工程力学课件：第三章 力系的平衡条件与构架的组成规律1

1、1 一、空间一般力系的平衡充要条件： 空间一般力系平衡方程的基本形式为：3-1 平衡方程的解析形式第三章 力系的平衡条件与构架的组成规律2空间汇交力系的平衡方程为：空间平行力系的平衡方程（设各力线都 / z 轴）： 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过汇交点，故各力矩方程都成为了恒等式。因为 均成为了恒等式。二、各种特殊力系下的平衡方程 3空间力偶系的平衡方程为：平面一般力系的平衡方程: （xoy 平面）因为力系可以简化为一个主矩：O点可以是任选的一点4 空间一般力系的平衡方程的基本形式 可以证明：上述基本形式中的三个力投影方程可以全部或部分用力矩方程形式替代，但是这种替代是有附加条件的，应使方

2、程式独立。5平面一般力系基本形式可用以下“二矩式”、“三矩式”替代二矩式三矩式其中A、B 两点连线不能与 x 轴垂直其中A、B、C 三点不共线 同学可以自行证明6平面汇交力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程（设各力线都 / y轴）：例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求：接触处A、B的约束力。解: 平面汇交力系Fx=0;FAcos30o-FBcos450=0Fy=0;FAsin30o+FBsin450-P=0求得:FA=366N,FB=448N,ABP450600 xPyFB450FA300汇交力系平衡条件的应用例：图示压榨机，在A点作用水平力F、C物块与墙、物体D光滑

3、接触，在F力作用下，C物块压紧物体D，求：物体D所受压力。FhLBCDAL解: 对：点AFFABFACyxaaA Fix=0; FABcos FACcos F=0 （1） Fiy=0; FABsinFACsin =0 （2）从（2）可得：FAB=FAC，代（1）得：FAC= -F/（2 cos）FhLBCDALCFACFDFCyx对：物块CFFABFACyxaaAFiy=0; FD+FACsin =0； （3） Fix=0; FABcos FACcos F=0 （1） Fiy=0; FABsinFACsin =0 （2）FAC= -F/（2 cos）例：图示压榨机，在A点作用水平力F、C物块与

4、墙、物体D光滑接触，在F力作用下，C物块压紧物体D，求：物体D所受压力。例：重物P = 1 kN，A 是球铰支座，A、B、C 点固定在同一墙上，求：杆AD、绳 DB、DC 的约束内力。解：取汇交点D 点分析空间汇交力系FDCFDAFDBPBE = CE, DB = DC , 则：FDB = FDCFDB=FDC=289N。xyzPCBE450AD450300450450450例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱AB、绳BC，BD，BE 的拉力。解：B点有四个未知力汇交，故先从C点求解，xFCAFCB450 P750FBEFBDFBAFBCC 平面汇交力系F

5、ix=0, FCBsin300一Psin450=0,FCB=1.414 P，B 空间汇交力系Fix=0, FBDcos2450一FBEsin2450=0,FBD=FBEFiy=0, 2FBDcos450sin450+FBCsin750=0,Fiz=0, 2FBDsin450 FBA+FBCcos750=0,FBA= 1.564P。柱AB受压。例：图示导轨式汽车提升机构，已知提升的汽车重P=20kN，求：导轨对A、B轮的约束反力（不计摩擦）。解:Mi=0:FA400P60=0； 得：FA=3kN Fx=0; FB=FA Fy=0; F = PFBFAP60cm400cmFAB力偶仅能被力偶平衡P

6、FiqLAFix=0; FAx=0MAFAXQFAYFiy=0; FAy=Q=qL/2M A=0， MA= (2/3) LQ = qL2/3固定端有三个约束反力例：图示悬臂梁，上侧作用三角形均布载荷，求： 固定端A处的约束反力。 例：图示叉车的钢叉简图，已知：货物均重为 q=1500 N/m，其它尺寸如图示，求：约束A，B处的约束反力。解：200550q1400mm40ABFix=0, FAx+FB=0FAXFAYFBFiy=0, FAy Q=0Q=1.4q=2.1kNQFB=2.8kN, FAx= 2.8kN。MA=0, FB550(14000.5+40)Q=0 FAy=Q=2.1kN，c二

7、矩式： MB =0， FAX 550+ (14000.5+40)Q =0, MA =0, FB550(14000.5+40)Q=0 FB=2.8kN, FAx= 2.8kN。Fiy=0, FAy=Q=2.1kN，F1F3FF2AC例：图示雨篷结构，因雨篷对称结构可简化为平面结构，自重不计，已知：F力作用，求：三根支撑杆的约束反力。解：用三矩式方程D1m1m4mF1mACB如校核方程： Fix=0， 应满足。例：一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车

8、子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。FBFAGG2G1G3AB3.0 m2.5 m1.8 m2.0 m1.取汽车受力分析如图。2.列平衡方程。解：3.联立求解： 4.不翻倒的条件是：FA0， 所以由上式可得故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kNG 分析物体系统平衡问题的几个原则：1）尽量选取整体为研究对象。2）从受力情形最简单的某一刚体或分系统入手。尽可能 满足一个平衡方程求解一个未知力。3）分清内力和外力、施力体与受力体、作用力与反作用力。4）注意二力平衡条件和三力平衡汇交原理。 3-3 物体系统的平衡问题当物体系统处于平衡时，其中每一个物体都必须处于平衡，都应满足平衡条件。例：图示三铰拱

9、结构，已知：单边拱重为：P，求：A,B的 约束反力。解：取整体受力分析MA=0FBy=PFiy=0FAy=PFix=0MC=0 取左受力分析6m6m6mACBC左A FAx6FAy6+3P=0P3P9+FBy12=0FAy+FBy=2P FAxFBx=03m例：图示杆BE上固定销子C,可在杆AD的光滑直槽中滑动，已知：L=0.2m，M1=200Nm，a = 300，求：结构平衡时M2。解：BE: MB=0, FCLsin300M1=0,得: FC=FB=2000N再取AD: MA=0, M2FCL/sin300=0,FC=FC得： M2 = 800Nm。M1aBADLCM2FCFCFBFABC

10、M1BEAADM2D力偶仅能被力偶平衡E3m2m2m2m2mFMACBD例：组合托架组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知：F = 1 kN, M=600 Nm, 求：A 处约束反力。MAFAyFAxFByFBxF3FMBDF3CF2F1F1解：取整体受力分析MA=0, MA4F M3F1=0Fix=0, FAxF 1=0Fiy=0, FAyF =0得：FAy= 1000 N,取BD受力分析F3= 500 N,再取C节点 F1= 400 N，MA=3.4 kNm可得： FAx= 400 N,321BECCBDAEAD3aCFaABED3a整例：折叠凳子的简图如图示，在水平凳面有F力作用，求：E

11、处约束反力。解：取整体受力分析FDFCFCFAYFAXFEXFEYFDFCYFCXFEXFEYMC=0, Fa3a FD=0FD=F/3,Fiy=0, F+ FD+FC=0FC=2F/3,取AD取CB例： 已知：连续梁上，P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂, 不计梁重 求：A ,B和D处的反力解：研究起重机（未知数多于三个，不能先整体求出，要拆开） 再研究整体 再研究梁CD解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、Bxy,B点 列方程为: 例 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？ 受力如图 取E为矩心，列

12、方程 解方程求未知数再研究CD杆 例 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？例：边长为a 的等边三角形水平板上作用着力偶 M，並用六根二力杆支撑，板自重不计，求：各杆的内力。解:F1F3F6F4F5F2MAD =0, F5cos300acos300+M=0; MFB =0, F6cos300acos300+M=0; MEC =0, F4cos300acos300+M=0; MCA =0, F5 asin600 F2 sin300asin600=0; MAB =0, F3 asin600 F6 sin300asin60

13、0=0; MBC =0, F1 asin600 F4 sin300asin600=0; 例：水平圆盘绕AB转轴，A点为轴承，B点止推轴承，已知：P=100 kN，r1=0.2 m , r2= 0.5 m。a =1 m , = 300， =600，求：平衡时 F 力与所有约束反力值yxz解：对圆盘连同转轴 F 力可分解成Mx =0FAy =63.6kNMy =0FAx = 7.32kNFx=Fcos600cos300=34.64kNFy=Fcos2600= -20kNFz= Fsin600= -69.28kNMZ =0, Pr1Fcos600r2 = 0; 3aFAx+aFx-r2sin300F

14、z=03aFAy+2aP+r2cos300Fz-aFy =0F=80kNFi x=0, FAx+FBx+34.64=0;Fi y=0FBx= 17.32kN;FBy=56.6kN;Fiz =0FBz=69.28kN;yxz FBz-69.28=0FAy+FBy-20P=0FAy =63.6kNFAx = 7.32kNFx=Fcos600cos300=34.64kNFy=Fcos2600= -20kNFz= Fsin600= -69.28kNF=80kN例：水平圆盘绕AB转轴，A点为轴承，B点止推轴承，已知：P=100 kN，r1=0.2 m , r2= 0.5 m。a =1 m , = 300

15、， =600，求：平衡时 F 力与所有约束反力值1、构架若干杆件和若干约束经过连接，形成能承受载荷的几何不变的组合体2、几何不变体系 处于空间的物体，具有六个自由度，要约束这个物体，必要条件是约束的未知量总数必须等于六个 除此之外还必须满足以下充分条件（教材63页） 1）、各约束力不应全交于一点（否则可绕交点转动） 2）、各约束力不应全交于一线（否则可绕交线转动） 3）、各约束力不应全平行（否则可在垂直约束力的方向上作平移） 4）、各约束力不应全在同一个平面内（对空间力系而言） 3-2 构架形成的基本规律 静定与超静定问题的概念一、构架形成的基本规律 几何不变体系对由 n 个物体组成的系统而言，每个物体至少必须受到满足上述充分条件的六个约束，整个物体系统受到的内、外约束总和必须等于6n个，这样就形成几何不变体系。1、静定：满足必要与充分条件组成的构架成为静定构架 此时结构的未知力个数等于有效静力方程的个数，只利用有效 静力方程就可以求出所有的未知力。2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个 数，只利用静力方程