椭圆总3课时)

1、2.1.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆思思考考数学实验数学实验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两个定点上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细）把细绳拉紧，在板上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形1.1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的？2.2.在画椭

2、圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？系？椭圆的定义椭圆的定义 平面上到两个定点的平面上到两个定点的距离的和（距离的和（2 2a a）等于）等于定长（大于定长（大于|F|F1 1F F2 2 | |）的点的轨迹叫椭圆。的点的轨迹叫椭圆。 定点定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆叫做椭圆的焦点。的焦点。 两焦点之间的距离叫两焦点之间的距离叫做焦距（做焦距（2c2c）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号

3、表述：椭圆定义的符号表述：1222MFMFac 1. 改变细绳两端之间的距离，使其改变细绳两端之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两端点之间的距离吗？绳长能小于两端点之间的距离吗？ 思考：思考： 1. 改变两端点之间的距离，使其与改变两端点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两端点之间的距离吗？绳长能小于两端点之间的距离吗？ 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常的距离之和等于常数数 的点的轨迹叫做椭圆。其中这的点的轨迹叫做椭圆。其中这个定点个定点F1，F2

4、叫做焦点，两焦点的距离叫做叫做焦点，两焦点的距离叫做焦焦距距。当常数当常数等于等于|F1F2|时轨迹是时轨迹是 当常数当常数小于小于|F1F2|时，时， 。（大于（大于|F1F2|）线段线段F1F2无轨迹无轨迹一一.椭圆的定义椭圆的定义F1F2M求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：建系建系列式列式设点设点化简化简代入代入F1F2M1)建系：建系： 以以F1、F2所在直线为所在直线为x轴，线轴，线段段F1F2垂直平分线为垂直平分线为y轴，建轴，建立坐标系。立坐标系。2)设点：设点：xOy又设又设M M与与F F1 1、F F2 2距离之和等于距离之和等于2a,2a,|F|F1 1F F2

5、 2|=2c(c0),|=2c(c0),设设M(x,y)为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点，则则F1(-c,0)、F2(c,0)3)限制条件写出点集：限制条件写出点集：椭圆的集合为椭圆的集合为:2|21aMFMFMPF1F2MOxy4)代入列出方程代入列出方程:aycxycx2)()(22225)化简方程：化简方程：)()(22222222caayaxca,22ca 即即ca 022ca2222()2()xcyaxcy222()acxaxcy移项得移项得平方整理得平方整理得再平方得再平方得 |21MFMFPxyoacbcaOP22|令12222byax122222cayaxb12222by

6、ax) 0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准方程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFFMx分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上11625)2(22yx11616)1(22yx口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.认知标程方程认知标程方程焦点

7、在焦点在X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）填空：填空： 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_例题例题1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a 例例2. 椭圆两焦点的坐标分别是（椭圆两焦点的坐标分别是（-4，0）、）、（4，0），椭圆上一点），椭圆上一

8、点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆方程。求椭圆方程。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：192522yx定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；定量：定量：求求a, b的值的值.练习：练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,2),F2(0,2),且且a=3.22(1) 16xy答案：(1)a= ,

9、b=1,焦点在焦点在x x轴上轴上; ;小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；定量：定量：求求a, b的值的值.622(2)159xy小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；定量：定量：求求a, b的值的值.小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；一种方法：一种方法： 求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法-坐标法坐标法二类方程二类方程: 12222byax0 12222bab

10、xay一个定义：一个定义： 椭圆的定义椭圆的定义 |21MFMFMOxyF1 1F2 2MO2222+=1 0 xyabab标准方程中，分母哪个大，焦点就标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上在哪个轴上12- , 0 , 0，FcF c120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的焦点位置的判断判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标a a、b b、c c 的关系的关系焦点在焦点在y y轴上轴上222bac) 0( 12222babxayxyF1 1F2 2 作业作业:P36第第1、2、3题题 P42第第1、7题题2.1.1椭圆及其标准方程（第椭圆及其标准方程（第2

11、课时）课时） -求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常的距离之和等于常数数 的点的轨迹叫做椭圆。这其中的点的轨迹叫做椭圆。这其中个定点个定点F1，F2叫做焦点，两焦点的距离叫做叫做焦点，两焦点的距离叫做焦焦距距。当常数当常数等于等于|F1F2|时轨迹是时轨迹是 当常数当常数小于小于|F1F2|时，时， 。（大于（大于|F1F2|）线段线段F1F2无轨迹无轨迹复习：复习：F1F2MMOxyF1 1F2 2MO2222+=1 0 xyabab标准方程中，分母哪个大，焦点就标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上在哪个轴上12- , 0 , 0，

12、FcF c120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的焦点位置的判断判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标a a、b b、c c 的关系的关系焦点在焦点在y y轴上轴上222bac) 0( 12222babxayxyF1 1F2 2填空：填空： 已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_例题例题1162522yx543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的判断椭圆标准方程的焦点在

13、哪个轴上的准则：准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a 例例1. 椭圆两焦点的坐标分别是（椭圆两焦点的坐标分别是（-4，0）、）、（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆方程。求椭圆方程。解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为：)0(12222babyax2a=10，2c=8即 a=5，c=4故 b2=a2-c2=52-42=9所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：192522yx定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；定

14、量：定量：求求a, b的值的值.典例分析典例分析例例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程。求适合下列条件的椭圆的标准方程。已知两个焦点的坐标分别是已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭，椭圆上一点圆上一点P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10； 典例分析典例分析变题一变题一:若将若将例例1焦点改为焦点改为(0，-4)、(0，4) 结果如何？结果如何？192522xy：将：将例例1 1改为两个焦点的距离为改为两个焦点的距离为8 8，椭圆上，椭圆上一点一点P P到两焦点的距离和等于到两焦点的距离和等于1010，结果会怎样？，结果会怎样？192522yx192522xy典例分析典

15、例分析例例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程。求适合下列条件的椭圆的标准方程。已知两个焦点的坐标分别是已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆，椭圆上一点上一点P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于10；定量：定量：求求a, b的值的值.小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：定位：确定焦点所在的坐标轴；确定焦点所在的坐标轴；当焦点位置不确定时，分两种情形讨论当焦点位置不确定时，分两种情形讨论随堂练习随堂练习写出适合下列条件的椭圆的标准方程：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) ,焦点在焦点在x轴上；轴上；(2) .4,15ac4,1ab22(1)1

16、16xy 22116yx22(2)116xy例例2 2. .已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),(2,0),),(2,0),并且经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法一解法一: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 12222 babyax由椭圆的定义知由椭圆的定义知102)23()225()23()225(22222 a所以所以.10 a又因为又因为 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为

17、. 161022 yx小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：1.定位：确定焦点所在的位置；定位：确定焦点所在的位置；2. 设：设： 设出标准方程；设出标准方程；3.定量：确定定量：确定a,b 例例2.2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0), (2,0), ), (2,0), 并且经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法二解法二: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 12222 babyax)0 , 2(),0 , 2( 焦点的坐标分

18、别是焦点的坐标分别是又又2 c422 ba1)()(22232225 ba又由已知又由已知联立联立,61022 ba，解得解得因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程. 练习练习2：求适合下列条件的椭圆的标准方：求适合下列条件的椭圆的标准方 程：程： （1)椭圆两焦点间的距离为椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某，且椭圆上某一

19、点到两焦点的距离分别等于一点到两焦点的距离分别等于9和和15； （2）椭圆上一点）椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和到两焦点的距离之和为为8。小结：求椭圆的标准方程的步骤：小结：求椭圆的标准方程的步骤： 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程（1）首先要）首先要判断判断类型；类型；（2）设设出标准方程；出标准方程；（2）用）用待定系数法待定系数法求求ba,利用椭圆的定义求方程利用椭圆的定义求方程,有等式：有等式： a2=b2+c2 作业：作业： P42第第1,2题题 活页活页P932.1.1椭圆及其标准方程（第椭圆及其标准方程（第3课时）课时） -求轨迹方程求轨迹方程(1)(1)建系建系: :

20、 建立直角坐标系；建立直角坐标系；(2)(2)设点设点: : 设所求动点设所求动点P(x,y);P(x,y);(4)(4)化简化简: : 化简方程；化简方程；(5)(5)检验检验：检验所得方程检验所得方程, ,将多余的点要剔除将多余的点要剔除, , 不足的点要补充。不足的点要补充。(3)(3)列式列式: : 根据条件列出动点根据条件列出动点P P满足的关系式满足的关系式; ;求动点轨迹方程的基本步骤是什么？求动点轨迹方程的基本步骤是什么？复习复习例例1. 设点设点A,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线直线AM,BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之积是，且它们的斜率之积是

21、-4/9,求点求点M的轨的轨迹方程。迹方程。)(5191002522 xyxM的轨迹方程为的轨迹方程为点点“杂点杂点”可不要可不要忘了哟忘了哟这种方法叫直接法这种方法叫直接法或或直译法直译法 练习练习:36页第页第4题题解：解：例例2 ：将圆将圆 = 4= 4上的点的横坐标保持不变，上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线的方程，并说明它是什么曲线？并说明它是什么曲线？yxo22yx 设所得的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：22yx yyxx2/22yx因为所以4422yx即1422 yx1 1）将圆按照某个方向均匀地压缩）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆（拉长），可以得到椭圆。2 2）利用中间变量求点的轨迹方程）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；的方法是解析几何中常用的方法；的轨迹。求点上，并且在点垂线段轴作向从