式子中不一定成立的是_AsinAsinB BcosAsinBCsinAcosBDsin(A+B)sinC（ （3）（4）sin272+sin218的值是（ ） A1 B0 C D三、总结消化、整理笔记1、一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系：=或=2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系：3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况四、书写作业、巩固提高分层作业五、教学后记281 锐角三角函数（4）第四课时教学目标：知识与技能：1能推导并熟记30、45、60

15、角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数 2能熟练计算含有30、45、60角的三角函数的运算式过程与方法：知道30，45，60角的三角函数值，并且进行运算情感态度与价值观：让学生经历观察、操作等过程，知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识重难点、关键：1重点：熟记30、45、60角的三角函数值，能熟练计算含有30、45、60角的三角函数的运算式 2难点：30、45、60角的三角函数值的推导过程教学过程：一、复习旧知、引入新课引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即，你还能推导出的值与30、45、60角的其它三角函数值吗？二、探索新

16、知、分类应用活动一30、45、60角的三角函数值探索1.让学生画304560的直角三角形,分别求sia 30 cos45 tan60归纳结果304560siaAcosAtanA活动二巩固知识例求下列各式的值：1师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值（1）cos260+sin260（2）-tan45 教师以提问方式一步一步解上面两题学生回答，教师板书 2师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意： （1）如课本图281-9（1），在RtABC中，C=90，AB=，BC=，求A的度数 （2）如课本图281-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a教师分析解题方法：要求一个直

17、角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数活动三提高知识 1、tan45sin60-4sin30cos45+tan302、已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且A，B是直角三角形的两个锐角，求： （1）m的值；（2）A与B的度数三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：30、45、60角的三角函数值，并且进行计算；四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本80练习1、2（二）分层作业五、教学后记281 锐角三角函数（5）第五课时教学目标：知识与技能：1让学生熟识计算器一些功能键的使用 2会熟练运用计算

18、器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角过程与方法：自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值情感态度与价值观：让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣重难点、关键：1重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 2难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理教学过程：一、复习旧知、引入新课引入 通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。二

19、、探索新知、分类应用活动一用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin3724sin3723cos2128cos3812tan52； tan3620； tan7517；活动二熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.A；cosA0.8607，A；tanA0.1890，A=；tanA56.78，A。活动三知识提高1求下列各式的值：（1）sin4231 （2）cos331824 （3）tan55102根据所给条件求锐角（1）已知sin=0.4771，求（精确到1） （2）已知cos=0.845

20、1，求（精确到1）（3）已知tan=1.4106，求（精确到1）3等腰三角形ABC中，顶角ACB=108，腰AC=10m，求底边AB的长与等腰三角形的面积（边长精确到1cm）三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90的锐角用2ndfsin键，对于余弦与正切也有相类似的求法四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本81练习（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记282 教直角三角形（1）第一课时教学目标：知识与技能：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余与锐角三角函数解直角三角形2、通过综合运用勾股定理，直角

21、三角形的两个锐角互余与锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余与锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯重难点、关键：1重点：直角三角形的解法2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用教学过程：一、复习旧知、引入新课引入我们一起来解决关于比萨斜塔问题。见课本在RtABC中，C=90，BC=5.2m，AB=54.5m图282-1 sin=0.0954 所以A508二、探索新知、分类应

22、用活动一理解直角三角形的元素提问1在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的以知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。活动二直角三角形的边角关系直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系A+B=90 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用活动三解直角三角形例1：在ABC中，C为直角，A、B、C

23、所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演例2：在RtABC中，B =35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：1理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；2解决有关

24、问题；四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本87练习（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记282 教直角三角形（2）第二课时282 教直角三角形（2）第二课时教学目标：知识与技能：1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。过程与方法：1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余与锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力2、注意加强知识间的纵向联系情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯重

25、难点、关键：重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决难点：实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课复习引入1直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答2、在中RtABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。二、探索新知、分类应用活动一例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少

26、(精确到1o)这时人是否能够安全使用这个梯子 引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？几分钟后，让一个完成较好的同学示。活动二课本例3：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,O表示地球，点

27、F是飞船的位置，FQ是O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出。三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决 2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本89练习1（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记282 教直角三角形（3）第三课时教学目标：知识与技能：1、使学生了解什么是仰角和俯角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法3、巩固用三角函数有关知识解决问题，

28、学会解决观测问题过程与方法：锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力2、注意数形结合，注意体现数与形之间的联系情感态度与价值观：分析问题，提高分析问题的能力，体会成功的喜悦教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决观测问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课复习 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念二、探索新知、分类应用活动一课本例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120

29、 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?老师分析：1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。2、在中，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.活动二提高练习上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之，以便与时还击。三、总结消化、整理笔记小结：谈谈本节课你的收获是什么？四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本89练习2（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后

30、记282 教直角三角形（4）第四课时教学目标：知识与技能：1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题过程与方法：学会这样分析问题情感态度与价值观：体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决方位角问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课复习1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线二、探索新知、分类应用活动一例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，这时，当海轮到达