高等数学第四章不定积分（章节课程）

1、第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 1教书育人4.1 不定积分的概念与性质定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数， 如果在该区间上有 或 ，则称 F (x)是 f (x) 在这个区间上的一个原函数。 4.1.1 原函数2教书育人问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3教书育人定理. 原函数都在函数族( C 为任意常数 ) 内 .证: 1)又知故即属于函数族机动 目录 上页 下页 返回 结束 即4教书育人

2、定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号; 被积函数; 被积表达式. 积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数不可丢 !例如,记作4.1.2不定积分的概念5教书育人4.1.3 不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线 . 6教书育人例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有因此所求曲线为机动 目录 上页 下页 返回 结束 7教书育人例2. 质点在距地面处以初速力,

3、 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻 t 质点所在位置为则(运动速度)(加速度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 再由此求8教书育人先求由知再求于是所求运动规律为由知机动 目录 上页 下页 返回 结束 故9教书育人性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。4.1.4 不定积分的简单性质10教书育人性质3 积分形式不变性 如果 u为 x 的任何 可微函数，则有性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和11教书育人性

4、质5 常数因子可从积分号中提出k 是常数且 k 012教书育人4.2 不定积分的 基本公式( k 为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 13教书育人或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 14教书育人机动 目录 上页 下页 返回 结束 15教书育人 例1 16教书育人 例217教书育人例3. 求解: 原式 =例4. 求解: 原式=18教书育人例5. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 19教书育人例6. 求解: 原式 =20教书育人例7. 求解: 原式 =注意方法21教书育人例8. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意方法22教书育人 例1 23教书育

5、人 例224教书育人例3. 求解: 原式 =例4. 求解: 原式=25教书育人例5. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 26教书育人例6. 求解: 原式 =27教书育人例7. 求解: 原式 =注意方法28教书育人例8. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意方法29教书育人内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 30教书育人思考与练习1. 若提示:机动

6、目录 上页 下页 返回 结束 31教书育人2. 若是的原函数 , 则提示:已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 32教书育人3. 若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示:已知求即B?或由题意其原函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 33教书育人4. 求下列积分:提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 34教书育人5. 求不定积分解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 35教书育人6. 已知求 A , B .解: 等式两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 36教书育人二、第二类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.3 两种积分法 第四章

7、37教书育人 4.3.1. 换元积分法 复合函数的微分法大大拓展了求导数（或求积分）的范围。同样，将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法换元积分法，按其应用方法得不同可分为两种换元法。 38教书育人 1 第一换元积分法 如果不定积分 用基本积分法不易求得，但被积表达式可分解为 作变量代换 ，得到 则 而 可以求出，不妨设 39教书育人这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分 。 定理（第一类换元积分法） 设 ，且 在区间 I 可微，则 用第一换元积分法求不定积分 ，分为两步完成，第一步从 f (x)中分出一个因子 ，使 与dx凑成u的微分 du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数

8、，即例40教书育人第二类换元法第一类换元法基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,则有41教书育人一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即, 凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 42教书育人例1. 求解:原式 =注: 当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 43教书育人例2. 求解:想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 44教书育人例3. 求想到解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 45教书育人例4. 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似46教书育人例5. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 47教书育人常用的几种

9、配元形式: 万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 48教书育人例6. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 49教书育人例7. 求解: 原式 =例8. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 50教书育人例9. 求解法1解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 51教书育人例10. 求解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 52教书育人解法 2 同样可证或机动 目录 上页 下页 返回 结束 53教书育人例11 答案的另一种形式54教书育人例12. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 55教书育人例13 . 求解:机动 目录 上

10、页 下页 返回 结束 56教书育人例14. 求解:原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 57教书育人例15. 求解: 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 58教书育人例16. 求解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 59教书育人小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如60教书育人思考与练习1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 61教书育人2. 求提示:法1法2法3作业 目录 上页 下页 返回

11、 结束 62教书育人 由例子看出，要想熟练运用凑积分法，记为一些常见函数的微分是很重要的，例如 等等。 例1 求 解 把被积式中ln2x看成lnx的函数，剩下的因式 恰好是lnx的微分dlnx ，令lnxu ，则 ，于是63教书育人 把 u lnx代入上式右端，得到 例2 求 解 把被积式中 看成 的函数，剩下部分 乘上 可以凑成 的微分 ，令 u ，则 ，于是 把 代入上式右端，得到64教书育人 例3 求 解 解 利用三角函数积化和差公式，我们有于是 例4 求 65教书育人 例5 求 解66教书育人2 第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易

12、求,则得第二类换元积分法 .难求，67教书育人定理2 . 设是单调可导函数 , 且具有原函数 ,证:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式68教书育人 定理（第二换元积分法） 则 设函数 ，在区间 I 可微且存在反函数 ，如果 69教书育人 例1 求 解 被积函数中含有根式 ，令 x = t 2 (t 0 )，则 dxd t 22 t d t 于是 70教书育人 例2 求 解 令 u = ex ，或 x = lnu ， ，于是此题也可用“加减项法”。得到的结果是一样的。71教书育人 例3 求 解 例4 求 解72教书育人 例5 求 解 例6 求 解73教书育人 例7 求 解74教

13、书育人例8. 求解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 75教书育人例9. 求解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 76教书育人例10. 求解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 77教书育人令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 78教书育人说明:被积函数含有时, 除采用采用双曲代换消去根式 ,所得结果一致 . 或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外, 还可利用公式79教书育人原式例11. 求解: 令则原式当 x 0 时, 类似可得同样结果 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 80教书育人小结:1. 第二类换元法常见类型: 令令令或令或令或

14、机动 目录 上页 下页 返回 结束 81教书育人机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充(7) 倒数代换 令82教书育人机动 目录 上页 下页 返回 结束 83教书育人解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12. 求例13. 求解:84教书育人例14. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15. 求解: 原式85教书育人例16. 求解: 令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 86教书育人例17. 求解: 原式令例16 目录 上页 下页 返回 结束 87教书育人思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令机动 目录 上页 下页

15、 返回 结束 88教书育人2. 已知求解: 两边求导, 得则(代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 89教书育人备用题 1. 求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 90教书育人2.求不定积分解：利用凑微分法 ,原式 =令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 91教书育人分子分母同除以3.求不定积分解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 92教书育人第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章 93教书育人例1. 求解: 令则 原式思考: 如何求提示: 令则原式机动 目录 上页 下页 返

16、回 结束 94教书育人例2. 求解: 令则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 95教书育人例3. 求解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 96教书育人例4. 求解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 97教书育人例4. 求解: 令, 则 原式再令, 则故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 98教书育人解题技巧:把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为例5. 求解: 令, 则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数对: 对数

17、函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数99教书育人例6. 求解: 令, 则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 100教书育人例7. 求解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 令101教书育人例8. 求解: 令则 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 102教书育人例9. 求解: 令则得递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 103教书育人说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 104教书育人例10. 证明递推公式证:注:或机动 目录 上页 下页 返回 结束 105教书育人说明:分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;

18、2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例4 目录 上页 下页 返回 结束 106教书育人例11. 已知的一个原函数是求解:说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.机动 目录 上页 下页 返回 结束 107教书育人例12. 求解法1 先换元后分部令即则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 108教书育人解法2 用分部积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 109教书育人内容小结 分部积分公式1. 使用原则 :易求出,易积分2. 使用经验 :“反对幂指三” , 前 u 后3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出机动 目

19、录 上页 下页 返回 结束 110教书育人例13. 求解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 111教书育人思考与练习1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?得 0 = 1答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 112教书育人2. 求提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 113教书育人2.求不定积分解：方法1(先分部 , 再换元)令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 114教书育人方法2(先换元,再分部)令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 115教书育人3.求不定积分解：令则, 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.116教书育人4.求不定积分解：原式 =前式令; 后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束 117教书育人习题课一、 求不定积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第四章 118教书育人一、 求不定积分的基本方法1.