浅谈对称思想在数学教学中的应用

1、i i 目目 录录1 1 引言引言.12 2 对称思想的本质对称思想的本质.13 3 数学的对称性数学的对称性.23 3 .1.1 公式的对称性公式的对称性.23 3 .2.2 图形的对称性图形的对称性.23 3 .3.3 对称式和轮换式对称式和轮换式.33 3 .4.4 对称的其他应用对称的其他应用.44 4 数学思维在对称思想中的应用数学思维在对称思想中的应用.64.14.1 对称思想的简洁性对称思想的简洁性.64.24.2 对称思想的灵活性对称思想的灵活性.64.34.3 对称思想的广泛性对称思想的广泛性.75 5 数学能力在对称思想中的培养数学能力在对称思想中的培养.85.15.1 数

2、学判断能力在对称思想中的培养数学判断能力在对称思想中的培养.85.25.2 数学记忆能力在对称思想中的培养数学记忆能力在对称思想中的培养.85.35.3 数学转化能力在对称思想中的培养数学转化能力在对称思想中的培养.95.45.4 数学解题能力在对称思想中的培养数学解题能力在对称思想中的培养.96 6 结论结论.10参考文献参考文献.12致谢致谢.13 ii浅谈对称思想在数学教学中的应用数学系本数学系本 12021202 班班 李然李然指导教师：杨树勍指导教师：杨树勍摘 要：对称好像是世间万物的一种表象或形式，而且它已经成为各种学科的一些表现形式和理论之一，我们所讲的对称是解题的思想方法，因为

3、它合乎情理。应用好对称思想对初中生学习数学有很大的帮助，尤其是对学生的思维品质、学习数学的能力的培养有极大的好处。对称既可以锻炼学生的思维、又可以拓展学生的视野、丰富学生的想象能力、成就学生强大的数学头脑.关键词：数学能力，思维品质，对称思想。 On the application of symmetry thought in Mathematics TeachingRan YiClass 2, Mathematics DepartmentTutor: Yang ShuQing Abstract: symmetry seems to be all things in the world to

4、a representation or form, and it has become one of a variety of disciplines, some form of expression and the theory, we speak of symmetry is the thinking method of solving, because of its reasonable. Good use of symmetry thought of junior high school students mathematical learning a great help, espe

5、cially on students thinking quality, the cultivation of ability in mathematics learning have great benefits. Symmetry can exercise the students thinking, and can broaden the students horizons, enrich the students imagination, student achievement powerful mathematical mind. Key words: mathematical ab

6、ility, thinking quality, symmetrical thought.11 引言当我们进入 21 世纪的时候，我们会很灵敏的感觉到，科学技术的广泛应用，知识经济的渐渐起步，综合国力竞争的日渐激烈。这种竞争说到底是强大人才的竞争。而对于这些强大人才的培养在于中国的高等教育。教育对于人的培养应该是对人的思维能力的培养以及人的思考方法的培养，并且还包括人的价值取向等等。从古到今，教育家们在教育的事业中都十分重视启迪和开拓学生的思维。中国古代一位举世闻名的教育家孔子传授学业时一直强调“愤”和“悱” 。前苏联的教育家苏霍姆林斯基说：“一人上学不为别的只为取得一份知识的行囊，得到更多方

7、面的知识和学习能力，学会思考。 ”哲学的思想恰恰就能做到这一点，所以对于对称思想对思维的培养我们不能小看。2 对称思想的本质对称思想的核心是对称变换。广义地说， “对称变换”是一种在保持一定的不变形下的对称变换，有限次的重复实行这一变换，可使对象回复到自身；一个集合在一定的对称变换下的不变性就叫做“对称性” 。几何中的轴（面）对称和中心对称是最直观的对称。平面图形绕其一定点旋转 180的变换，也是常见的变换。如果旋转完成后的两个图形能够完全重合，则说这两个图形是中心对称图形。下面我们通过列表来联系轴对称和中心对称的相同点与不同点。轴对称中心对称具有一个对称轴直线具有一个对称的中心点图型沿着轴对

8、折（反着转 180）图形绕着中心旋转 180翻转后与翻转前的图形重合旋转后与旋转前的图形重合代数中的对称有的还可借助与几何直观来理解，如实数与其相反数的对称，复数与其共轭复数的对称；当然，也未必都要借助于几何直观，例如“对称多项式” （其中任意两个变元对换下的不变形） ， “轮换对称多项式” （其中各个变2元轮换下的不变形） 。也可把函数的周期性看成“对称性” ，因为周期函数的图像是无限延伸的曲线，在一定的平移下（平移若干最小正整周期）可重合于自身，从而表现出“整体不变性” 。我们还可把两个命题间的“对偶关系”理解为对称。因为互为对偶的命题间具有结构上的不变关系。例如集合运算中的德摩根律，它就

9、有所谓的两种对称形式：和；在几何学中还有“平面对偶”和AAAA“空间对偶”的命题。还有一种对偶是问题间的对偶。例如数学规划问题，即“在遵循一定的约束条件下使目标函数取最大（小）值”的问题，其对偶问题的构成法为：令原命题中目标函数取定值作为约束条件（之一） ，而把原问题中的约束条件中的某个量作为目标函数，使这个目标函数取最小（大）值。例如若原问题为“已知矩形周长为 p，求使矩形面积 S 最大时的边长” ，则其对偶问题是“已知矩形面积为 S，求使矩形周长 p 最小时的边长” 。这样构成互为对偶的问题，它们的解是相同的，它们也具有结构上的对称性。对称思想说的通俗易懂些就是数学中的一种美学思想，这种思

10、想在解析几何内容中显得及其突出。3 数学的对称性3 3 .1.1 公式的对称性公式的对称性 在数学公式中，有很多字母，它们是对称的且地位是平等的。 例如： Cabbacbabbaababababacos233)(2)(22232233222在这里 a 和 b 互换时，等式仍然是成立的。3 3 .2.2 图形的对称性图形的对称性等腰三角形、菱形、正方形、平行四边形、抛物线、圆、等等，它们都是对称的几何图形。圆，它有一个对称中心圆心，有无数条对称轴过圆心的每一条线均是，所以圆是一个特殊的几何图形。其实，像代数式求值、数列求和、共轭3根式以及共轭复数等，都是利用对称的思想来解决数学问题的。下面就以圆

11、为例。一个圆桌面和相同硬币若干个，甲、乙二人分别依次在圆桌面上放硬币（甲先放乙后放） ，规定谁最后摆不下硬币，谁就被视为输的一方，请问：甲、乙双方谁输谁赢呢？如果仔细一点的话，我们就能从已知条件中得到答案，已知我们的桌面是圆的，利用圆的对称性，甲胜是必然的。因为，圆心是对称中心，甲首先把第一枚硬币放在圆心的位置上，然后，无论乙把第二枚硬币放在任何位置，甲都可以把第三枚硬币放在与第二枚硬币相对称的位置，以此反复，最终乙会以失败告终。例：有一个正方形，它的边长为 8，点 M 在 DC 边上，DM=2，点 N 为 AC 上的一动点，问：DN+MN 的最小值为多少?ADBCNMM 解：以 AC 为对称

12、轴，作点 M 的对称点,连接，则，连MMNMNNM接，则,MDMDMNDNMNDN的最小值就为的长MNDN MD101006822MD 这是一道很简单的问题，但是，如果想不到对称，那么就很难做出令我们欣喜的正确的结果。3 3 .3.3 对称式和轮换式对称式和轮换式 如果把代数式中任意两个字母对调后，代数式仍保持不变，则这样的代数式就称为对称代数式即对称式。4 如：223223233yxyxyxyyxxzyx如果代数式中把含字母项顺序轮换后，代数式仍保持你变，则这样的代数式就称为轮换对称式即轮换式。 如：222zyx（1）对于曲面积分，积分曲面为 ，如果将函数0zyxu，中的换成后仍等于 0，也

13、就是积分0zyxu，zyx，xzy，xzyu，曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分，SSdxzyfdzyxf，如果将函数中的 x，y，z 换成 y，x，z 后，那么0zyxu，0zxyu，在这个曲面上的积分，如果将函数SSdzxyfdzyxf，中的 x，y，z 换成 z，x，y 后，那么在这个曲面0zyxu，0yxzu，上的积分，同样可以进行多种其它形式的变换。SSdyxzfdzyxf，（2）对于第二类曲面积分也只是将 dxdy 同时变换即可。例如，将函数中的换成后=0，那么在这个曲面上0zyxu，zyx，xzy，xzyu，的积分，同时，下面这两个积分也是等价dydzxzyfdxdyzyx

14、f，的，dzdxxzyfdydzzyxf，dxdyxzyfdzdxzyxf，（3）将（1）中积分曲面的 z 去掉就变成了曲线积分，满足轮换对称性，积分曲线为，如果将函数中的 x，y 换成 y，x 后仍满足0yxu，0yxu，那么在这个曲线上的积分，事实上，0 xyu，SSdxyfdyxf，若将函数中的 x，y 换成 y，x 后仍满足，则意味着积分0yxu，0 xyu，曲线关于直线 y=x 对称。第二类曲线积分与（2）中的结论相同。（4）二重积分和三重积分都与（1）的解释类似，同样也是看积分区域，将函数的 x，y，z 变换顺序就是相当于将坐标轴重新定义，积分区间没有改变，于是被积函数作相应的变换

15、后，积分值不发生变化。53 3 .4.4 对称的其他应用对称的其他应用例 1：（1）在 2008 年 8 月的日历中（如图一） ，任意地从一数列中圈出相邻的三个数，假设中间的一个数为，那么用含有的代数式来表示这三位数aa（从大到小排列）分别为（ ）（2）将连续的自然数从 1 到 2008 按照图中的方式组成为一个长方形的阵列，若用一个正方形的框圈出 16 个数，那么这个方框中的 16 个数相加的和是（ ）在（图二）中，要使这方框中的 16 个数的和分别等于 2000、2008，是否有可能呢？若有可能，求出此方框的 16 个数之和的最大值和最小值；若不可能，请说明理由。六 日 一 二 三 四 五

16、 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 8 9 10 11 12 13 144 5 6 7 8 9 10 15 16 17 18 19 20 2111 12 13 14 15 16 17 22 23 24 25 26 27 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008（图一） （图二） 解： （1）； ； 7-aa7a（2）经过观察发现，在方框中的关于中心对称的每两个数之和均等于44 的有：11 和 33，17 和 27，

17、31 和 13，它们都是中心对称的。这样就容易算出 16 个数的和是 44 8=352设圈出的 16 个数当中最小的一个是，则 16 个数组成的方框如图，a由于方框中，关于正方形的中心对称的每两个数之和为 2+24，因此，16 个数a的和为 8（2+24）=16+192aa当 192+16=2000 时， a113aa1a2a3a 192+16=2008 a5 .113a7a8a9a10a由于为自然数，所以舍去 a5 .113a14a15a16a17a6那么方框中的 16 个数的和不可以等于 2008 21a22a23a24a所以最小数为 113，最大数为 137例 2：在锐角ABC 中，证明

18、：.coscoscossinsinsinCBACBA分析：不等式两边均是关于 A,B,C 的完全对称式，只需要比较和.BAsinsin BAcoscos证： 2cos2sin2sinsinBABABA2cos2cos2coscosBABABA且有 .CBACBA,2,0若 , 则, 那么，这与相矛盾， 42 BA2 BA2C20 C,224BA故 2cos2sinBABA又 . 从而有，22-2-BA02cosBA.coscossinsinBABA同理可证 .coscossinsinCBCB.coscossinsinACAC把上面三式相加并除以 2，便可得到要证明的不等式。4 数学思维在对称思

19、想中的应用4.14.1 对称思想的简洁性对称思想的简洁性 例：设 x、y、z 均为实数， ， 问：1z是5zyx9222zyx 73否成立？若成立，给出证明;若不成立，请说明理由。解：由得95222zyxzyx2292)(5zxyyxzyx所以 解得=-5z+8161029)5(9)(222222zzzzzyxxyxy2z又因为 x、y 是方程的两个实数根，所以=-4085)5(22zztzt2)5(z0 解得 1z)85(2 zz071032zz 737由于 x、y、z 在题中具有对称性，只需证得其中任何一个，其余两个同理可得:1x 1y 73 734.24.2 对称思想的灵活性对称思想的灵

20、活性 我们都知道抛物线为轴对称图形，对称轴为直线)0(2acbxaxy，顶点在对称轴上。处理有关对称轴的问题时，如果能巧妙地利用抛物a2b-x 线的对称性，那么解决问题是相当容易的。例：已知抛物线与 y 轴交于点（0,3） ，与 x 轴相交的两点间距离为 4，且对称轴是 x=1，求这个抛物线的解析式。解：设该抛物线的解析式为。若按照正常思路，则需要解出cbxaxy2有关于 a，b，b 的三元一次方程组，解题过程比较复杂。若巧妙的利用抛物线的对称性，那解法就方便了。因为抛物线的直线为 x=1，与 x 轴相交的两点间距离为 4，显然由抛物线的对称性知抛物线交于 x 轴（-1,0） ， （3,0）两

21、点，因此设抛物线为，又知抛物线与 y 轴交于（0,3） ，所以 3=-3a，a=-1，故11yxxa，即)3)(1(xxy322xxy4.34.3 对称思想的广泛性对称思想的广泛性对称性在初等数学中有着广泛的应用，尤其是在中学数学中常常伴有对称现象，像几何学中的中心对称、轴对称等空间对称，又有代数学中旋转的时间和周期性的对称。在数学学习的过程中几何方面的对称性较为直观，通过画图就能很容易的看出具有对称性的图形，根据他们的对称性可以解决很多问题。例：如图，一个圆柱被一个平面所截，所截的截面椭圆长轴长为 5cm，短轴长为 4cm，截得后的图形最短母线长为 2cm，请求出这个几何体的体积？8BEDA

22、C分析：这个图形既不是圆柱也不是圆台更不可能是圆锥，直接计算它的体积肯定是不行的，我们只能利用对称性原理在它的上面补上一个完全相同的几何体，使之成为一个完整的圆柱。解：由题意可知：圆柱底面的直径是截面椭圆的短轴长 4cm，又长轴长为 5cm因此 cm BC=5cm 补全的圆柱的母线长为 7cm34522CE则所求的几何体的体积为 1472212V 几何方面的对称与代数方面的对称相比较更为直观，因此人们往往忽略代数式的对称性，其实对称思想在代数式中应用的也十分广泛，也能化难为易，化繁为简。5 数学能力在对称思想中的培养5.15.1 数学判断能力在对称思想中的培养数学判断能力在对称思想中的培养我们

23、在解方程的时候，有时如果按照常规的方法去解题，就会显得比较复杂，这时我们就可以判断是否添加因式，添加什么样的因式，用对称思想去求解。例：已知是方程的两个根，求的值?，032 XX2分析：由于 不是关于的对称式，所以无法直接用韦达定理，但2，是，我们只需要添加一个因式29 13- 310-3-23322）（ 3134-23322）（两式都是关于的对称式，于是可得=，231325-5.25.2 数学记忆能力在对称思想中的培养数学记忆能力在对称思想中的培养例：在余弦中,三角形 ABC 中的边和边对于边 来Cabbaccos2222abc说地位是平等的，所以等式右端的，是同号，无论同正同负。在第三项中

24、2a2b只能是而不能是或，否则和是不等的。Cabcos2Caccos2Cbccos2ab同样，在三角形 ABC 中，它的面积公式为,取就是为了CabSsin21Csin让，的地位平等。ab而在另外一个三角形的中，三个正弦中，ACBaSsin2sinsin2CBAsin,sin,sin只需要其中两个写在分子上，另一个写在分母上即可。这是因为大家都知道，在计算三角形面积的时候，只要有出现，那么和 就是平等的，对称的了，abc因此，不能让分开，从这个角度考虑，这个三角形面积公式还可以CB sin,sin写成 或BCASsin2sinsinb2CBASsin2sinsinc25.35.3 数学转化能力

25、在对称思想中的培养数学转化能力在对称思想中的培养 像一元二次方程，设它的两个根分别为，我们)0(02acbxax、能够很快的求出的对称式，等，对于有关、3322,2非对称式的求值问题，主要是把非对称转化为对称，然后再利用其相关关、系求解。若就是一元二次方程的解，则有、)0(02acbxax10，对所求代数式变形，再利用根的)0(0),0(022acbaacba定义全部带入求解。 例：已知，求证1sinsincoscos24241sinsincoscos2424分析：通过题目可以看出其结构上的对称性：与对称，2cos2cos与对称，我们猜测=，=。于是我们设 2sin2sin2sin2sin2c

26、os2cos 1 , 0yxsinysinx22，原式= （1）1yxy-1x-122有：，化简得：x=yy-1yy-1xx-1y22把（1）中的 x 与 y 对调后得：，即1xyx-1y-1221sinsincoscos24245.45.4 数学解题能力在对称思想中的培养数学解题能力在对称思想中的培养 每一种数学思想都是先人留下的结晶，每一种数学思想的方法及策略都是一点点的解题经验经过积累来归纳与总结的，都是数学的发现。数学发现之路永无止境，我们还有待于创新、充实和完善。例：在三角形 ABC 中，,求30,10,80PCBPBCBACACAB ?BAP ADBCP分析：等腰三角形 ABC 关

27、于角平分线 AD 对称，因此可以考虑对称变换。解：延长线段 CP 交BAC 的角平分线于点 D，链接 BD，得到11 由ABDACD2030-280-180ABDACD 201020-280-180PBDABDPBD 404021PCBPBCBPDBACBAD又 BPABPBDABDBPDBAD于是70240-180BAP对于此题我们很难一下子看出与哪个角有联系，一但完成对换变BAP换后，那解题思路会很快从脑海中浮现出来，所以，当只要轴对称图形需要作辅助线时，就首先考虑轴对称。 6 结论 对称，无论是在自然界中还是在建筑物中，无论是在科学中还是艺术中，甚至于我们最普通的生活用品中，对称的形式无处不在，无所不有。人们在这漫长的岁月中，享受着对称的美，享受着生活的美，所以，对称思想方法应该贯穿于小学数学、中学数学直至整个数学学科，始终贯穿着一个永恒的概念。但是，对称思想虽然作为数学领域中的一小部分，但却在教学改革中是一项重大的工程，需要学生同老师共同完成。其实，不仅仅是在数学中，在浩瀚的宇宙中，对称都是一个深不可测的概念，所以，作为数学教育者的我们，就必须在日常的教育教学中明白，如何一点一滴地引