极坐标学案与练习

1、坐标系与参数方程一、知识要点1.极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做_，从O点引一条射线Ox，叫做_，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的 _，记为，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做 点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，). (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(，)，则它们之间的关系为x_，

2、y_.另一种关系为2_，tan _.2.简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程 (R)表示过极点且与极轴成角的直线；cos a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；sin b表示过eq blc(rc)(avs4alco1(b，f(,2)且平行于极轴的直线； sin()1sin(1)表示过(1，1)且与极轴成角的直线方程.(2)圆的极坐标方程2rcos 表示圆心在(r,0)，半径为|r|的圆；2rsin 表示圆心在eq blc(rc)(avs4alco1(r，f(,2)，半径为|r|的圆；r表示圆心在极点，半径为|r|的圆.3.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x

3、，y都是某个变量t的函数eq blcrc (avs4alco1(xf(t)，,yg(t).)并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的_，其中变量t称为_.4.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为_(t为参数).(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为_(为参数).(3)椭圆方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的参数方程为_(为参数).(4)抛物线方程y22px(p0)的参数方程为_(t为参数).二、典型例题题型一直角坐标与极坐标的互化例1(1)把点M的极坐标eq blc(r

4、c)(avs4alco1(5，f(,6)化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(eq r(3)，1)化成极坐标.题型二直角坐标方程与极坐标方程的互化例2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程.题型三曲线的极坐标方程的应用例3O1和O2的极坐标方程分别为4cos ，4sin .(1)把O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过O1，O2交点的直线

5、的直角坐标方程.题型四参数方程与普通方程的互化例4把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)eq blcrc (avs4alco1(x1f(1,2)t，,y2f(r(3),2)t)(t为参数)； （2）eq blcrc (avs4alco1(xf(3k,1k2)，,yf(6k2,1k2) (k为参数)；(3)eq blcrc (avs4alco1(x1sin 2，,ysin cos ) (为参数)； (4)eq blcrc (avs4alco1(xf(1t2,1t2)，,yf(t,1t2)(t为参数).题型五参数方程的应用例5过点Peq blc(rc)(avs4alco1(f

6、(r(10),2)，0)作倾斜角为的直线与曲线x22y21交于点M、N，求PMPN的最大值及相应的的值.题型六极坐标、参数方程综合应用例6在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为eq blcrc (avs4alco1(xr(3)cos ，,ysin )(为参数).(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(,2)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.坐标系与参数方程巩固练习1在极坐标系中，已知圆2c

7、os 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值.2.从极点O作射线与另一直线cos 4相交于点M，在OM上取一点P，使OMOP12，求点P的轨迹方程.3.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆eq blcrc (avs4alco1(x5cos ，,y3sin )(为参数)的右焦点，且与直线eq blcrc (avs4alco1(x42t，,y3t) (t为参数)平行的直线的普通方程.4.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22eq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标

8、方程.5.已知直线C1：eq blcrc (avs4alco1(x1tcos ，,ytsin )(t为参数)，圆C2：eq blcrc (avs4alco1(xcos ，,ysin )(为参数).(1)当eq f(,3)时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.6.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq blcrc (avs4alco1(x2cos ，,y22sin )(为参数).M是C1上的动点，P点满足eq o(OP,sup6()2eq o(OM,sup6()，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线eq f(,3)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.7.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq blcrc (avs4alco1(x3f(r(2),2)t，,yr(5)f(r(