第三章 水动力学基础

1、1 描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法2 欧拉法的若干基本概念欧拉法的若干基本概念3 恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程4 恒定总流的能量方程恒定总流的能量方程5 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程第三章第三章 水动力学基础水动力学基础 按运动要素是否随时间变化，可把液流分为运动要素不随时间变化的恒定流恒定流和随时间变化的非恒定流。非恒定流。 按运动要素与空间坐标的关系，可把液流分为一元流一元流、二元流二元流和三元流。三元流。 运动要素：流速、加速度、动水压强运动要素：流速、加速度、动水压强等。 研究液体的运动规律，就是要确定各运动要素随时间和空间的变化规律及其相互间的关系。

2、 运动要素仅随一个坐标运动要素仅随一个坐标(包包括曲线坐标括曲线坐标)变化的液流称为一元变化的液流称为一元流。流。由于三元流动的复杂性，常简化为二元流(运动要素是两个坐标的函数)或一元流来处理。 为了摆脱 粘性 在分析实际液体运动时在数学上的某些困难，我们先以忽略粘性的 理想液体理想液体 为研究对象，然后在此基础上进一步研究实际液体（修正）。 31 描述液体运动的两种方法描述液体运动的两种方法 1拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法拉格朗日法着眼于液体各质点的运动情况，追踪每一质点，研究各质点的运动历程，通过综合足够多质点的运动情况来获得整个液体运动的规律。 变量a,b,c,t 统称为拉格朗日变量

3、拉格朗日变量。对于不同的运动质点，起始坐标a,b,c不同。 用欧拉法描述液体运动时，运动要素运动要素是空间坐标x ,y，z与时间变量 t 的连续可微函数连续可微函数，变量x, y，z, t 统称为欧拉变量欧拉变量。 2欧拉法欧拉法 欧拉法欧拉法只着眼于液体经过流场(即充满运动液体质点的空间)中空间各固定点时的运动情况，而不过问这些运动情况是由哪些质点表现出来的，也不管那些质点的来龙去脉。各空间点的压强所组成的压强场可表示为：( , , , )pp x y z t当地加速度当地加速度：固定点速度随时间的变化（第一项）。迁移加速度迁移加速度：同一时刻因地点变更形成的加速度（括号内项）。 用欧拉法描

4、述液体运动时，液体运动质点的加速度是当地加速度与迁移加速度之和。 各空间点的流速所组成的流速场可表示为： 加速度加速度应是速度对时间的全导数。全导数。当地加速度当地加速度: 固定点速度随时间的变化， 第一项：迁移加速度迁移加速度:等号右边括号内项反映了在同一时刻因地 点变更而形成的加速度。 /,/,/yxzututut 一条某时刻的流线表明了该时刻这条曲线上各点的流速方向。一条某时刻的流线表明了该时刻这条曲线上各点的流速方向。 1 迹线和流线迹线和流线迹线迹线则是同一质点在一个时段内运动的轨迹线。流线流线 是某一时刻在流场中画出的一条空间曲线，在该时刻，曲线上所有质点的流速矢量与这条曲线相切，

5、流线流线是同一时刻与许多质点的流速矢量相切的空间曲线。 32 欧拉法的若干基本概念欧拉法的若干基本概念 流线的形状与固体边界的形状有关，离边界越近，受边界的影响越大。 在运动液体的整个空间，可绘出一系列流线，称为流线簇。流线簇。流线簇构成的流线图称为流谱。 流线的特征：流线的特征： (1)流线不能相交，且流线只能是一条光滑曲线。 (2)流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场，这些流线构成某一时刻流场内的流谱。 (3)在恒定流条件下，流线的形状、位置以及流谱不随时间变化在恒定流条件下，流线的形状、位置以及流谱不随时间变化，且流线与迹线重合，且流线与迹线重合。 (4)对于不可压缩液体，流线簇的

6、疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小。流线密的地方速度大，而疏的地方速度小。2 流管、元流、总流、过水断面流管、元流、总流、过水断面(1) 流管流管 在流场中通过任意封闭曲线(非流线)上各点作流线而 构成的管状面。(2) 元流元流 又称微小流束，是充满于流管中的液流。 元流的极限是流线，恒定流时流线的形状与位置不随时间变 化，恒定流时流管及元流的形状与位置也不随时间变化。(3) 总流总流 许多元流的有限集合体。(4) 过水断面过水断面 与元流或总流所有流与元流或总流所有流 线正交的横断面线正交的横断面。 (2)断面平均流速断面平均流速 v v：假想均匀分布在过水断面上的流速假想均匀分布在过

7、水断面上的流速。3流量与断面平均流速流量与断面平均流速(1)流量流量Q：单位时间内通过过水断面的液体体积。总流的流量等于所有元流的流量之和(m3/s,l3/s)。QvududQv 4均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流 若液流中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变，这若液流中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变，这种流动称为均匀流，否则称非均匀流。种流动称为均匀流，否则称非均匀流。 均匀流中各流线是彼此平行的直线均匀流中各流线是彼此平行的直线，各过水断面上的流速分布沿流程不变，过水断面为平面。 例例: 液体在 等截面等截面 直管直管 中的流动，或液体在断面形式与大小沿程不变的长直顺坡渠道中的流动，都是

8、均匀流。 在恒定流时，当地加速度等于零；在恒定流时，当地加速度等于零； 在均匀流时，则是迁移加速度等于零在均匀流时，则是迁移加速度等于零。 渐变流渐变流(又称缓变流)：指各流线接近于平行直线的流动，即渐变流各流线之间的夹角很小，流线的曲率半径 R 很大。 否则称为 急变流急变流。 渐变流的极限情况是流线为平行直线的均匀流渐变流的极限情况是流线为平行直线的均匀流 5，渐变流与急变流渐变流与急变流 非均匀流中，流线多为彼此不平行的曲线，按流线图形沿流程变化的缓急程度，又可将非均匀流分为渐变流和急变流两类。渐变流过水断面具有的两个性质： (1) 渐变流过水断面近似为平面；(2) 恒定渐变流恒定渐变流

9、 过水断面上过水断面上，动水压强近似，动水压强近似 地按静水压强分布。地按静水压强分布。Cpz 1） 表面力 液柱上、下底面 的动水压力 pd与(p+dp)d 液柱侧面 的动水压力及摩擦力趋于零； 液柱底面的 摩擦力，与液柱垂直。 取过水断面上任意两相邻流线任意两相邻流线间的微小液柱间的微小液柱。轴向受力分析：2） 质量力 自重分力：ddn cos 惯性力：恒定渐变流条件下略去不计。()coscos0pdpdp dd dnodndzdpdzpzC 因所以即对恒定均匀流，无加速度，惯性力等于零。Cpz沿沿 n n 方向：流速、加速度分量可以忽略，故沿方向：流速、加速度分量可以忽略，故沿 轴向轴向

10、 的各表面力与质量力之代数和等于零。的各表面力与质量力之代数和等于零。恒定渐变流渐变流中，同一过水断面上同一过水断面上的动水压强近似近似按地静水压强分布恒定均匀流均匀流中，同一过水断面上同一过水断面上的动水压强精确精确地按静水压强分布恒定渐变流中，同一过水断面上恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布近似按地静水压强分布恒定均匀流中，同一过水断面上恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布精确地按静水压强分布Cpz对恒定均匀流，同一过水断面上: 活学活用活学活用1AB?ABABABppzzCpp对于断面2CD?CDCDCDppzzCpp对于断面?CBACCBB

11、AApppCzpzpzp33 恒定总流的连续性方程恒定总流的连续性方程考虑到： (1)在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变；在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变； (2)不可能有液体经元流侧面流进或流出；不可能有液体经元流侧面流进或流出； (3)液流为连续介质，元流内部不存在空隙。液流为连续介质，元流内部不存在空隙。 根据质量守恒原理质量守恒原理， 对不可压缩液体： 对于总流 引入断面平均流速后得121 112 2212112211221122u du dudu dQudu dvvQ常数常数常数常数 若沿程有流量流进或流出,则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。 其总流的连

12、续性方程可写为：？活学活用活学活用132113322123112233QQQvvQQQvv或v或v下式各对应哪个图？下式各对应哪个图？34 恒定总流的能量方程恒定总流的能量方程 1恒定 元流元流 的能量方程 (1) 理想液体理想液体 恒定元流的能量方程沿流线取一长度为沿流线取一长度为ds、过水断面积为、过水断面积为d的微小元流段。的微小元流段。作用在 沿流线方向沿流线方向 的外力有：1） 进口断面的压力 pd；2）出口断面的压力(p+dp)d，3）作用在元流段的重力在流线 方向的分力dGcos，4）对于理想液体，作用在元流理想液体，作用在元流 段侧表面的切向力等于零。段侧表面的切向力等于零。u

13、dugdzdpddudtdsddsdzdsddpd1:得同除以其中 dMdds dG=dds cos=dz/ds ds/dt=u 在 流线方向流线方向 应用 牛顿第二定律牛顿第二定律:dtdudMdGddpppdcos)( 21()2dpdzuduguudud分析 其中 222221122121()02()02:222dpudzdgpud zgpuzCgpupuzzgg对 不 可 压 缩 液 体常 数 ， 故顺 流 线 积 分即 同 一 流 线 上 的 任 意 两 点 有 :2211221222pupuzzgg 上式中 各项的 单位单位 均是 长度单位。长度单位。 理想液体 恒定元流的能量方程

14、又称其为伯努利方程伯努利方程（瑞士）。它反映反映了重力场中理想液体沿元流理想液体沿元流(或者说沿流线或者说沿流线)作恒定流动时，作恒定流动时，位置标高位置标高 z，动水压强，动水压强 p 与流速与流速 u 之间的关系。之间的关系。gupzgupz2222222111z+p/: : 单位液体单位液体所具有的势能势能 单位重量液体单位重量液体所具有的机械能机械能 （势能势能与动能动能之和为机械能）机械能）gupz22单位重量液体单位重量液体相对于某基准面所具有的位能位能(重力势能) 单位重量液体单位重量液体所具有的压能压能(压强势能) 单位重量液体单位重量液体所具有的动能动能从物理意义上看从物理意

15、义上看:MgMgzz MgpMgp)(MgMugu22)21(2gupzgupz2222222111 从几何意义上看从几何意义上看:z：称位置水头位置水头,元流过水断面上某点相对于基准面的位置高度位置高度；p ：称压强水头压强水头，p为相对压强时，p/也称测压管高测压管高度; u2/2g： 称流速水头流速水头，即液体以速度u垂直向上喷射到空气中时 所达到的高度(不计射流本身重量及空气对它的阻力)。通常p为相对压强为相对压强， z+p 为为 测压管水头测压管水头， 叫做叫做 总水头总水头。gupz22 为元流中单位重量液体从ll过水断面流至2-2过水断面的机械能损失(称为元流的水头损失).wh

16、元流各过水断面的测压管水头连线称 测压管水头线测压管水头线。 总水头的连结称总水头线总水头线。 这两条线清晰地表示了液体三种能量(位能、压能和动能)及其组合沿程的变化过程。whgupzgupz2222222111(2)实际液体实际液体恒定 元流元流的能量方程 实际液体沿元流单位流程上的水头损失称为总水头总水头线坡度线坡度 (或称为 水力坡度水力坡度) 理想液体，理想液体，J=0，理想液体恒定元流的总水头线是一条水平直线。 实际液体，实际液体，J 0，实际液体恒定元流的总水头线总是沿程下降的。dlgupzddldhJw)2(2元流单位流程上的势能(即测压管水头)减少量称为 测压管坡度测压管坡度。

17、 均匀流均匀流时，J=Jp，即均匀流的水力坡度与测压管坡度相等。流速u沿程不变：)()2(2pzdgupzddlpzdJp)( 测压管水头线沿程测压管水头线沿程 可升可升(J p0)； 也可不变也可不变(Jp=0)。whgupzgupz2222222111 实际液体实际液体恒定 元流元流的能量方程式乘以dQ，得 单位时间单位时间 过 元流元流 两过水断面的全部液体的能量关系式 ：1）恒定总流能量方程推导2恒定总流的能量方程恒定总流的能量方程 dQhdQgupzdQgupzw)2(222222111）（ 在总流过水断面上积分在总流过水断面上积分 QQwQdQhdQgupzdQgupz222221

18、11)2(2(） 单位时间内单位时间内 通过总流过水断面的液体势能的总和。 QQwQQQdQhdQgudQpzdQgudQpz222221112)(2(）均匀流或渐变流断面上，各点的均匀流或渐变流断面上，各点的 z+p 等于或近似等于常数等于或近似等于常数。QpzdQpzdQpzQQ)()(）(QpzdQ关于）112222322222QdQu du duuuvdQuddQgggg22QudQg关于单位时间内单位时间内 通过总流过水断面的液体动能的总和。QvQvvvduvvduuvuvvduvdu22223322333)(30)()(33)(=1. .051. .10。工程计算中常取。工程计算中

19、常取=1。 关于关于 单位时间内单位时间内 总流11与22过水断面间的机械能损失：机械能损失：可用断面间的 平均机械能损失平均机械能损失( (称为总流的水头损失) hw 来表示：积分结果：积分结果： QhgQvQpzgQvQpzw2)(2)(2222221111wwQhdQhQ最终，同除以Q，得 实际液体恒定总流能量方程实际液体恒定总流能量方程。实际上为 两断面上 单位重量液体单位重量液体 平均能量平均能量 的关系。 从物理意义上看从物理意义上看: z： 断面上断面上 任一点任一点 单位重量液体单位重量液体相对于某基准面所具有的位位 能能(重力势能)，p/：断面上断面上 同一点同一点 单位重量

20、液体位重量液体所具有的压能压能(压强势能)； 断面上 单位重量液体单位重量液体所具有的动能的平均值动能的平均值；whgvpzgvpz222222221111gv22QhgQvQpzgQvQpzw2)(2)(2222221111whgvpzgvpz222222221111写写1-11-1与与2-22-2断面间的方程：断面间的方程：1-1上选那一点？2-2上选那一点？分析图中分析图中1、2两断面中各点的两断面中各点的z z，p/p/？ 恒定均匀流，同一过水断面上Cpz活学活用实际液体几个能量方程的比较、区别：2）实际实际 恒定元流（有水头损失）1) 理想理想 恒定元流：whgupzgupz2222

21、222111gupzgupz22222221114 4）实际恒定总流的实际 应用式应用式（总流两断面内的单位重量液体总流两断面内的单位重量液体）whgvpzgvpz2222222211113）实际恒定总流（单位时间内过总流两断面的全部液体）QhgQvQpzgQvQpzw2)(2)(2222221111活学活用：活学活用：1两图中的1-2断面间都可以写能量方程？2 能量方程中，断面上的代表点取哪点？活学活用：写出分岔管的总流能量方程？211 112233 322221 231 32()()22wwpvzgpvpvzhzhgg211 1112233 322221 2231 33()2()()22w

22、wpvzQgpvpvzhQzhQgg2211 1222121 22233 311 1131 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg2211 12221221 222233 311 11331 33()()22()()22wwpvpvzQzhQggpvpvzQzhQgg？ 2211 1222121 22233 311 1131 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg211 112233 322221 231 32()()22wwpvzgpvpvzhzhgg2）应用条件：）应用条件： 恒定流；不可压缩；质量力只有重力；过水断面取在均匀流或渐变流区段上，但两过水断面取在均匀流

23、或渐变流区段上，但两过水断面之间可以是急变流。过水断面之间可以是急变流。两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 当总流在该两断面间总流在该两断面间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体额外地获得或失去能量额外地获得或失去能量，则总流的能量方程应作如下的修正：whgvpzHgvpz222222221111 (3)补充说明：基准面基准面 可选任意水平面，同一能量方程中的两不同过水断面，必须选取同一基准面，通常使z0。选取 均匀流均匀流 或 渐变流渐变流 过水断面过水断面，将过水断面取在已知数较多的断面上，并使能量方程含有所要求的未知量。选取 基准面基准面选取 过水断面过水断面选

24、取 计算点计算点选取 压强的计算标准压强的计算标准whgvpzgvpz222222221111过水断面上的 计算点计算点 原则上可以任取（均匀流过水断面上各点的势能等于或近似等于常数，断面上各点平均动相同）为方便起见，通常n对于 管流取在断面形心管流取在断面形心(管轴中心）点管轴中心）点，n对于 明渠流取在自由液面上明渠流取在自由液面上。方程中动水压强 p1 和 p2 必须采用相同的计算相同的计算标准。标准。既可取绝对压强，也可取相对压强。技巧：n1 如果水流有与大气接触的面，则此面 上的相对压强 p=0;n2 如果水流流入大气，则出口的相对压 强 p=0;n3 如果12，则可近似认为v10例

25、：3-4，3-5选取 基准面基准面选取 过水断面过水断面选取 计算点计算点选取 压强的计算标准压强的计算标准例：例：一离心式水泵抽水量Q=20 m3/s ，安装高度Hs =5.5m ，吸水管直径d=100mm ，若吸水管总的水头损失 hw=0.25mH2O ，试求水泵进水口处试求水泵进水口处的真空度的真空度hv2和真空值和真空值pv2 。1运用能量方程，取渐变流过水断面，水池液面1-1, 水泵进口断面2-2。2计算点分别为自由液面和管轴。3选基准面为自由液面选基准面为自由液面。4 压强标准用绝对压强压强标准用绝对压强。2211 122212222222222222224 200.707/3.1

26、3 0.140.707005.50.2520.7075.50.255.7825.28 9.856.7/waavvavpvpvzzhggQvm sdppgpphmgppphN m真空值真空值pv =pa-p真空度真空度pv/ =( pa-p )/ 1-1到2-2间 固体边界内 水体（隔离体）受力分析：n1 重力n2 边界摩擦力n3 边界（管壁）对水体的压力n4 断面 1-1 、 2-2的动水压力35恒定总流的动量方程 动水压力怎么求?n1 管流： p1c, p2cc为断面形心上压强。n2 明渠： 求渐变流过水断面形心处渐变流过水断面形心处 pc，与大气接触面上p=0。111222ccPpPppz

27、C35恒定总流的动量方程 反映了水流 动量变化动量变化 与 作用力作用力 之间的关系。 不必知道流动范围内部的流动过程，只需要知道其边界面上的流不必知道流动范围内部的流动过程，只需要知道其边界面上的流动状况，因此它可用来解决急变流动中，水流与边界面之间的相互动状况，因此它可用来解决急变流动中，水流与边界面之间的相互作用力问题作用力问题。1 恒定总流的动量方程质点系的动量变化等于质点系所受外力的合力 在这一时段内的冲量KdFdtFdtFvmdKd)( 总流的动量变化等于所有元流的动量变化之矢量和总流的动量变化等于所有元流的动量变化之矢量和： 将元流的动量变化沿总流过水断面积分，得dt时间内总流的

28、动量变化。2121212221 11dKdQdtudQdtudtu u du u d dt时间内时间内 元流的动量变化元流的动量变化:)()(121212uudQdtuudMudMudMKd 若若1-1断面与断面与2-2断面是均匀流或渐变流断面断面是均匀流或渐变流断面， 与 方向相同或几乎相同，不考虑速度方向后，则可引入动量修正系数。-实际动量与按计算的动量之比。 =1.021.05,工程上常用工程上常用=1。 uvvQvdvduuvvduvdu222222)(2)(111duu关于 注意：注意： 为作用在总流流段（为作用在总流流段（1-11-1到到2-22-2）上的所有外力（含表面力）上的所有外力（含表面力和质量力中的重力）。和质量力中的重力）。dtFvvQdtvvvvdtKd)()(112211112222FvvQ)(1122F所以： 最终： 1）划定隔离体的范围 包含动量发生变化的整个流段（急变流段）（急变流段），并使流入、流出隔离体的 两端（控制断面）符合渐变流条件两端（控制断面）符合渐变流条件。 2） 是作用在总流隔离体上的作用在总流隔离体上的 全部外力。全部外力。 除固体边壁的反作用力（含摩擦力）外，还包括两断还包括两断面上的动水