同角三角函数基本关系

1、1.2.2 同角同角三角函数三角函数的基本关系的基本关系一、问题导学一、问题导学函数是怎样定义的？单位圆中任意角的三角. 1_sin_cos_tan吗？关系对于任意角都成立之间有什么关系？这个和之间有什么关系？和终边与单位圆的交点，）是角（设cossin,. 3yxyxP成立吗？这个关系对于任意角都之间有什么关系？和tancos,sin. 2xyP(x,y)oA(1,0)角 的终边M同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:1cossin22商数关系商数关系:cossintan),2(Zkk同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切。二、探讨新知二、探讨新知基本

2、变形基本变形 思考思考1 1：对于平方关系：对于平方关系 可作哪些变形？可作哪些变形？ 22sincos122sin1cos, 22cos1 sin, 2(si ncos )12si ncos ,aaaa+=+2(si ncos )12si ncos ,aaaa-=-1cossi n,si n1cosaaaa+=-1si ncos.cos1si naaaa+=-思考思考2 2：对于商数关系对于商数关系 可作可作哪些变形？哪些变形？sintancossincostan,sincos.tan思考思考3 3：结合平方关系和商数关系，结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？可得到哪些新的恒等式？

3、221cos,1tanaa=+222tansi n.1tanaaa=+三、应用示例三、应用示例的值。是第二象限角，求，并且、已知例tan,cos31sin198311sin1cos1cossin22222得解：由0cos是第二象限角，又322cos4232231cossintan从而从而解解:因为因为 , 1sin, 0sin所以所以 是第三或第四象限角是第三或第四象限角.由由 得得1cossin22.2516531sin1cos222如果如果 是第三象限角是第三象限角,那么那么542516cos434553cossintan如果如果 是第四象限角是第四象限角,那么那么43tan,54cos的

4、值。求已知例tan,cos,53sin. 2三、应用示例三、应用示例例例3已知已知 ，求，求sin、tan的值的值. 178cos分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限角因此要对角因此要对所在象限分类讨论所在象限分类讨论. 解：当解：当是第二象限角时，是第二象限角时，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 当当是第三象限角时，是第三象限角时，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 练习练习12sin13cos ,tan,cot4cos5 sin,tan1（1）已知已知，并且并且是第二象

5、限角，求是第二象限角，求（2）已知，求cos05cos13 又是第二象限角，即有从而sin12tancos5 15cottan12 22sincos12222125cos1 sin1 ()()1313 解：（1）22sincos1222243sin1 cos1 ()( )55 （2）4cos05 又在第二或三象限角。sin03sin5sin3tancos4当在第二象限时，即有，从而 sin03sin5 sin3tancos4当在第四象限时，即有，从而n 已知， 求 的值。3tan4 sin,cos解：解：3tan04yx IIII或或（1）当）当 时时I 0,0 xy3sin5yr 不妨设不妨

6、设x=4，y=3225rxy4cos5xr （2）当）当 时时III 0,0 xy3sin5yr 不妨设不妨设x=-4，y=-3225rxy4cos5xr 分分类类讨讨论论变式训练变式训练：练习练习n P20 练习1n P20 练习2分类讨论分类讨论 1.1.已知已知 , ,2tancos,sin 求求 的值的值.三、应用示例三、应用示例cossincossin1, 2tan4）（求下面各式的值。、已知例 2cossintan1解：方法cos2sin3coscos3coscos2coscos2原式 cos0cos2原式分子分母同除以方法coscoscossincoscoscossin原式1ta

7、n1tan1212322cossincossin)2(22coscos4coscos2cos2sin:1代入原式将方法22cos3cos232222222coscoscossincoscossincos:2原式分子分母同除以方法1tantan21-22232，求下面各式的值。、已知例2tan422cossincossin)3(22coscos4coscos2cos2sin1代入原式将方法22cos5cos252222222coscoscossincoscossincos2原式分子分母同除以方法1tantan2122252，求下面各式的值。、已知例2tan452cossin) 4(，求下面各式的

8、值。、已知例2tan32222cos5sincos3sin2)3(3cossin2sin4cos)2(cos9sin7cos3sin5) 1 (.5tan. ，求下列各式的值已知：练习21) 1 (321)2(1320) 3(9tan73tan5)cossin( 3133122的替换22cossin11看作分母为的替换练习练习2sin3costan3sin4cos (1)已知求(1)已知求221tan3sincos (2)已知求(2)已知求22tan3sin3cos(3)已知求2(3)已知求222cossin1换为1注意：注意：“1”的灵活代换，特别是关于的灵活代换，特别是关于sina 、co

9、sa齐次式齐次式4 4、已知已知tantan=2=2，求下列各式的值，求下列各式的值. .（1 1） ；（；（2 2）1si ncosaa111si n1si naa+-+3cossin2cossin练习：1、已知tan=4，求值：。求已知tan, 5cos5sin3cos2sin. 2。）；（）求（，、已知22cos52sin412sin3cos5cos2sin5131tan1tan132116232572121）；（）（102251），（）（例例5 5 求证求证xxxxcossin1sin1cos恒等式证明常用方法恒等式证明常用方法? ?基本思路基本思路: :由繁到简由繁到简可以从左边往右

10、边证，可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。也可以证明等价式。cossin1sin1cosp19例例5求证：求证：证明：证明：cossin1sin1coscos)sin1 ()sin1 (cos220cos)sin1 (coscos22因此因此cossin1sin1cos作差法作差法同角关系式的应用同角关系式的应用 （3）证明恒等式）证明恒等式比较法比较法证法二：证法二：2sin1)sin1)(sin1 (因为因为2coscoscos因此因此cossin1sin1cos由原题知：由原题知：0cos, 0sin1恒等变形恒等变形的条件的条件分析法分析法证法

11、三：证法三： 由原题知：由原题知：0cos则则1sin原式左边原式左边=)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1)sin1 (cos2cos)sin1 (coscossin1=右边右边因此因此cossin1sin1cos恒等变形恒等变形的条件的条件练习练习. 求证：求证：(1)sin4cos4=2sin21；(2)cossin1sin1cos证明：（证明：（1）原式左边原式左边=(sin2+cos2)(sin2cos2) =sin2cos2 =sin2(1sin2) =2sin21=右边右边. 所以原等式成立所以原等式成立.(3)cos1sin1sincos证明：左边证明：左边

12、coscos(1 sin )cosxxxx=右边右边 原等式成立原等式成立.1 sincosxx21 sin(1 sin ) cosxxx2.求证求证1coscossinsin)2(22242244cossincossin) 1 (tancos) 1 (22sin211cos2)2(1.化简化简13sincos(0)2xxxsin ,cosxx例例6 已知，求解：由13sincos(0)2xxx等式两边平方：22213sincos2sincos()2xxxx13sincos23sin cos4xxxx 3sincos4xx （*），即1213,22zz sin ,cosxx2133024zz可

13、看作方程的两个根，解得0 xsin0 x cos0 x 又，又由（*）式知13sin,cos22xx 因此，构造方程组的方法构造方程组的方法例例3化简化简21 sin 4402cos 80cos80221 sin (360 80)1 sin 80解：原式解：原式例例4化简化简1 2sin40cos402(sin40cos40 )|cos40sin40 | cos40sin4022sin 40 cos 40 2sin40cos40解：原式同角关系式的应用同角关系式的应用 （2）化简）化简四、达标测试四、达标测试 2011cos2011sin122、的值为是第四象限角，则、已知tan,43sin2773、C47-、D47 、B773、A1、A2、B2011、C、不能确定DACcossin2sin1)2(cos5sin2cos2sin) 1 (, 4tan32求、已知1322417.sincos