数学建模常用综方法合评价

1、主讲人：张先君主讲人：张先君手机：手机Q：2899945082LOGO配色方案修改：配色方案修改： 配色方案在【格式】-【幻灯片设计】-【配色方案】-【编辑配色方案】下调整。LOGO的添加：的添加： Logo添加修改在【视图】-【母版】-【幻灯片母版】下调整。直接选择logo图片删除或修改。字体格式的设置：字体格式的设置： 标题和文本格式的设置在【视图】-【母版】-【幻灯片母版】下调整。默认设置：默认设置： 首页主标题40号（中文微软雅黑英文Arial）加粗；副标题24号（中文微软雅黑英文Arial）加粗 内页标题36号（中文微软雅黑英文Arial）加粗；内页内容文字

2、32号（微软雅黑）2一、综合评价的基本概念二、综合评价的一般步骤三、综合评价的局限性一、综合评价的基本概念一、综合评价的基本概念 评价（evaluation）：所谓评价，即价值的确定，是通过对照某些标准来判断测量结果，并赋予这种结果以一定的意义和价值的过程。 综合评价（syntheticalevaluation）：对一个复杂系统用多个指标进行总体评价的方法。一、综合评价的基本概念一、综合评价的基本概念 综合评价方法：又称为多变量综合评价方法、多指标综合评估技术。综合评价是对一个复杂系统的多个指标信息，应用定量方法（包括数理统计方法），对数据进行加工和提炼，以求得其优劣等级的一种评价方法。一、综

3、合评价的基本概念一、综合评价的基本概念综合评价一般表现为以下几类问题： 分类对所研究对象的全部个体进行分类； 比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）； 考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出整体评价）。二、综合评价的一般步骤二、综合评价的一般步骤 1确定综合评价的目的 2确定评价指标和评价指标体系 3确定各个评价指标的权重 4. 求单个指标的评价值5. 求综合评价值 对某事件进行多因素综合评价的过程，实质上就是对某事件进行多因素综合评价的过程，实质上就是科学研科学研究与决策究与决策的过程，原则上应包括的过程，原则上应包括设计、收集资料和分析资设计、收集资

4、料和分析资料料几个基本阶段，实施中应着重注意以下几个几个基本阶段，实施中应着重注意以下几个基本环节基本环节。选择恰当的评价指标(evaluation indicator)确定各评价指标权重合理确定各单个指标的评价等级(evaluation grade)及其界限建立综合评价模型(synthetical evaluation model)确定多指标综合评价的等级数量界限，并根据实践对已建立模 型考察、修改及完善。研究目的二、综合评价的一般步骤二、综合评价的一般步骤 1.指标的选取指标的选取筛选评价指标主要依据专业知识，即根据有关的专业理论和实践，来分析各评价指标对结果的影响，挑选那些代表性、确定性

5、好，有一定区别能力又相互独立的指标组成评价指标体系。系统分析法（System review）和文献资 料分析优选法是常用的评价指标筛选法。 1.1评价指标的基本要求评价指标的基本要求基本要求 代表性：各层次指标能最好地表达所代表的层次。 确定性：指指标值确定，其高低在评价中有确切含义。 区别能力/ 灵敏性：即指标值有一定的波动范围，而且其高低在评价中有确切的含义。 独立性：即选入的指标各有所用，相互不能替代。 选择综合评价指标1.2 系统分析法及文献资料系统分析法及文献资料分析优选法筛选指标分析优选法筛选指标缺乏有关历史资料，或指标难以数量化时 系统分析法(systematic analysi

6、s method)：是一种常用的凭经验挑选指标的方法，首先将所有备选指标按系统（或属性、类别）划分，再通过座谈或填调查表的方法获得对各指标的专家评分，确定主次，再从各系统内挑选主要的指标作为评价指标。 文献资料分析优选法：即全面查阅有关评价指标设置的文献资料，分析各指标的优缺点并加以取舍。 1.3 常用客观筛选指标方法常用客观筛选指标方法 逐个指标进行假设检验的方法逐个指标进行假设检验的方法：是在掌握有关历史资料基础上，依照可能的评价结果将评价对象分组，并对各指标进行假设检验，挑选有统计意义的指标有统计意义的指标作为评价指标。 多元回归与逐步回归法多元回归与逐步回归法：多元回归分析挑选标准化偏

7、回归系数绝对值较大或偏回归系数假设检验有显著性的指标作为评价指标；逐步回归有自动挑选主要影响指标的功能，是目前最常用的指标挑选方法最常用的指标挑选方法。 指标聚类法指标聚类法：在存在众多指标的情况下，可将相似指标聚成类，再从每类中找一个典型指标作为代表，从而用少量几个典型指标少量几个典型指标作为评价指标来代表原来众多的指标建立评价模型。1.4 指标筛选建议指标筛选建议在实际工作中，往往综合使用在实际工作中，往往综合使用多种方法多种方法进行进行指标筛选，在获得较为指标筛选，在获得较为满意的专业满意的专业解释解释的基础上，优先考虑那些被的基础上，优先考虑那些被多种方多种方法同时选入法同时选入的指标

8、。的指标。 2.2.指标的权重估计指标的权重估计 确定指标权重方法主观定权法客观定权法专家评分法成对比较法Saaty权重法秩和比法相关系数法其它方法模糊定权法熵权法 定权带有一定的主观性，用不同方法确定的权重分配，可能不尽一致，这将导致权重分配的不确定性，最终可能导致评价结果的不确定性。因而在实际工作中，不论用哪种方法确定权重分配，都应当依赖于较为合理的专业解释。 三、综合评价的局限性三、综合评价的局限性 综合评价方法很多，各种方法得出的结果不可综合评价方法很多，各种方法得出的结果不可能完全相同，并且都带有一定的相对性和局限性。能完全相同，并且都带有一定的相对性和局限性。 （1）将若干个指标数

9、值综合成一个数值，损失了）将若干个指标数值综合成一个数值，损失了原有指标带来的大量信息，结果较抽象，难释原有指标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；其经济意义；（2）主观性很强，选择什么指标、选择多少指标，）主观性很强，选择什么指标、选择多少指标，权数的分配都很主观；权数的分配都很主观；（3）评价的结果不具有惟一性。选择不同的方法，）评价的结果不具有惟一性。选择不同的方法，可能有不同的结果，即使采用同样的方法，由可能有不同的结果，即使采用同样的方法，由于各指标的赋值不同、权重不同等，也有可能于各指标的赋值不同、权重不同等，也有可能使评价结果不同。使评价结果不同。一、计分法二、综合指数法

10、二、Topsis法三、秩和比(RSR)法四、层次分析(AHP)法五、模糊评价方法六、多元统计分析方法七、灰色系统评价方法一、计分法一、计分法 1. 综合计分法 根据评价目的及评价对象的特征选定必要的评价指标 逐个指标定出评价等级，每个等级的标准用分值表示 以恰当的方式确定各评价指标的权数 选定累计总分的方案以及综合评价等级的总分值范围，以此为准则，对评价对象进行分析和评价，以决定优劣取舍 特点：简便易行，过于粗糙。一、计分法一、计分法2. 排队计分法将评价单位的各项评价指标依优劣秩序排队，再将名次（位置）转化为单项评价值，最后由单项评价值计算各单位的综合评价值（总分）。100110011100

11、)( nKnnKKfff k ww( )排队计分法的优缺点排队计分法的优缺点 优点： 简便易行，简便易行， 勿须另寻比较标准；勿须另寻比较标准； 各单项评价值有统一的值域；各单项评价值有统一的值域； 适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据）适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据） 缺点： 原始数据信息的损失较大。原始数据信息的损失较大。二、综合指数法二、综合指数法 一个或一组变量对某特定变量值大小的相一个或一组变量对某特定变量值大小的相对数称指数，反映某一事物或现象动态变对数称指数，反映某一事物或现象动态变化的指数称个体指数，综合反映多种事物化的指数称个体指数，综合反映多种事物或现象动态平均变

12、化程度的指数称总指数，或现象动态平均变化程度的指数称总指数，综合指数编制总指数的基本计算形式，定综合指数编制总指数的基本计算形式，定量地对某现象进行综合评价的方法称综合量地对某现象进行综合评价的方法称综合指数法指数法个体指数的计算：个体指数的计算：高优指标的个体指数高优指标的个体指数p，为实测值，为实测值X与标准值与标准值M的商的商pX/M 低优指标的个体指数低优指标的个体指数 pM/X综合指数综合指数I较为复杂，没有统一的表达形式，常见的较为复杂，没有统一的表达形式，常见的有加权求和，算术平均，乘积法等有加权求和，算术平均，乘积法等二、综合指数法 Ki为单项评价指数： 综合评价指数公式为：%

13、100 iiiwwkK值）对比标准值（常用平均实际值 ik 评价指数可以为正指标，也可以为逆指标。但必须同向化。一般是把逆指标转化为正指标采用倒数法，此时，综合评价指数才是越大越好。二、综合指数法（举例：加权指数法）二、综合指数法（举例：加权指数法）试比较三个地区的综合经济效益。试比较三个地区的综合经济效益。二、综合指数法二、综合指数法三个地区的综合经济效益指数分别为：三个地区的综合经济效益指数分别为：WWXX01数甲地区综合经济效益指WWXX01数乙地区综合经济效益指WWXX01数丙地区综合经济效益指=110.31% =116.67%=99.11%二、综合指数法二、综合指数法三、三、Tops

14、is法法 TOPSIS（Technique for order preference by similarity to ideal solution）法，即逼近理想解排序法，意为与理想方案相似性的顺序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。 它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。1. 设有设有n个评价对象、个评价对象、m个评价指标，原始数据可写个评价指标，原始数据可写为矩阵为矩阵X(Xij)nm 2.

15、对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换 niijijijXXZ12niijijijXXZ12)/1 (/1三、Topsis法3. 归一化得到矩阵归一化得到矩阵Z(Zij)nm，其各列最大、最小，其各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别记为值构成的最优、最劣向量分别记为Z(Zmax1 Zmax2 Zmaxm) Z(Zmin1 Zmin2 Zminm) 4. 第第i个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为21max)(mjijjiZZD21min)(mjijjiZZD5. 第第i个评价对象与最优方案的接近程度个评价

16、对象与最优方案的接近程度Ci为为 )(iiiiDDDC三、Topsis法例例 某儿童医院某儿童医院19941998年年7项指标的实际值，用项指标的实际值，用Topsis法比较该医院这法比较该医院这5年的医疗质量年的医疗质量 三、Topsis法1408. 03 .905 .848 .813 .867 .767 .762222212Z变换后，得到矩阵变换后，得到矩阵 3118. 04482. 04776. 08178. 04634. 04805. 04833. 03871. 04473. 04511. 03408. 04634. 04496. 04142. 03508. 04455. 04556.

17、 03298. 04380. 04353. 04324. 05612. 04487. 04556. 02556. 04321. 04592. 04781. 05612. 04464. 03916. 02024. 04380. 04081. 04234. 0Z平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余为高优指标，同向化、归一化变换为高优指标，同向化、归一化变换 三、Topsis法计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为 Z(0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0

18、.4487 0.5612)Z(0.4142 0.4081 0.4321 0.2024 0.3916 0.4455 0.3118)三、三、Topsis法法计算各年与最优、最劣向量的距离（以计算各年与最优、最劣向量的距离（以94年为例）年为例）6289. 0)5612. 05612. 0()4234. 04833. 0(221D2497. 0)5612. 03118. 0()4234. 04142. 0(221DC10.2497/(0.62890.2497)0.2842计算接近程度（以94年为例）可以看出，可以看出，1998 年综合效益最好，其次为年综合效益最好，其次为 1995年，年，随后为随后

19、为 1994年、年、1997年，年，1996 年最差年最差 三、Topsis法四、秩和比四、秩和比(RSR)法法是利用秩和比RSR（Rank-sum ratio）进行统计分析的一组方法。RSR是一个内涵较为丰富的综合性指标，具有01连续变量的特征，它以非参数分析方法为基础，通过指标数（列）、分组数（行）作秩的转换，再运用参数分析的概念和方法研究RSR的分布，解决多指标综合评价问题。设有设有m个指标，对个指标，对n组数据进行评价，形成组数据进行评价，形成n行行m列的数据阵，则各行，列的数据阵，则各行，其中为分别按列编秩后各行的秩次。最小其中为分别按列编秩后各行的秩次。最小RSR=1/n，最大，最

20、大RSR=1。)(1nmRRSRmjiji四、秩和比(RSR)法 分别对要评价的各项指标进行编秩 计算各指标的秩和比（RSR） 确定RSR的分布 求回归方程 排序分档四、秩和比四、秩和比(RSR)法法采用秩和比法对某病区护士的4项考核指标进行综合评价 业务考试成绩（X1） 操作考核结果（X2） 科内测评（X3） 工作量考核（X4）四、秩和比四、秩和比(RSR)法法 第一步，分别对要评价的各项指标进行编秩四、秩和比四、秩和比(RSR)法法 第二步，计算各指标的秩和比（RSR）)(1nmRRSRmjiji其中：m为指标个数，n为分组数，Ri为各指标的秩次，RSR值即为多指标的平均秩次，其值越大越优

21、四、秩和比四、秩和比(RSR)法法四、秩和比四、秩和比(RSR)法法四、秩和比四、秩和比(RSR)法法第三步，确定RSR的分布RSR频数f累积频数 秩号范围 平均秩次 累积频率Y（概率单位）。nRfRR四、秩和比四、秩和比(RSR)法法RSR值正态性检验：Z=0.4772，双侧检验P=0.9767，说明RSR值呈正态分布 第四步，求回归方程：RSR=A+BY 经相关和回归分析，应变量RSR 与自变量概率单位Y之间具有线性相关（r=0.9528） 线性回归方程为：RSR=0.1877Y-0.4232 F=59.078，P=0.0002 说明所求线性回归方程有统计学意义四、秩和比四、秩和比(RSR

22、)法法 第五步，根据RSR值排序分档 最佳分类归档的涵义是各档方差一致，相差具有显著性。最佳分档准则为每档至少2例，尽量多分几组。最佳分档步骤，首先进行方差一致性检验，在方差一致的前提下，再作统计检验，方差分析结果判断各类间是否具有统计学差异，然后利用多重比较检验各类间差异是否显著。如果各类间的方差不一致或各类间的差异未达显著，则需考虑重新分档。 四、秩和比四、秩和比(RSR)法法将各护士护理考核指标合理分档，分差、良、优三档。四、秩和比四、秩和比(RSR)法法 经方差齐性检验X2=2.3006，P0.05，说明各档方差一致 方差分析显示：F=22.9722,P=0.0030，说明各档间有显著

23、差异 两两比较，P0.05, 说明各档彼此之间均有差异，达到了最佳分档。四、秩和比四、秩和比(RSR)法法常用分档数及对应概率单位常用分档数及对应概率单位 层次分析法层次分析法(Analytic Hierarchy Process,(Analytic Hierarchy Process,简称简称AHP)AHP)：由美国科学家：由美国科学家T.L.SaatyT.L.Saaty于于2020世纪世纪7070年代提出年代提出一一种以定性与定量相结合的、系统化、层次化分析问题的种以定性与定量相结合的、系统化、层次化分析问题的方法。它方法。它是用是用系统分析的方法系统分析的方法，对评价对象依评价目的，对评

24、价对象依评价目的所确定的总评价目标进行所确定的总评价目标进行连续性分解连续性分解, ,得到各级（各层）得到各级（各层）评价目标，并以评价目标，并以最下层指标最下层指标作为衡量目标达到程度的评作为衡量目标达到程度的评价指标。然后依据这些指标计算出价指标。然后依据这些指标计算出一综合评分指数一综合评分指数对评对评价对象的总评价目标进行评价，依其大小来确定评价对价对象的总评价目标进行评价，依其大小来确定评价对象的优劣等级。象的优劣等级。 它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的一种它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的一种行之有效的方法，使人们的思维过程层次化，通过逐层行之有效的方法，使人们的思维

25、过程层次化，通过逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据。而为分析决策提供了较具说服力的定量依据。五、层次分析法 层次分析过程可分为四个基本步骤：层次分析过程可分为四个基本步骤： （1）建立层次结构模型；）建立层次结构模型； （2）构造出各层次中的所有判断矩阵；）构造出各层次中的所有判断矩阵； （3）层次单排序及一致性检验；）层次单排序及一致性检验； （4）层次总排序及一致性检验。）层次总排序及一致性检验。五、层次分析法五、层次分析法1. 1. 建立层次结构模型建立层次结构模型 将决策的目标、考虑

26、的因素（决策准则）和决策将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。和最低层，绘出层次结构图。 最高层最高层：决策的目的、要解决的问题。：决策的目的、要解决的问题。 最低层最低层：决策时的备选方案。：决策时的备选方案。 中间层中间层：考虑的因素、决策的准则。：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为对于相邻的两层，称高层为目标层目标层，低层为，低层为因因素层素层。 下面举例说明。下面举例说明。 例例1 1 大学毕业生就业选择问题大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，

27、在获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择双向选择”时，时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：如： 能发挥自己才干作出较好能发挥自己才干作出较好贡献贡献（即工作岗位适（即工作岗位适合发挥自己的专长）；合发挥自己的专长）； 工作工作收入收入较好（待遇好）；较好（待遇好）； 生活环境生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；好（大城市、气候等工作条件等）； 单位单位名声名声好（声誉等）；好（声誉等）； 工作环境工作环境好（人际关系和谐等）好（人际关系和谐等）

28、 发展发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。晋升机会多（如新单位或前景好）等。工作选择工作选择可供选择的单位可供选择的单位P P1 1 P P2 2 ， P Pn n 贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉工工作作环环境境生生活活环环境境目标层目标层准则层准则层方案层方案层目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例2. 2. 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. .2 构造判断矩阵构造判

29、断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，例如图层次结构反映了因素之间的关系，例如图中目标层利润利用是否合理可由准则层中的中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重标衡量中所占的比重(权值）并不一定相同，权值）并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。怎样来确定合理的权值？怎样来确定合理的权值？五、层次分析法五、层次分析法 Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子立成对比较矩阵的

30、办法。即每次取两个因子xi和和xj，以以aij表示表示xi和和xj对对Z的影响大小之比，全部比较结果的影响大小之比，全部比较结果用矩阵用矩阵A=(aij)n n表示，称表示，称A为为ZX之间的成对比较之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和和xj对对Z的影响之比为的影响之比为aij，则，则xj和和xi对对Z的影响之比应为的影响之比应为 1jiijaa五、层次分析法五、层次分析法判断矩阵元素判断矩阵元素a aijij的标度方法的标度方法标度标度含义含义1 1表示两个因素相比，具有同样重要性表示两个因素相比，具有同样重要性3 3表示两个因素相

31、比，一个因素比另一个因素稍微重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5 5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2 2，4 4，6 6，8 8上述两相邻判断的中值上述两相邻判断的中值倒数倒数因素因素i i与与j j比较的判断比较的判断a aijij，则因素，则因素j j与与i i比较的判断比较的判断a ajiji=1/a=1/aijij1

32、135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1, 0,)( 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)准则层准则层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就发现上述成对比较矩阵有问题 71242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情

33、况21212 (:)aC C):(43113CCa ):(83223CCa 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,) 1(21jiijwwa/令可作为一个排序向量成对比较nkjiaaaikjkij, 2 , 1,满足满足的正互反阵的正互反阵A A称称一致阵。一致阵。 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n 非零特征根非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量所对应的特征向量归一化后可作为

34、权向量对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对比较阵的成对比较阵A， SaatySaaty等等人建议用对应于最大特征根人建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ，即即一致阵性一致阵性质质Awnw但允许范围是多大？但允许范围是多大？如何界定？如何界定？wAw3. 3. 层次单排序及其一致性检验层次单排序及其一致性检验 对应于判断矩阵最大特征根对应于判断矩阵最大特征根maxmax的特征向量，经的特征向量，经归一化归一化( (使向量中各元素之和等于使向量中各元素之和等于1)1)后记为后记为W W。 W W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素

35、的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对一致性检验是指对A A确定不一致的允许范围。确定不一致的允许范围。 定理：定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n定理：定理：n 阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 n, 当且仅当当且仅当 =n时时A为一致阵为一致阵由于由于 连续的依赖于连续的依赖于aij ，则，则 比比n 大的越多，大的越多，A 的不的不一致性越严重。用

36、最大特征值对应的特征向量作为一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 -n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A 的不一致程度。的不一致程度。1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CICI=0=0，有完全的一致性，有完全的一致性CI接近于接近于0，有满意的一致性，有满意的一致性CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI000.580.9021.411.451.491.51 n1234567

37、891110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI。方法为。方法为Saaty的结果如下的结果如下随机一致性指标随机一致性指标 RIRI50021,AAA50021,CICICI15005005002150021nnCICICIRI则可得一致性指标则可得一致性指标 随机构造随机构造500500个成对比较矩阵个成对比较矩阵1 .0RICICRA一致性检验：利用一致性指标和一致性比率一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.10.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。进行检验的过程。 一般，当一致性比率一般，当一致性比率 的

38、不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A A，对，对 aij 加以调整。加以调整。时，认为时，认为A定义一致性比率定义一致性比率 ：RICICR “选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 =5.0

39、73权向量权向量(特征向量特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算的复杂和不必要精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下

40、的平均。反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法和法取列向量的算术平均取列向量的算术平均14/ 16/ 1412/ 1621A例091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0w089. 0324. 0587. 01.7690.9740.268Aw009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31列向量列向量归一化归一化求求行行和和归归一一化化wAw精确结果精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.0104. 4. 层次总排序及其一致性检验层次总排序及其一致性

41、检验 计算某一层次所有因素对于最高层计算某一层次所有因素对于最高层( (总目标总目标) )相对相对重要性的权值，称为层次总排序。重要性的权值，称为层次总排序。 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。Z1A2AmA1B2BnB,21mAAAmA个因素层对总目标对总目标Z Z的排序为的排序为maaa,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为的层次单排序为), 2 , 1( ,21mjbbbnjjj即即 B B 层第层第 i i 个因素对总目标个因素对总目标的权值为：的权值为：BnmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22

42、112222211211221111:mjijjba1层的层次总排序为：层的层次总排序为：mAAA,21maaa,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设设 层层 对上层对上层( ( 层层) )中因素中因素 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为，随机一致性指为 ，则层次总排序的一致性比率为：则层次总排序的一致性比率为：BnBBB,21A), 2 , 1(mjAjjCIjRImmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR221

43、122111 . 0CR当当 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。判断矩阵的元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。总排序做出最后决策。记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为(2)(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权

44、向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较的成对比较阵阵1383/1138/13/112B方案层对方案层对C2(费用费用)的成对比较的成对比较阵阵CnBn最大特征根最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 权向量权向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668)选择旅游地选择旅游地第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果 w w( (2 2) ) )3(kwkkCI0.2630.2630.5950.2770.

45、1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.4290.0550.0553.0090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110组合权向量组合权向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下层次分析法的基本步骤归纳如下3.3.计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验2.2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和从第二层开始用成对比较矩阵和1 19 9尺度。尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做