平面向量数量积听课课件.

1、第三节平面向量的数量积研定义定义图示图示范围范围共线与垂直共线与垂直已知两个非零已知两个非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,则则_就就是是a与与b的夹角的夹角 设设是是a与与b的的夹角夹角, ,则则的的取值范围是取值范围是_=0=0或或=180180_ _,_,_ _ab【知识梳理】1.必会知识 教材回扣填一填(1)向量的夹角:OA OB AOB0180ab=90(2)平面向量的数量积:定义定义设两个非零向量设两个非零向量a, ,b的夹角为的夹角为,则数量则数量_叫做叫做a与与b的数量积的数量积, ,记作记作ab投影投影_叫做向量叫做向量a在在b方向上的投影方向上的投影,

2、 ,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影几何几何意义意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a的方的方向向上的投影上的投影_的乘积的乘积|a|b|cos|a|cos|b|cos|b|cos(3)数量积的性质:设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则ea=ae= _.cos=_.ab_.aba b|a|cos|a|b|(4)数量积的运算律:交换律:ab=ba.数乘结合律:(a)b= _= _.分配律:a(b+c)=_.(ab)a(b)ab+ac(5)平面向量数量积的坐标表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹

3、角为,则数量积数量积ab=_=_模模 | |a| |_夹角夹角coscos _向量垂直的向量垂直的充要条件充要条件abab=0=0_2211xy1 21 222221122xxyyxyxyx1x2+y1y2x1x2+y1y2=02.必备结论 教材提炼记一记(1)a与b为两非零向量,则ab_.(2)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|,特别地,aa= _或者|a|=_,0a=_.aaab=0|a|20(3)平面向量数量积运算的常用公式(a+b)(a-b)=a2-b2.(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=_.a2-2ab+b23.必用技法 核心总结看一看

4、(1)常用方法:基底法;坐标法.(2)常用思想:方程思想,数形结合思想,转化与化归思想.(3)记忆口诀:乘积结果为数量,坐标运算是良方. 横纵坐标分别乘,相加求和积充当.【思考辨析】(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负.()(2)若ab=0,则必有ab.()(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若ab0,则向量a,b的夹角为钝角.()【解析】(1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负.(2)错误.当a与b至少有一个为0时得不到ab.(3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确.(4)错

5、误.当ab=-|a|b|时,a与b的夹角为.答案:(1)(2)(3)(4)【基础自测】(1）已知|a|=2,|b|=4,a与b的夹角=30，求ab的值.(2)已知a=(1，1)，b=(-1,2)，则(2a+b)a=( )A-1 B0 C1 D2（3）已知|a|=2,向量a与b的夹角是 ,则a在b上的投影是.34【规律方法】向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.1.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为

6、CD的中点,则 =.AEBD 【变式训练】考点2 平面向量的垂直与夹角问题【典例2】(1)(2014山东高考)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夹角为 ,则实数m=()(本题源于教材必修4P107例6)A.2 B. C.0 D.-(2)(2015湖北高考)已知向量 则 =_633OAAB OA3 ，OAOB 【规律方法】平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos= (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的

7、夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.aba b【加固训练】1.设向量a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若a(a-b),则x=.2.(2013安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.命题角度1:利用平面向量数量积求参数的值【典例3】(2014天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=DF.若 则的值为.AE AF 1 ， 命题角度2:根据向量数量积求最值【典例4】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则 的值为_,的最大值为_.解：如图所示,以

8、AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,设E(t,0),0t1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1),所以 =1.又因为 =(1,0),所以 =t1.答案:11DE CB DEDC DECB DC .【一题多解】解答本题,你知道还有几种解法?方法一:选取 作为基底,设 0t1,则= =0+1=1. =t1.答案:11AB,AD AE tAB ，DECBtAB ADAD 2tABAD AD DE DCtAB AD AB 方法二:利用几何意义可知= =1.设则= =|t|1.答案:11DECB DEDA DE DA cos EDADE cos EDA DA AE t AB ，DE DC DE ABDE 1cos AED A