高一数学必修23.1直线的倾斜角和斜率

1、温故知新：温故知新：倾斜角与斜率倾斜角与斜率这些图像你还认得吗？这些图像你还认得吗？xyoxyoxyo直线直线双曲线双曲线抛物线抛物线平面直角坐标系平面直角坐标系倾斜角 在直角坐标在直角坐标系中，过一点可系中，过一点可以作无数条直线以作无数条直线，它们的共同点，它们的共同点是经过同一点，是经过同一点，不同点是倾斜程不同点是倾斜程度不同。度不同。XYO直线的倾斜角直线的倾斜角倾斜角和斜率倾斜角和斜率xyol 我们取我们取x x轴为轴为基准，基准，x x轴正向轴正向与直线与直线L L向上的向上的方向之间所成的方向之间所成的角角叫做叫做直线直线L L的倾斜角。的倾斜角。倾斜角一、直线的倾斜角1、直线

2、倾斜角的定义： 当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角倾斜角注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。x0y例例1.1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )练习巩固倾斜角的概念练习巩固倾斜角的概念： ayxoAyxoaBayxoCyxaoDA 注注: (1)(1)倾斜角的取值范围是倾斜角的取值范围是oo1800(2)(2)倾斜角直观地表示了倾斜角直观地表示了直线对直线对x轴正方向轴正方向的倾斜程度。的倾斜程度。(3)(3)直线的横截距是直线与直线的横截距是直线与x x轴交点的横坐标，轴交点的横

3、坐标，直线的纵截距是直线与直线的纵截距是直线与 y y 轴交点的纵坐标。轴交点的纵坐标。由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为：)180,0oo xyoxyo=90o=0oxyol l1 1l l2 2l l3 3看看这三条直线，它们倾斜角看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？的大小关系是什么？想一想想一想xyol l1 1l l2 2l l3 3想一想想一想1l2l3l例例2.看看这三条直线，它们倾斜角的看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？设大小关系是什么？设 、 、分别为分别为 、 、231123poyxlypoxlpoyxlpoyxl规定：当直线和规

4、定：当直线和x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 它的倾斜角为它的倾斜角为02 2、直线的倾斜角范围的探索直线的倾斜角范围的探索由此我们得到直线倾斜角由此我们得到直线倾斜角的范围为：的范围为：)180,0oo .Y.YXpOXpOX.pYOX.pYO（1）（2）（4）（3）900oo009000018090在平面直角坐标系中，对于一条与在平面直角坐标系中，对于一条与x x轴相轴相交的直线，如果把交的直线，如果把 x x 轴绕着交点按逆时轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角就叫做正角就叫做直线的直线的倾斜角倾斜角。 直线与直线与x x轴平轴平行或

5、重合时，规行或重合时，规定其倾斜角为定其倾斜角为0 00 0。xylB想一想想一想你认为下列说法对吗？你认为下列说法对吗？1、所有的直线都有唯一确定的倾斜、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。对错3、直线倾斜角的意义直线倾斜角的意义 体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。 倾斜角倾斜程度 2l3lx1lyo倾斜角相同能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线4 4、如何才能确定直线位置、如何才能确定直线位置？一点+倾斜角 确定一条直线 过一点且倾

6、斜角为 能不能确定一条直线？ a（两者缺一不可） 能 x0y定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：tank2、直线的斜率、直线的斜率的正切来表示斜率？思考：为什么用ABCx0y2意义：斜率表示倾斜角不等于意义：斜率表示倾斜角不等于90 0的直线对于的直线对于x轴的倾轴的倾斜程度。斜程度。想一想想一想你认为下列说法对吗？你认为下列说法对吗？1、所有的直线都有唯一确定的倾斜、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。一条直线。直线的斜率直线的斜率倾斜角和斜率倾斜角和斜率当倾

7、斜角当倾斜角不是不是9090o o时，它的倾斜角的正切时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。用叫做这条直线的斜率。用k k表示，即：表示，即： tan k倾斜角相同的直线，斜率相同倾斜角相同的直线，斜率相同倾斜角直线的斜率直线的斜率倾斜角和斜率倾斜角和斜率 tan k时时当当00900 直线的斜率是正数直线的斜率是正数时时当当0018090 直线的斜率是负数直线的斜率是负数直线的斜率是直线的斜率是零零时时当当00 直线的斜率是直线的斜率是不存在不存在时时当当090 牛刀小试牛刀小试已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率(1) 300(2) 450(3) 1200

8、3330tan)1(0 k2245tan)2(0 k3)60180tan(120tan)3(000 k想一想想一想我们知道，两点也可以唯一确定我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。一条直线。如果知道直线上的两点，怎么如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率样来求直线的斜率(倾斜角倾斜角)呢？呢？所以我们的问题是：所以我们的问题是：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高量坡度（比）坡度（比）日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量前进量前进量升高量升高

9、量坡度（比）坡度（比）二、直线的的斜率如上面例子图中，我们经常用如上面例子图中，我们经常用“升高量与前进量的比升高量与前进量的比”表示倾斜面的表示倾斜面的“坡度坡度”（倾斜程度），即（倾斜程度），即前进量升高量坡度 升高量前进量A B C D 设直线的倾斜程度为K ACABACkADBDADktantan1、直线斜率的定义：例如： 30a3330tank45a145tank60a360tank定义定义：倾斜角不是倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切的直线，它的倾斜角的正切 叫做这条直线的斜率。斜率通常用叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：表示，即：00tan ,0180k经过两点经过两

10、点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直的直线的斜率为：线的斜率为：1212xxyyk )(21xx (3)(3)当直线与当直线与x x轴平行或重合时轴平行或重合时, ,该公式还该公式还成立吗？成立吗？(1)(1)公式与公式与P P1 1.P.P2 2两点坐标的顺序有关吗？两点坐标的顺序有关吗？(2)(2)公式与公式与P P1 1.P.P2 2两点的位置有关吗？两点的位置有关吗？倾斜角X.pYO（1）K0X.pYO（2）K0k不存在不存在k0递增递增不存在不存在无无k0k0、k0k2m2时，时，k0k0当当 m2m2时，时，k0k0 xpyO（1）.kk3k13.3.直线的倾斜角为直线的倾

11、斜角为，则直线的，则直线的斜率为斜率为tantan？4.4.任意直线有倾斜角，则任意直线任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？都有斜率？80数学应用如果直线如果直线l上一点上一点P P沿沿x轴方向向右平移轴方向向右平移2 2个单位个单位, ,再沿再沿y轴方向向上平移轴方向向上平移4 4个单位后个单位后仍在直线仍在直线l上上, ,那么该直线的斜率为多少那么该直线的斜率为多少? ?问题问题6：斜率为斜率为2问题问题7：直线直线l的斜率为的斜率为2,2,将将l向左平移向左平移1 1个单位个单位得到直线得到直线l1, ,则则l1的斜率为多少的斜率为多少? ?斜率为斜率为2问题问题8： 平行直线的斜率之

12、间有怎样的关系平行直线的斜率之间有怎样的关系? ?斜率相等斜率相等 或斜率都不存在或斜率都不存在81 斜率为斜率为2的直线，经过点的直线，经过点(3,5),(a,7),(3,5),(a,7),(-1(-1，b)b)三点，则三点，则a,ba,b的值为的值为( )( )82 已知三点已知三点A(-3,-3),B(-A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7)1,1),C(2,7),求求K KABAB，K KBCBC问题问题9： 如果如果K KABAB=K=KBC,BC,那么那么A A、B B、C C三点有怎样的关系？三点有怎样的关系？83判断下列三点是否在同一直线判断下列三点是否在同一直线上上

13、(1) A(0,2), B(2,5), C(3,7) (2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5)84 求过点求过点M(0,2)M(0,2)和和N(2,3mN(2,3m2 2+12m+13)(m+12m+13)(mR)R)的直线的直线l的斜率的斜率k的取值范围。的取值范围。问题问题10：直线斜率的大小与直线的倾斜直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？程度有什么联系？(课后研究课后研究)解解:022)13123(2 mmk21 2111232 mm21)2(32 m21)2(232 m由斜率公式得直线由斜率公式得直线l l 的斜率的斜率21 kk的的取取值值范范围围为为853.平

14、面解析几何的本质是平面解析几何的本质是 用代数方用代数方法研究图形的几何性质，体现了数法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。形结合的重要数学思想。1.两个概念两个概念直线的斜率、倾斜角；直线的斜率、倾斜角；2.两个问题两个问题- （1）已知直线上两点如何求斜率；）已知直线上两点如何求斜率；（2）已知一点和斜率如何画出直线。）已知一点和斜率如何画出直线。86难点展示难点展示：例题一：直线例题一：直线 l 过点过点M(-1,1)M(-1,1)且与以且与以P(-2,2)Q(3,3)P(-2,2)Q(3,3)为两端点的线段为两端点的线段PQPQ有公有公共点共点, 求直线求直线 l 的斜率

15、的取值范围。的斜率的取值范围。例例2。已知直线的斜率。已知直线的斜率K的变化范围为（的变化范围为（ 1，1， 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 的取值范围。的取值范围。分析：分析： 因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。情况讨论。当当K （ 1，0）时）时,),43( 当当K 0，1 时，时，4,0 解：解： 直线斜率直线斜率K的变化范围（的变化范围（ 1，1=（ 1，0） 0，1，所以直线的倾斜角范围为所以直线的倾斜角范围为),43(4,0 _11)4(_10)3(

16、_135,45)2(_60,451.3的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角，的的取取值值范范围围时时，则则倾倾斜斜角角，的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率的的取取值值范范围围时时，则则斜斜率率）（，斜斜率率为为的的倾倾斜斜角角为为已已知知直直线线 kkkkkl)3, 1 ), 1 )1,( 45,0 )180,13545,0 直线 的倾斜角 =30，直线 ， 求 , 的斜率。11l12ll 1l2l解： 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为0002120309033tan11k1l2l2l3tan22koxy2l21l1练习练习),5|(|,5cosaa满足已知直线的倾斜角.求该直线的斜率

17、解解:;,90, 0cos,0) 1 (0不存在时当ka), 0, 5|,0) 2(aa时当,525251sin22aa.25cossintan2aak;0,在时所求直线的斜率不存当所以a.2502aaa 时所求直线的斜率为当推导二推导二:yolx1P2PP的方向如图设向量21PP),(,121221yyxxPP则向上,21PPOP过原点作向量),(1212yyxxP的坐标为则点,tan1212xxyyk由正切函数的定义得.12的结果的方向向上时推得同样当向量PP),(.12122121yyxxPPPP为直线的方向向量及与它平行的向量都称直线上的向量练习：已知直线已知直线l的一个方向向量的一个

18、方向向量解：解：2323k)3 , 2(v，求直线的斜率。，求直线的斜率。则直线的斜率为则直线的斜率为 :23k 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求，求直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是锐角还是钝角),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C解：直线解：直线AB的斜率的斜率;713421 ABk;2142)4(011 BCk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率; 1333021 CAk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的

19、倾斜角为钝角0 ABk0 CAk0 BCk求求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：方法：先用经过两点的直线的斜率公方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率，式求斜率， 再求倾斜角。再求倾斜角。0 ABk0 BCk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk0 BCk0 CAk0 ABk例例2的和求经过两点)(2 ,() 1 , 2(21RmmPP.,的取值范围的倾斜角并求出的斜率直线ll解解:. 2,2) 1 (21xxm时当;2倾斜角,因此直线的斜率不存在轴垂直于直线xl,21,2) 2(mklm的斜率直线时当, 0,2km时当).2, 0(, 0,2km时当).,2(已知