2013年普通高等学校全国招生统一考试数学（新课标全国卷A）理科与答案(35)

1、2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案 PAGE 14绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷A）数学（理科）解析与答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合则个数为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6答案B解析 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素（2）（A） （B） （C） （D）答案A解析 (1eq r(3)i)313312(eq r(3)i)31(eq r(3)i)2(eq r(3)i)313eq r(3)i93e

2、q r(3)i8.（3）已知向量（A） （B） （C） （D）答案B解析 ()()()()022，所以(1)212(2)222，解得3.（4）已知函数（A） （B） （C） （D）答案B解析 对于f(2x1)，12x10，解得1x0，且1eq f(1,x)2y，解得xeq f(1,2y1)，交换x，y得f1(x)eq f(1,2x1)(x0)（6）已知数列满足（A） （B） （C） （D）答案C解析 由3an1an0，得an0(否则a20)且eq f(an1,an)eq f(1,3)，所以数列an是公比为eq f(1,3)的等比数列，代入a2可得a14，故S10eq f(4blcrc(avs4

3、alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(10),1f(1,3)3eq blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(10)3(1310)（7）（A） （B） （C） （D）答案D解析 (1x)8展开式中x2的系数是Ceq oal(2,8)，(1y)4的展开式中y2的系数是Ceq oal(2,4)，根据多项式乘法法则可得(1x)8(1y)4展开式中x2y2的系数为Ceq oal(2,8)Ceq oal(2,4)286168.（8）椭圆斜率的取值范围是（A） （B） （C） （D）答案B解析 椭圆的左、右顶点分别为(

4、2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2eq f(y0,x02)eq f(y0,x02)eq f(yeq oal(2,0),xeq oal(2,0)4)，而eq f(xeq oal(2,0),4)eq f(yeq oal(2,0),3)1，即yeq oal(2,0)eq f(3,4)(4xeq oal(2,0)，所以kPA1kPA2eq f(3,4)，所以kPA1eq f(3,4kPA2)eq blcrc(avs4alco1(f(3,8)，f(3,4).（9）若函数（A） （B） （C） （D）答案D解析 f(x)2xaeq f(1,x2)0在eq blc(rc)(avs4

5、alco1(f(1,2)，)上恒成立，即aeq f(1,x2)2x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) ，)上恒成立，由于yeq f(1,x2)2x在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)上单调递减，所以y3，故只要a3.（10）已知正四棱锥的正弦值等于（A） （B） （C） （D）答案A解析 如图，联结AC，交BD于点O.由于BOOC，BOCC1，可得BO平面OCC1，从而平面OCC1平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE平面BDC1，CDE即为所求的线面角设AB2，则OCeq r(2)，OC1eq r(18)

6、3 eq r(2)，所以CEeq f(CC1OC,OC1)eq f(4 r(2),3 r(2)eq f(4,3)，所以sinCDEeq f(CE,CD)eq f(2,3).（11）已知抛物线（A） （B） （C） （D）答案D解析 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为xty2，与抛物线方程联立得y28ty160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y216，y1y28t，x1x2t(y1y2)48t24，x1x2t2y1y22t(y1y2)416t216t244.eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()(x12，y12)(x22，y22)x1x22(x1x2)

7、4y1y22(y1y2)4416t2841616t416t216t44(2t1)20，解得teq f(1,2)，所以keq f(1,t)2.（12）已知函数（A） （B） （C） （D）答案C解析 因为对任意x，f(x)f(x)cos xsin 2xcos xsin 2x0，故函数f(x)图像关于点(，0)中心对称；因为对任意x恒有f(x)cos xsin 2xf(x)，故函数f(x)图像关于直线xeq f(,2)对称；f(x)f(x)，f(x2)f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)2cos2xsin x2(1sin2x)sin x，令tsin x1，1，设y(1t

8、2)tt3t，y3t21，可得函数y的极大值点为teq r(f(1,3)，所以y在eq blcrc(avs4alco1(1，1)上的极大值为eq f(1,3)eq r(f(1,3)eq r(f(1,3)eq f(2 r(3),9)，函数的端点值为0，故函数y在区间eq blcrc(avs4alco1(1，1)的最大值为eq f(2 r(3),9)，函数f(x)的最大值为eq f(4r(3),9)，所以选项C中的结论错误二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知 .答案2 eq r(2)解析 coseq r(1sin2)eq f(2 r(2),3)，所以coteq f(cos,sin)

9、2 eq r(2).（14）个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）答案480解析 先排另外四人，方法数是Aeq oal(4,4)，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是Aeq oal(2,5)，根据乘法原理得不同排法共有Aeq oal(4,4)Aeq oal(2,5)2420480种（15）记不等式组所表示的平面区域为若直线 .答案.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，4)解析 已知不等式组表示的平面区域如图12中的三角形ABC及其内部，直线ya(x1)是过点(1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值为MA的斜率，最大值为MB的斜

10、率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA的斜率等于eq f(10,1（1）)eq f(1,2)，MB的斜率等于eq f(40,0（1）)4，故实数a的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，4).（16）已知圆和圆是球的大圆和小圆，其公共弦长等于球的半径，则球的表面积等于 .答案16解析 设两圆的公共弦AB的中点为D，则KDDA，ODDA，ODK即为圆O和和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以ODK60.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OKKD.在直角三角形ODK中，eq f(OK,OD)sin60，即ODeq f(3,2)eq f(2,r(3) eq r(

11、3)，设球的半径为r，则DOeq f(r(3),2)r，所以eq f(r(3),2)req r(3)，所以r2，所以球的表面积为4r216.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）等差数列的前项和为的通项式.答案解：设an的公差为d. 由S3aeq oal(2,2)，得3a2aeq oal(2,2)，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列得Seq oal(2,2)S1S4. 又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时Sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122

12、d)， 解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1.18（本小题满分12分）设（ = 1 * ROMAN I）求（ = 2 * ROMAN II）若答案解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(1,2)，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos Csin Asin C2sin Asin Ccos(AC)2sin Asin Ceq f(1,2)2eq f(r(3)1,4)eq f(r(3),2)，故AC30或AC30，因此C15

13、或C45.19（本小题满分12分）如图，四棱锥都是等边三角形.（ = 1 * ROMAN I）证明：（ = 2 * ROMAN II）求二面角答案解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形过P作PO平面ABCD，垂足为O.联结OA，OB，OD，OE.由PAB和PAD都是等边三角形知PAPBPD，所以OAOBOD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OEBD，从而PBOE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OECD.因此PBCD.(2)解法一：由(1)知CDPB，CDPO，PBPOP，故CD平面PBD.又PD平面PBD，所以CDPD.取PD的中点F，PC的中点G，连FG

14、.则FGCD，FGPD.联结AF，由APD为等边三角形可得AFPD.所以AFG为二面角APDC的平面角联结AG，EG，则EGPB.又PBAE，所以EGAE.设AB2，则AE2 eq r(2)，EGeq f(1,2)PB1，故AGeq r(AE2EG2)3，在AFG中，FGeq f(1,2)CDeq r(2)，AFeq r(3)，AG3.所以cosAFGeq f(FG2AF2AG2,2FGAF)eq f(r(6),3).因此二面角APDC的大小为arccoseq f(r(6),3).解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直以O为坐标原点，eq o(OE,sup6()的方向为x轴的正方向建立如

15、图所示的空间直角坐标系Oxyz.设|eq o(AB,sup6()|2，则A(eq r(2)，0，0)，D(0，eq r(2)，0)，C(2 eq r(2)，eq r(2)，0)，P(0，0，eq r(2)，eq o(PC,sup6()(2 eq r(2)，eq r(2)，eq r(2)，eq o(PD,sup6()(0，eq r(2)，eq r(2)，eq o(AP,sup6()(eq r(2)，0，eq r(2)，eq o(AD,sup6()(eq r(2)，eq r(2)，0)设平面PCD的法向量为1(x，y，z)，则1eq o(PC,sup6()(x，y，z)(2 eq r(2)，eq

16、r(2)，eq r(2)0，1eq o(PD,sup6()(x，y，z)(0，eq r(2)，eq r(2)0，可得2xyz0，yz0.取y1，得x0，z1，故1(0，1，1)设平面PAD的法向量为2(m，p，q)，则2eq o(AP,sup6()(m，p，q)(eq r(2)，0，eq r(2)0，2eq o(AD,sup6()(m，p，q)(eq r(2)，eq r(2)，0)0，可得mq0，mp0.取m1，得p1，q1，故2(1，1，1)于是cos，2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(r(6),3).由于，2等于二面角APDC的平面角，所以二面角APDC的大小为arccose

17、q f(r(6),3).20（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.（ = 1 * ROMAN I）求第局甲当裁判的概率；（ = 2 * ROMAN II）表示前局中乙当裁判的次数，求的数学期望.答案解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”则AA1A2.P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)eq f(1,4).(2)X的可能取值为0，1，2.记A3表示事件“第3局乙和

18、丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)eq f(1,8)，P(X2)P(B1B3)P(B1)P(B3)eq f(1,4)，P(X1)1P(X0)P(X2)1eq f(1,8)eq f(1,4)eq f(5,8)，E(X)0P(X0)1P(X1)2P(X2)eq f(9,8).21（本小题满分12分）已知双曲线离心率为直线（ = 1 * ROMAN I）求；（ = 2 * ROMAN II）证明：答案解：(1)由题设知

19、eq f(c,a)3，即eq f(a2b2,a2)9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，求得xeq r(a2f(1,2).由题设知，2 eq r(a2f(1,2)eq r(6)，解得a21.所以a1，b2 eq r(2).(2)证明：由(1)知，F1(3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|2 eq r(2)，代入并化简得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，x1x2eq f(6k2,k28)，x1x2eq f(9k28,k28).于是|AF1|eq r(（x13）

20、2yeq oal(2,1)eq r(（x13）28xeq oal(2,1)8)(3x11)，|BF1|eq r(（x23）2yeq oal(2,2)eq r(（x23）28xeq oal(2,2)8)3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21，即x1x2eq f(2,3).故eq f(6k2,k28)eq f(2,3)，解得k2eq f(4,5)，从而x1x2eq f(19,9).由于|AF2|eq r(（x13）2yeq oal(2,1)eq r(（x13）28xeq oal(2,1)8)13x1，|BF2|eq r(（x23）2yeq oal(2,2)eq r(（x23）28xe

21、q oal(2,2)8)3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，|AF2|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列22（本小题满分12分）已知函数（ = 1 * ROMAN I）若；（ = 2 * ROMAN II）设数列答案解：(1)由已知f(0)0，f(x)eq f(（12）xx2,（1x）2)，f(0)0.若eq f(1,2)，则当0 x2(12)时，f(x)0，所以f(x)0.若eq f(1,2)，则当x0时，f(x)0，所以当x0时，f(x)0.综上，的最小值是eq f(1,2).(2)令e

22、q f(1,2).由(1)知，当x0时，f(x)0，即eq f(x（2x）,22x)ln (1x)取xeq f(1,k)，则eq f(2k1,2k（k1）)lneq f(k1,k).于是a2naneq f(1,4n)eq isu(kn,2n1, )eq blcrc(avs4alco1(f(1,2k)f(1,2（k1）)eq isu(kn,2n1, )eq f(2k1,2k（k1）)eq isu(kn,2n1,)lneq f(k1,k)ln 2nln nln 2.所以a2naneq f(1,4n)ln 2.2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷A）数学（理科）答案一、选择题15 BABBA 610 CDBDA 1112 DC 二、填空题13. 14. 480 15. 16. 三、解答题17解：设的公差为. 由得，故或. 由成等比数列得. 又，故.若，则，所以，