力学-第一章(乙)质点运动学

1、2022-7-6第一章 质点运动学11.1 引言引言 1.2 参考系、时间与空间参考系、时间与空间1.3 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量1.4 运动学中的两类问题运动学中的两类问题1.5 自然坐标系中运动的描述自然坐标系中运动的描述1.6 平面极坐标系中运动的描述平面极坐标系中运动的描述目目 录录笫一章笫一章 质点运动学质点运动学2022-7-6第一章 质点运动学21.1 引言引言一一力学的研究对象力学的研究对象运动学：运动学：研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。（位移，速度，加速度，轨迹等的描述和计算）动力学：动力学：研究受力物体的运动变化与作用力之间的关系。（运动

2、微分方程的建立和求解）静力学：静力学： 研究物体在力系作用下的平衡规律，同时也研究力的一般性质和力系的简化方法等。（平衡方程的应用和受力分析）经典力学适用范围：弱引力场中宏观物体的低速运动。2022-7-6第一章 质点运动学31.1 引言引言二二时间、空间和牛顿力学的绝对量时间、空间和牛顿力学的绝对量子在川上曰：子在川上曰：“逝者如斯夫，不舍昼夜。逝者如斯夫，不舍昼夜。” 论语“上下四方曰宇，往古来今为宙上下四方曰宇，往古来今为宙” 战国.尸佼时间时间: 用以表述事物之间的顺序用以表述事物之间的顺序空间空间: 用以表述事件相互之间的位形用以表述事件相互之间的位形没有满意的“严格”的理论定义，并

3、不妨碍时间和空间二者在物理中的使用，因为，物理学是一门基于实验的科学物理学是一门基于实验的科学，在考查物理学的概念或物理量的时候，首先应当注意它与实验之间是否有明确的、不含糊的关系。对于时间和空间这两个基本概念来说，首要的问题似不是去追究它们的“纯粹”定义，而是应当了解它们是怎样量度怎样量度的。 2022-7-6第一章 质点运动学41.1 引言引言绝对时空观绝对时空观绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关， 始终保持着相似和不变。绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地 流逝而与任何外在的情况无关。 牛顿牛顿自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理时间和空间的测量与物体的存在和运动没有

4、任何关系时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系在牛顿力学中，时间间隔和空间间隔时间间隔和空间间隔（长度）被认为是绝绝对量对量，是独立于所研究对象（物体）和运动而存在的客观实在。时间的流逝与空间位置无关，空间为欧几里德几何空间。2022-7-6第一章 质点运动学51.1 引言引言1.1.时间的测量时间的测量 ：l 任何具有重复性的过程或现象，都可以作为测量时间的一种钟（例如，太阳的升没表示天；四季的循环称作年；月亮的盈亏是农历的月。其他的循环过程，如双星的旋转、人体的脉搏、吊灯的摆动、分子的振动等等，也都可以用作测时的工具）； l 1967年10月在第十三届国际度量衡会议上规定： 位于海

5、平面上的铯-133原子的基态的两个超精细能级在零磁场中跃迁辐射的周期T与1秒的关系为 1秒 = 9,192,631,770 T 这样的时间标准称为原子时 2022-7-6第一章 质点运动学61.1 引言引言l 用铯钟作为计时标准，误差若按一个周期计算，测量精度要比秒表作时计提高 倍，即误差下降到秒表的 之一 l 自从人类发明机械计时的时钟以来，400年来时间计量准确度的提高是惊人的，现代的原子钟的计时误差已小于 秒/天。目前，时间是测量得最准确的一个基本量 1010 101010102. 长度的单位和标准长度的单位和标准 1983年国际计量大会通过了“m”的新定义：“1m是光在真空中1/299

6、 792 458s的时间间隔内所经路径的长度” 。1 299792458 smc2022-7-6第一章 质点运动学7思考题：龟兔赛跑和芝诺佯谬思考题：龟兔赛跑和芝诺佯谬芝诺论证：兔子永远追不上乌龟v1 v2 v1v2 A1B1=LA1 B1 B2 B3要点：对时间的量度不同导致结论的不同解：普通时 t 和芝诺时 的对应关系1.1 引言引言nLLLLLLLtn 3 2 1 0 )vv(v1v , ,)vv(vv ,vvvv ,v 0, 112112121112111，：芝诺时芝诺时：普通时普通时 2022-7-6第一章 质点运动学81.1 引言引言)vv(1vv)vv(vv1v122111212

7、1nnLLt )vv(1vv1221 L1221vvlg)vv1lg(tL 或或普通时普通时 t = t = L L/( /(v v1 1- -v v2 2) )，芝诺时芝诺时 即当 时n 2022-7-6第一章 质点运动学9参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。 相对参考物，可以确定其它物体的位置。参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展， 构成三维平直空间参考系：参考空间+测量时间的时钟坐标系：在参考空间中任选一点作为原点， 可建立各种坐标系。 时间的零点也可任选一一质点和参考系质点和参考系1.2 质点和参考系 zxyO2022-7-6第一章 质点运动学101.2 质点和参考系 坐

8、标系: 固结在参考物上的一组有刻度的射线, 曲线 或角度. 坐标系为参考物的数学抽象. 参考物选定后, 坐标系还可任选.常用坐标系 直角坐标系（ x , y , z ） 球极坐标系（ r, ） 柱坐标系 （ , , z ） 自然坐标系（ ）ntee、2022-7-6第一章 质点运动学11 运动本身是绝对的, 而对运动的描述是相对的; 运动的相对性决定描述运动必须选择参考物; 参考物可任选, 不同的参考物物体的运动形式 （如轨迹、速度等）可以不同.参考物：描述物体运动而选作参考的物体或物体系.1.2 质点和参考系 太阳参考系（太阳 恒星参考系） 地心参考系（地球 恒星参考系） 地面参考系或实验室

9、参考系 质心参考系常用参考系2022-7-6第一章 质点运动学12由繁到简由繁到简将物体模型化为一个点将物体模型化为一个点质点质点由简到繁由简到繁质点质点质点系质点系质点质点突出物体具有质量和占有位置两个主要因素，忽略了形状、大小及内部运动等次要因素。2022-7-6第一章 质点运动学13kzj yi xr 参考系的选择是任意的，对于同一个质点的位置，用不同参考系来描写时，则具有不同的位置矢量。就这一点，我们可以说，位置是具有相对性的物理量。 1.2 质点和参考系 质点的位置矢量 （简称位矢）的大小为OP的长度，而方向从O指向P。用这个矢量就完全确定了质点P的位置 r其中 分别分别表示空间的三

10、个坐标方向（ 轴）上的单位矢量，称为坐标基矢 zyx , ,kji , ,2022-7-6第一章 质点运动学14质点在运动中所经过的各点在空间连成一条曲线，这条曲线我们称之为轨迹。 一般曲线方程可以表示成： 轨迹可以利用曲线方程来描写。譬如，曲线方程： 0222zRyx就描写了在平面上半径为R的圆周运动的轨迹。 0),(0),(21zyxfzyxf1.2 质点和参考系二二轨迹和运动方程轨迹和运动方程2022-7-6第一章 质点运动学15 我们不仅应该知道轨迹，而且还应知道质点经过轨迹上各点的时刻。运动是在时间、空间里的现象，关键是把时间描写和空间描写联系起来。直到牛顿之前不久，才特别强调了这一

11、点。 1.2 质点和参考系 在历史上很长一个时期内，人们只注重轨迹形状的研究，例如行星走圆形，落体走直线。 但质点运动是位置的变化，它涉及空间和时间两方面。轨迹形状只反映了运动的空间方面的性质，它对于研究运动还是不够的，因为轨迹还没有把质点运动的情况全部表述出来，特别是没有表述它的动态性质。百米赛跑时，所有运动员的轨迹都是直线，但他们各自的运动情况并不全同，否则就分不出名次了。2022-7-6第一章 质点运动学16我们知道，可以利用矢量方法来描写质点 M 的位置。质点的位置关于时间的函数称为运动方程运动方程或运动解运动解，知道了这个方程等于知道了此质点运动的一切情况。质点的运动方程可以表示成：

12、 )(trr 当然，也可以用坐标系中三个坐标分量来描述运动 )()()(tzztyytxx并有关系式 ktzjtyitxtr)()()()( 从运动方程中消去时间 t 即得到轨迹的方程 1.2 质点和参考系2022-7-6第一章 质点运动学17 同一物体，相对于不同的参考系，显示出不同的运动。风洞中的模型，相对于地面是静止的，相对于空气（风），模型却在以高速度飞行。车刀，相对于车床的床座，仅仅作直线运动；相对于工件，刀刃却在作螺旋运动。所以，研究运动，必须首先选定参考系，由于运动方程既包含质点的位矢，也包含时间，因而对于不同的坐标原点与时间原点的选取，运动方程的形式将有所不同。 在日常生活中，

13、我们习惯于认为地面是静止的，在讲到“静止”、“运动”的时候总是对地面而言的。可是，大家知道，地球以大约30公里/秒的速度绕太阳公转，根本不是静止的。宇宙间没有一个绝对静止的物体。静止和运动都是相对的，不存在“绝对静止”的参考系，只存在描述某个运动较为方便的参考系。 1.2 质点和参考系2022-7-6第一章 质点运动学18一一位置矢量（或位矢）位置矢量（或位矢） 从坐标原点指向空间点的有向线段, 用来确定某时刻质点位置的矢量。l 位矢定义位矢定义ktzjtyitxr)()()( l 直角坐标系中的数学表示直角坐标系中的数学表示 )(trr 222)()()()(tztytxtrr 大小：方向：

14、rx cosry cosrz coso tx ty( )z tP( t )( )r t zix yjk1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学19 质点在一段时间内位置的改变叫做它在这段时间内的位移。二二位移矢量位移矢量)()(trttrr l 位移定义位移定义位移是位矢的增量，是时间和时间间隔的函数。 y z P2 P1oSxr tt( )r t r t 注意：位移不同于位矢；位移也不同于路程。1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学202.2.直角坐标系中的数学表示直角坐标系中的数学表示 kzjyixr1111 kzjyixr2222 kzj y

15、i xkzzjyyixxr )()()(121212222)()()(zyxr 大小：rx cosry cosrz cos方向：1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学21三三速度矢量速度矢量tr v平均速度1.1.速度速度1.3 描述质点运动的物理量质点在 t1 = t 到 t2 = t +t 时间间隔内的平均速度平均速度 由图可知，在t1 到t2 时间间隔内质点的运动方向并非总是沿着1到2的方向的，而是先从1向4、3方向运动，然后从3向2方向运动，这些运动方向并不平行于 1到2的方向。2022-7-6第一章 质点运动学221.3 描述质点运动的物理量 所以平均速度所指

16、的方向，只是质点真实运动方向的平均。即，平均速度不但对于运动快慢运动快慢的描写是粗略的，而且对于运动的描写是粗略的，而且对于运动方向的描写也是粗略的方向的描写也是粗略的。但当t减小时，矢量相继从1，2变到1，3，变到1，4，在t0的极限情况下， r r的方向趋于轨迹曲线在点 1的切线方向，且位移与路程两者的大小近似相等。则：瞬时速度的方向，就是轨迹曲线在相应点的切线方向；瞬时速度的大小，就是t0时平均速率的大小。 2022-7-6第一章 质点运动学231.3 描述质点运动的物理量路程函数s(t)：质点从 t1 =0 到 t2 = t 时刻所走过的路程长度 质点从 t1 = t 到 t2 = t

17、 +t 时间间隔内所走过的路程)()(12tstss 由此可以定义平均速率：tstttststt 1212)()(v212022-7-6第一章 质点运动学241.3 描述质点运动的物理量位移与路程不同于位矢，它们与坐标原点的选取无关。 位移不反映初位置到终位置中间的细节，也不反映初位置或终位置本身，仅反映两者相对位置的改变。 由右图可以看出，位移r与路程s有如下的异同点： 路程s是由M到M的曲线的实际长度，是一个标量。而位移是由始点至终点的有向线段，是一个矢量。而且位移的大小通常也不等于路程。 2022-7-6第一章 质点运动学251.3 描述质点运动的物理量dtrdtrttrttrtt 00

18、lim )()(limv某一点的导数将该点的函数某一点的导数将该点的函数值与它相邻的函数值联系起值与它相邻的函数值联系起来来: : 求导求导 积分积分历史上，正是由于牛顿在处理这类历史上，正是由于牛顿在处理这类基本力学问题时需要一种适当的数基本力学问题时需要一种适当的数学工具，才促使他创建了微积分。学工具，才促使他创建了微积分。瞬时速度（简称速度）定义为： 速度的数值大小（绝对值）称为速率，由上式知： dttdststrtrttttt)(| | )(v| )(vlimlimlim000 2022-7-6第一章 质点运动学26kzj yi xkdtdzjdtdyidtdxdtrd v大小：222

19、vvvvvzyx 方向：v/vcosv/vcosv/vcoszyx 注意： 速度的相对性和瞬时性 速度的矢量性（叠加性和分解性） 速度方向沿轨迹切线kjiktzjtyitxtrzyxvvvv 2.2.直角坐标系中的数学表示直角坐标系中的数学表示1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学27四四加速度矢量加速度矢量瞬时加速度220)(vvlimvv,0dtrddtrddtddtdtadtt 时时当当1、平均加速度ta v与与 方向相同方向相同v y z P2 P1 0 xv tt v t v t v tv tt1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学28

20、2.2.直角坐标系中的数学表示直角坐标系中的数学表示 注意： 加速度的相对性和瞬时性 加速度的矢量性（叠加性和分解性） 加速度的方向为速度变化的方向 大小dtddtdaavv 222zyxaaaa aaaaaazyx cos,cos,cos 方向kajaiakdtzdjdtydidtxdkdtdjdtdidtdazyxzyx vvv2222221.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学29v 质点做变速运动中各个时刻的速度、加速度不一定相同，它具有瞬时性 v 速度、加速度是矢量，它具有矢量性v 从运动学本身来考虑，没有足够的理由说明，为什么我们应当到此为止，而不去讨论加加速

21、度、加加加速度。其中的原因在动力学，学过动力学后，我们将看到，对力学的讨论几乎全部是基于位置矢量、速度和加速度这三个量。 v 选取不同的参考系，质点的速度和加速度是不同的，它具有相对性小结：小结：1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学30运动方程: 质点位置坐标和时间的函数关系.五五运动方程运动方程ktzjtyitxtrr)()()()( 运动方程中包含了质点运动的全部信息。轨迹: 质点在运动中所经过的各点在空间中连成的一条曲线 zP( t )ix yojk( )r t或轨迹方程: 运动方程消去时间t 得到的位置坐标间的函数关系 )()()(tzztyytxx1.3 描

22、述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学31匀速直线运动方程变速直线运动方程讨论几种特殊的运动对应的运动方程： 上两种情况运动都是一维的上两种情况运动都是一维的, 可以用标量表示质点的运动可以用标量表示质点的运动.匀加速运动（加速度为常矢量）tadtrd 0vvdtdav tx0v dtdx v tdtxx00v tdtaddtad0vv0v v1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学32v 实际有些自由落体受空气阻力很大, 如雨点, 最终运动是匀速运动，此时速率称收尾速率（10m/s）20021vattxx 特例: 匀加速直线运动, 如自由落体 为常矢量，和

23、 在一条直线上，由以上两式可得a0v trrttdtatdrd0000v20021vtatrr tdtadtrdtadtrd 00v vv)(2vv0202xxa 1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学33 抛体运动典型的匀加速运动，ga 原理：运动的独立性和叠加性（实验证明）运动平面在),v(0g内 sinvvcosvv00000000 yxyxgaayx已知： yxv0o由速度、加速度的分量表达式可以看到，描写一个质点的复杂的曲线运动时，其方向1的坐标、速度和加速度与其它方向的坐标、速度和加速度无关；对方向2和方向3也有这种性质，即三个方向相互无关。这种性质称为运动

24、的独立性。1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学3420021vtatrr 20021sinvcosvgttytx 位置 gtyx sinvv,cosvv00ta 0vv速度 202cosv2tangxxy 轨迹方程1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学35j tRi tRj yi xr sincos 位矢Ryxr 22位矢大小位矢与x轴的夹角为ttttxy tancossintan222Ryx 轨道方程为解：例1.1：一质点在xoy平面内运动，其运动函数为x=Rcost 和y=Rsint，其中R和为正值常量。求质点的运动轨道以及任一时刻它的位矢

25、、速度和加速度。 xyR o(x, y)1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学36j tRi tRdtrd cossinv 速度速度分量式tRtRyx cosv,sinv 速率 Ryx 22vvvxyv(t) o r速度与x轴的夹角为22 ttctgttxy sincosvvtan1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学37思考：加速度中负号的含义?加速度j tRi tRdtda sincosv22 加速度分量式tRatRayx sin,cos22 加速度大小222 Raaayx rj tRi tRa22)sincos( 1.3 描述质点运动的物理

26、量2022-7-6第一章 质点运动学38例1.2: 离水平面高为h 的岸边，有人用绳以恒定速率v0拉船靠岸。试求: 船靠岸的速度和加速度随船至岸边距离变化的关系式？对时间求导得到速度和加速度：idtdxdtrd vidtxddtda22v (1)(2)由题意知：dtdr 0v(3)jhi xj yi xr 解： 在如图所示的坐标系中，船的位矢为：yxohv0r1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学39由几何关系：222hxr 对时间t 求导：dtdxxdtdrr22 dtdrxrdtdx (4)代入(3) 式得:xhxhrrx220220vvv yxohv0r1.3 描

27、述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学40故得故得:ixhdtxdaixhdtxd32202220v1vv 分析船的运动特点： 虽然收绳速率是均匀的, 但船的前进方向并不是绳子的方向, 故其运动是变速的, 加速度也是变化的，且船速大于收绳的速度（？）。根据加速度定义32202222022vvxhdtdxhxxhdtxda 1.3 描述质点运动的物理量2022-7-6第一章 质点运动学41一一运动学中的两类问题运动学中的两类问题第一类：对时间求导第二类：对时间积分)(),(v)(trtta积分积分atr, v)(求导求导二二两类问题的处理两类问题的处理第二类：速度、加速度 运动方程

28、（局部 整体）。1.4 运动学的两类问题)(taa 已知1.求速度v tdtad0vv0vdtdav dtad v tdta00vv第一类：运动方程 速度和加速度（整体 局部）；2022-7-6第一章 质点运动学42dxddtdxdxddtdxavvvv)( 两端积分得： dxxa)(2vv2122已知)(xaa dtaddtda )v(vv)v(已知)v(aa 对方程两端积分求解vv)( ddxxa 1.4 运动学的两类问题2.求位矢r已知 ，如何求x(t).)(vvt 2022-7-6第一章 质点运动学43曲线运动中两类问题的处理方法:v用运动的叠加原理将运动沿坐标轴分解；v用直线运动规律

29、对各分量运算；v结果叠加。 trrdtrd0v0两边积分 todtrrv0已知 ，如何求x(t).)(vvt dtrddtrdvv 由1.4 运动学的两类问题2022-7-6第一章 质点运动学44例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：r, vjtitr223123 位置矢量为：20200200031v233vtdttdtyyttdtdtxxttyttx 根据积分公式，得解：tdtdtattxxx33vv000 得jti t23v 20002vvttdtdtattyyy a 是t 的函数，由公式得即该质点的运动方程即该质点的运动方程1.4 运动学的两类问题0v, 0,2300 r

30、j tia例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tiar, v例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia求：r, v例1.3: 已知0v, 0,2300 rj tia2022-7-6第一章 质点运动学45一一自然坐标系表示法自然坐标系表示法 这种顺着已知的质点运动轨迹建立起来的坐标系称为自然坐标系自然坐标系（内禀坐标系、本性坐标系或路径坐标系）。 运动方程)(tss 在自然坐标系中，质点运动的速度只有切向分速度只有切向分量量，没有法向分量。 在已知的质点运动轨迹上，选定任意一点O为原点，用轨迹的长度 s 来描写质点的坐标。为描

31、写质点的运动，规定两个依赖于质点位置的单位矢量：sPOn 问题：加速度是如何影响速度的？n和和 不不是是常常矢矢量量: 切向单位矢量, 指向自然坐标增大方向: 法向单位矢量, 指向轨道凹侧 n1.5 自然坐标系中运动的描述速度 vvvvv nn2022-7-6第一章 质点运动学46二二切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度如图，质点沿曲线从 P点运动Q点s( )v t n PQv ()v tt 12vv OQ2Q1Q3ttttt )(v)(vvtttttt )(v)( )(v)( )(v)(v)( )( )(v1tttttttttt tt 21vv（如图，（如图， ）232121v ,v

32、 QQQQ1.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学47s( )v t n PQv ()v tt 12vv OQ2Q1Q3( ) t()tt ( ) t 切向加速度切向加速度:质点速度大质点速度大 小变化快慢小变化快慢法向加速度法向加速度:质点速度方质点速度方 向变化快慢向变化快慢tttttttt )( )( lim)(vvlim010 ntttlim)(v0 ntstt1lim)(v0 nt)(v2 )( lim)(v)(vlimvlim0020tttttttttt )( )(vtdttd naandtddtdanvvv2 当时，当时，Q 接近接近 P 点点0 t1.5

33、 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学48对一段曲线 PQ ，如图，其曲率为：故sOn PQ方法二：矢量微商法dsdsks 0lim1当时，当时，0 t的方向一致；的方向一致；方向与方向与：n 大小大小 dsndnd dtddtddtddtda vv) v(v ndtdsdtd1vv naandtdnvv2 1.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学49三三圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述1. 角位置角位置 和角位移和角位移 2. 运动方程运动方程)(t 用自然坐标系描述质点运动的优点： 速度只有切向分量, 没有法向分量; 曲线“ 直线化”.oRP

34、1P2xy 3.3.角速度和角加速度角速度和角加速度dtdtt 0lim220limdtddtdtt rad rad.s-1 rad.s-21.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学50例.对于匀速圆周运动的运动学公式: 221202200ttttt因此用角量可以完全描述质点的圆周运动4.4.线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系圆周运动只有两个转动方向，逆时针转动为正；反之，为负方向。 2 ,v RaRaRn1.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学515.5.圆周运动的矢量描述法圆周运动的矢量描述法 角速度矢量 的大小为 ，方向按右手系指向平行

35、于转轴的方向. dtd/ 如图所示，当坐标原点选在转轴上时，有rdtrd vdtrdrdtddtda v)()(vrrdtdardtrd )(r r r OP1.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学52无限小角位移矢量无限小角位移矢量kdd 初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则无限小角位移与有限角位移的区别？dk)(tr)(ttr1.5 自然坐标系中运动的描述有限角位移不是矢量不满足矢量加法的交换律2022-7-6第一章 质点运动学53角速度kdtd角加速度kdtkdkdtddtddk)(v t角速度和角加速度都沿转轴的方向无限小角位移是矢量无限小角位移是矢量1.5

36、 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学54vv RdtRdRdtddtda转动引起的无限小位移RdRd加速度速度RRdtddtRd vd)(v tRRdkRaa 切切心心 , v1.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学55小结小结:自然坐标系自然坐标系自然坐标系的两个正交基矢aaan加速度在自然坐标系中的分解dtdadtdldlddtdanvvvv2 沿速度方向切向单位矢量n指向曲率圆的圆心法向单位矢量vn1.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学561.5 自然坐标系中运动的描述计算曲率半径的运动学方法计算曲率半径的运动学方法

37、（1）假设一种沿曲线的简单运动（2）计算各点的速度（3）计算各点的加速度（4）计算与速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）计算曲率半径心心a2v 2022-7-6第一章 质点运动学57例1.4 铅球以10m/s的速度向斜上方抛出, 上升3.2m高度后开始下降. 设空气阻力忽略不计, 则铅球上升至最大高度时的曲率半径?ghyy2v0v202 解: 在最高点Am8 . 32v20 ggh 2v na而在最高点A xnga0vvOAanv0h得 ghghxy2vv2v200201.5 自然坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学58质点的运动方程质点的轨道方程r r 一一平面极坐标

38、系平面极坐标系 在所研究的平面内，取固定于参考物的一点O为原点（极点），从它出发引出一条有刻度的射线为极轴，即建立起平面极坐标系. 用 两个坐标表示质点的位置。其单位矢量分别记 。 、r , rOxr MNr 需要注意的是， 并不是常矢量，它们的位置随质点所在位置的不同而不同。 、r0),( rf)( )(ttrr 1.6 平面极坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学59二二位矢、速度、加速度的极坐标表示位矢、速度、加速度的极坐标表示位矢：速度： 如图，在 时间间隔内质点的位移可表示为t trtrtrttt 10200limlimlimvOxr r r 1r 2r Q A Pr rr 2112rrrrr )(trOPOA 1.6 平面极坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运动学60加速度： 直接利用矢量求导法得径向速度径向速度横向速度横向速度当 时0 t 12rdrrdrr vvv rrr rdtdrrdtdrr)(v rr rdtddtda dtdrrrdtrdrr r 1.6 平面极坐标系中运动的描述2022-7-6第一章 质点运