大学物理： 量子物理第二章薛定谔方程

1、PAGE 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告，报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波， 就应有一个波动方程。几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。1 薛定谔方程的建立(一种方法)一.薛定谔方程1.一维薛定谔方程 一维自由运动粒子 无势场，不受力，动量不变。 一维自由运动粒子的波函数(前已讲) (x, t) = 0 e-i(2/h) (Et px) x= ( )Pih2 x2P 2h2= -( ) 由

2、此有 P22mE = t= ih ( ) (x, t)h22m-( ) (x, t)x2 2再利用 可得此即 一维自由运动粒子(无势场)的薛定谔方程 推广到若粒子在势场U(x, t) 中运动P22mE = +U(x, t) 由 有 t= ih ( ) h22m-( ) 2x2+ U(x, t) 一维薛定谔方程式中 = (x, t)是粒子在势场U= U(x, t) P22mE = +U(x, t) 中运动的波函数和经典关系 相比较,只要把 tE ih( ) xP -ih( ) 再作用到波函数 (x, t) 上，即可得到 上述方程。 2.三维薛定谔方程式由一维方程推广可得三维薛定谔方程式= ih

3、( ) (r, t ) h2 t2m-+ U(r, t) (r, t)2 拉普拉斯算符2x22y22 +2z2 (三维薛定谔方程式在球坐标下的形式请见 教材p159) 当 U(r, t) = 0时，方程的解， 即三维自由运动粒子的波函数(r, t) =0 e(-i / h) (E t p r )波函数的叠加原理 薛定谔方程是 的线性微分方程；若1、2是方程的解， 则 c11 + c22也是方程的解。 (c1 、c2是常数)E.Schrodinger & P.A.M.Dirac 荣获 1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive fo

4、rms of atomic theory)薛定谔(1887-1961)奥地利人创立量子力学二.定态薛定谔方程1.一维定态薛定谔方程若粒子在恒定势场 U = U (x) 中运动 (含常数势场U = U0 ) 薛定谔方程式可用分离变量法求解。(1)分离变量把波函数写为 (x,t) = (x)T(t) 代入一维薛定谔方程 t= ih ( ) h22m-( ) 2x2+ U(x) ihdT(t)d t= ET(t) (1)则分为两个方程h22m-+ U(x) (x) = E (x) (2) d2dx2 E在这里是分离常数，与x、t无关 (1)式的解 T(t) = ce-(i/h)Et 由量纲分析可知，

5、E具有能量的量纲。(2)一维定态薛定谔方程h22m-d2dx2= E (x) +U(x) (x) 式(2)即 一维定态薛定谔方程 定态波函数 = (x) 它所描写的粒子的状态称作定态，是能 量取确定值的状态。概率密度 (x,t) *(x,t) (x) *(x) 定态下的概率密度和时间无关 2.三维定态薛定谔方程 U= U(r) 或 U(x,y,z)同样可得 三维定态薛定谔方程= E(r) h22m-+ U(r) (r)2三.波函数的物理条件 用来描写实物粒子的波函数应满足下列 物理条件1.标准条件： (x)必须 单值、有限、连续因为，粒子的概率在任何地方只能有一个值； 不可能无限大； 不可能在

6、某处发生突变。 2.归一化条件 粒子在空间各点的概率总和应为l全空间 (r, t) *(r, t) d = 1 定态下 全空间 (r ) *(r ) d = 1 一维定态- (x) *(x) dx = 1 *在量子力学中用 薛定谔方程式 加上 波函数的物理条件求解微观粒子在一定的势场中的运动问 题(求波函数，状态能量，概率密度 等)例27.1(P159)一质量为m的粒子在自由空间绕一定点做圆周运动，圆半径为r。求粒子的波函数并确定其可能的能量和角动量。解：定态波函数只是方位角的函数，设 薛定谔方程 利用有限、连续、单值、归一得出 定态波函数 粒子波函数(含t 波函数) 式中ml = 1，2，能

7、量量子化 角动量量子化 2 一维无限深方势阱中的粒子 求解定态薛定谔方程：给定势函数U(x)，求解能量和波函数 (结构问题)；给定势函数U(x)和入射能量E(总能量)，求解粒子的波函数 (散射问题)。 一.一维无限深方势阱中的粒子a金属U(x)U=U0U=U0EU=0 x极限U=0EUUU(x)x0a 一维无限深方势阱 模型：金属内部自由电子运动，很难逸出金属表面。不考虑点阵离子的电场时，可认为是无限深方势阱。U(x)x0a1.势函数 U(x) = 0 (0 x a) (x 0, x a) 粒子可在区范围内 自由运动，但不能到 达区和区。 2.定态薛定谔方程h22m-( )(x) = E (x

8、)d2dx2阱内 k2 =2mEh2令+k2 (x) = 0d2 (x)dx2 则阱内方程 3.分区求通解阱外： 1(x) = 0 ；3(x) = 0 阱内： 2(x) = Asin(kx +) A、：待定常数。4.由波函数物理条件定具体解单值条件已满足 有限条件已满足由连续条件： 2(0) =1(0) = 0 Asin =02(a) =3(a) = 0 Asinka+ =0 有 = 0 ka = n ， n =1,2,3,于是 2(x) = Asin(n/a)x 由归一条件： 得 定态波函数 n =1,2,3,能级： 由 得 n =1,2,3,能量只能取特定的分立数值(能量本征值)能量量子化

9、 最低能量(零点能) 思考：用不确定关系说明最低能量为什么 不为零？全部波函数(含t)波函数的空间部分称作能量本征函数(energy eigenfunction)全部波函数n(x, t) 称作能量本征波函数，它所描写的 粒子的状态称作粒子的能量本征态 (energy eigenstate) 注意：物理条件的重要性。动量 粒子在阱中的动量：粒子的德布洛意波长： (量子化)无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态对应德布洛意一个特定波长的驻波。5.概率密度 n(x) = |n (x)|2 xa0E、n(x)、|n(x)|2n = 2n = 1n = 3|n|2Enn很大量子 经典 量子理论：概率密度呈

10、周期性分布；经典粒子：概率密度在阱内各处相等(粒子在阱内自由运动)3 势垒穿透(barrier penetration)一.一维势垒粒子从x = - 处以确定能量E入射；给定势函数U(x)；解定态薛定谔方程，求粒子的波函数和概率分布。两块金属或半导体接触处势能隆起，形xoEU = 0U= U0U (x)I区II区 成势垒。1.势函数 U(x) = 0 ， (x 0) 入射能量 E U02.定态薛定谔方程h2+ 1(x) =0, (x0)令+k21(x) = 0, (x 0)d22(x)dx22mh22m(E - U0) = - 2 , ( 0)令 - 22(x) = 0, (x0)d22(x)

11、dx2有 3.通解 1(x) = Aeikx + Be-ikx 2(x) = Ce-x + Dex4.物理条件有限：当x 时，2(x) 应有限， 得 D = 0，于是 1(x) = Aeikx + Be-ikx (波动型解) 入射波 反射波 2(x) = Ce-x (指数型解)oxE (x)U = 0U= U0U(x)I区II区其他常数均可定出5.概率密度( x 0区) |2(x)|2 e-2x|2(x)|2 = e-22m(U0 -E)/ h2 x 可见x 0区(E U0)粒子出现概率 0 (和经典不同)U0、x 概率 电子逸出金属表面的模型 量子：电子透入势垒，在金属表面形成一 层电子气。

12、 经典：电子不能进入E(总能量) 0区域， E 0区域，概率密度： |2(x)|2 = C 2e-2x当x = 1/2 时，概率密度降为1/e2h2x =1=22m(U0 E )位置不确定度： h=2m(U0 E )p 2x 动量不确定度： =2 (U0 E )/mp m = = 粒子进入的速度粒子进入的时间不确定度t =h4(U0 E )x 粒子能量的不确定度h2 (U0 E )E 2t 粒子的总能量为 E +E 粒子动能的不确定度 Ek = ( E +E ) U0 U0 E 粒子动能的不确定度大于其名义上的负动能的值。负动能被不确定关系“掩盖”了， 它是一种观察不到的“虚” 动能。 二.隧

13、道效应(tunneling effect)Eox (x)U = 0U= U0U (x)aU = 0 (势垒穿透)透射系数T：粒子穿透势垒的概率。 (粒子可到达x a的区域)h-2a2m(U0 -E)T exp( ) 经典量子隧道效应比喻： UU(x)xo (x)核内势垒及粒子的隧道效应例放射性核的 粒子释放其它例：黑洞黑洞边界是物质(包括光)只能进不能出的“单向壁”；对黑洞内的物质来说，“单向壁”就是一 个绝高的势垒；黑洞内的物质可通过隧道效应逸出 黑洞蒸发 热核反应热核反应是两个带正电的核(如2H和3H) 聚合时产生的。两核间的库仑斥力作用相当于一高势垒；2H和3H通过隧道效应聚合到一起：核

14、能越大，势垒厚度越小，聚合的概率越 大(这是热核反应需108K的高温的原因)扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscope)1986年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜 利用了隧道效应。ABdEU0U0U0电子云重叠ABU隧道电流id探针样品用隧道效应观察样品表面的微结构图象处理系统扫描探针样品表面电子云隧道电流I与样品和针尖间的距离d关 系敏感： I U exp-A()1/2d 其中： d 样品和针尖间的距离 U加在样品和针尖间的微小电压 A常数 平均势垒高度隧道电流是电子波函数重叠程度的量度， 通过它可“直接看到”样品表面结构。STM (中国科学院化学研究所研制的CS

15、TM-9000型扫描隧道显微镜) 硅表面77重构图象用STM得到的神经细胞象用AFM得到的癌细胞的表面图象三.原子搬迁图片:量子围栏： 1993年5月IBM的科学家M.Crommie 等在液氮温度用电子束将单层的Fe原子 蒸发到Cu(111)表面，然后用STM针尖 将48个铁原子排成圆圈， 铁原子间距：9.5 圆圈平均半径：71.3 圆圈由分立的铁原子组成而不连续，却能 围住圈内处于铜表面的电子，故称作量子 围栏(quantum corral)。根据铁原子对表面电子的强散射作用， M.Crommie等最初设想可以用Fe原子做 成对表面电子的量子化“禁锢”结构，象 围牲口一样将电子围起来。他们的

16、量子围栏确实起到了这样的作用。 Fe原子并非密集排列，但却同一个连续 围栏差不多，很少有电子能透过围栏“逃” 出去。围栏内的电子波如传播到围栏处，就会因 Fe原子的强烈散射而被挡回去，从而在 栏内形成同心圆状的驻波，导致围栏内同 心圆状的局域态密度起伏。图中的波纹就 是电子驻波，是世界上首次观察到的电子 驻波的直观图形。MIT的Kastner认为这一成就表明：“你 能做任何人过去作梦也想不到的事情”。由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。前两人是扫描隧道显微镜的直接发明者，第三人是 1932年电子显微镜的发明者，这里是为了追朔他的功劳。附：分子搬迁1991

17、年2月IBM 的“原子书法”小 组又创造出“分子 绘画”艺术“CO 小人”。图中每个白团是 单个CO分子竖立在铂片表面上的图象，上端为氧原子，CO分子的间距：0.5 nm； “分子人”身高：5 nm，堪称为世界上 最小的“小人图”。操作方法：把STM针尖移到吸附于铂表 面的CO分子的顶端，释放一股细小电 流 ，削弱CO分子和铂表面的结合力， 变成CO分子和针尖的结合。这样CO分 子就会随针尖移动到新的位置，并粘附到 铂表面上。多次移动后形成一个可爱的“大脑袋的小人”。移动分子实验的成功，表明人们朝着用单 一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步，其内在意义目前尚无法估量。其他还有锑分子，有机分子、水分子搬迁 等。 3 谐振子谐振子模型是一维振动的简化模型，固体中原子的振动即可用此模型来讨论。一.势函数U =12m2xkx2 =12