新高二2022年暑假讲义第11讲 双曲线（解析版）

1、第11讲 双曲线新课标要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。知识梳理1平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系c2a2b23.双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，

2、b0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)范围xa或xaya或ya顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点离心率eeq f(c,a)(1，)渐近线yeq f(b,a)x，yeq f(b,a)xyeq f(a,b)x，yeq f(a,b)x4.直线与双曲线的位置关系及判定直线：AxByC0，双曲线：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，两方程联立消去y，得mx2nxq0.则直线与双曲线的位置关系如下表：位置关系公共点个数

3、判定方法相交2个或1个m0或eq blcrc (avs4alco1(m0,0)相切1个m0且0相离0个m0且0名师导学知识点1 双曲线定义的应用【例1-1】(1)动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线(2)若方程eq f(x2,5k)eq f(y2,k3)1表示双曲线，则k的取值范围是()A(5，) B(，3)C(3,5) D(，3)(5，)【分析】利用双曲线的定义解题(1)|MN|2，|PM|PN|2|MN|，点P的轨迹是以N为端点的一条射线，故选D.(2)eq f(x2,5k)eq f(y2,k3)1表示双曲线

4、，5k与k3一正一负，即(5k)(k3)0，解得k5或k3.故选D.(1)D(2)D【变式训练1-1】(1)(马鞍山高二测试)已知点P的坐标满足eq r(x12y12)eq r(x32y32)4，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C两条射线 D一条射线(2)若动点P到F1(5,0)与F2(5,0)的距离的差为8，则P点的轨迹方程是()A.eq f(x2,25)eq f(y2,16)1 Beq f(x2,25)eq f(y2,16)1C.eq f(x2,16)eq f(y2,9)1 Deq f(x2,16)eq f(y2,9)1(1)点P的坐标满足eq r(x12y12)eq r(x3

5、2y32)4，动点P(x，y)到A(1,1)和B(3，3)的距离之差等于4，又A(1,1)和B(3，3)两点间的距离为|AB|4eq r(2)，动点P的轨迹方程是双曲线的一支(2)由双曲线定义知，P点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，且2a8，a4，c5，b3.P点的轨迹方程为eq f(x2,16)eq f(y2,9)1.(1)B(2)D知识点2 求双曲线的标准方程【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，a3，c5；(2)与椭圆eq f(x2,25)eq f(y2,5)1有共同焦点，且过点(3eq r(2)，eq r(2)的双曲线的标准方程；(3)经过两点(3，4eq

6、 r(2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,4)，5).【分析】对于(1)，只需求出b2即可；对于(2)，(3)可设出双曲线的方程，代入条件即可【解】(1)a3，c5，b2c2a225916.又此双曲线焦点在x轴上，所求的双曲线的标准方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1.(2)eq f(x2,25)eq f(y2,5)1的焦点坐标为(2eq r(5)，0)，(2eq r(5)，0)，由题意得，所求双曲线的焦点坐标为(2eq r(5)，0)，设所求的双曲线的标准方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,20a2)1.又(3eq r(2)，eq r(2)在双曲线上

7、，eq f(18,a2)eq f(2,20a2)1，解得a2202eq r(10)，所求的双曲线的标准方程为eq f(x2,202r(10)eq f(y2,2r(10)1.(3)设所求的双曲线的标准方程为mx2ny21(其中mn0)由题意得eq blcrc (avs4alco1(9m32n1，,f(81,16)m25n1，)得eq blcrc (avs4alco1(mf(1,9)，,nf(1,16).)故所求的双曲线的标准方程为eq f(y2,16)eq f(x2,9)1.【变式训练2-1】已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,9)1(a0)与双曲线eq f(x2,4)eq f(y2,

8、3)1有相同的焦点，则a的值为()A.eq r(2)Beq r(10)C4 Deq r(34)椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,9)1与双曲线eq f(x2,4)eq f(y2,3)1有相同的焦点(eq r(7)，0)，a297，a216.又a0，a4.C知识点3 双曲线定义及其标准方程的应用【例3-1】如图所示，若F1，F2是双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,16)1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积【分析】(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|

9、2a，则点M到另一焦点的距离易得；(2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积【解】双曲线的标准方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1，故a3，b4，c eq r(a2b2)5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.又ca532,102,222，故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理

10、，得cos F1PF2eq f(|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,2|PF1|PF2|)eq f(100100,2|PF1|PF2|)0，F1PF290，SF1PF2eq f(1,2)|PF1|PF2|eq f(1,2)3216.【变式训练3-1】已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6eq r(3)，试判断MF1F2的形状【解】(1)椭圆的方程可化为eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，焦点在x轴上，且ceq r(94)eq r(5).故可设双曲线方程为eq

11、 f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)依题意得eq blcrc (avs4alco1(f(9,a2)f(4,b2)1，,a2b25，)解得a23，b22.故双曲线的标准方程为eq f(x2,3)eq f(y2,2)1.(2)不妨设M在双曲线的右支上，则有|MF1|MF2|2eq r(3).又|MF1|MF2|6eq r(3)，解得|MF1|4eq r(3)，|MF2|2eq r(3).又|F1F2|2c2eq r(5)，因此在MF1F2中，|MF1|边最长，由余弦定理可得cos MF2F1eq f(|MF2|2|F1F2|2|MF1|2,2|MF2|F1F2|)eq f(2r

12、(3)22r(5)24r(3)2,22r(3)2r(5)eq f(2,r(15)0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_双曲线x2eq f(y2,b2)1过点(3,4)，9eq f(16,b2)1，b22，又a21，焦点在x轴上，渐近线方程为yeq r(2)x.yeq r(2)x知识点5 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例5-1】根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)焦点在y轴上，实轴长为10，离心率为eq f(12,5)；(2)焦距为10，实轴长是虚轴长的2倍；(3)与双曲线eq f(y2,3)x21共渐近线，焦点坐标为(2,0)【分析】对于(1)只需根据题目条件求出b2即可；对

13、于(2)，由于焦点所在的坐标轴不确定，故需分情况讨论；对于(3)，利用两双曲线共渐近线求解【解】(1)由题意得2a10，a5，又eeq f(c,a)eq f(12,5)，c12.b2c2a214425119.又焦点在y轴上，所求的双曲线的标准方程为eq f(y2,25)eq f(x2,119)1.(2)由题意得c5，a2b，又a2b2c2，5b225，b25，a220.当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为eq f(x2,20)eq f(y2,5)1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为eq f(y2,20)eq f(x2,5)1.(3)设所求的双曲线方程为eq f(y2,3)x2(0)，焦点在

14、x轴上，0，方程再化为eq f(x2,)eq f(y2,3)1.又焦点坐标为(2,0)，44，1，故所求双曲线的标准方程为x2eq f(y2,3)1.【变式训练5-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq f(5,3)；(2)两顶点间的距离为6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分【解】(1)由题意，得2b8，eeq f(c,a)eq f(5,3)，b4，ceq f(5,3)a，代入c2a2b2，得a29.又该双曲线焦点在x轴上，双曲线的标准方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)1.(2)由已知得2a6,2c4a，a3，c6.b2c2a236927

15、.所求的双曲线方程为eq f(x2,9)eq f(y2,27)1或eq f(y2,9)eq f(x2,27)1.知识点6 双曲线的离心率问题【例6-1】(1)设F1，F2分别为双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()A.eq r(2)Beq r(15)C4 Deq r(17)(2)双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_【分析】对于(1)，根据双曲线的定义

16、得到a，b，c的关系式，再求离心率；对于(2)，欲求离心率的取值范围，可利用|PF1|或|PF2|的范围求解(1)根据已知条件，知|PF1|PF2|2a，所以4a2b23ab，所以b4a，所以双曲线的离心率eeq f(c,a)eq r(f(a2b2,a2)eq r(17).(2)P为双曲线上一点，|PF1|2|PF2|，又|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，又|PF2|ca，即2aca，eeq f(c,a)3.又e1，1e3.(1)D(2)1e3【变式训练6-1】(1)(北京卷)已知双曲线eq f(x2,a2)y21(a0)的离心率是eq r(5)，则a()A.eq r(6) B4 C2

17、Deq f(1,2)(2)(全国卷)双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则双曲线C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C.eq f(1,sin 50) Deq f(1,cos 50)(1)由题意，得eeq r(5)eq f(c,a)eq f(r(a21),a)eq r(5)，5a2a21，解得aeq f(1,2).(2)由题意，得keq f(b,a)tan 130，eq f(b,a)tan 50，即eq f(c2a2,a2)eq f(sin250,cos250)，e2eq f(sin250,cos250)1eq f(1

18、,cos250)，eeq f(1,cos 50).(1)D(2)D知识点7 直线与双曲线的位置关系【例7-1】已知过点P(0,1)的直线l与双曲线x2eq f(y2,4)1只有一个公共点，求直线l的斜率k的值【分析】欲解此题，需将直线与双曲线联立，再利用所得的方程求解【解】设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由eq blcrc (avs4alco1(ykx1，,x2f(y2,4)1，)得(4k2)x22kx50.当4k20，即k2时，此时的直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当4k20时，由4k24(4k2)(5)0，解得keq r(5).综上，得直线l的斜率k的值为2

19、或eq r(5).【变式训练7-1】(龙岩一中月考)斜率为2的直线l过双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A2，) B(1，eq r(3)C(1，eq r(5) D(eq r(5)，)依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的右焦点且与双曲线的左、右两支分别相交，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率eq f(b,a)必大于2，即b2a，因此该双曲线的离心率eeq f(c,a)eq r(f(a2b2,a2)eq r(1f(b2,a2)eq r

20、(14)eq r(5).D知识点8 弦长问题【例8-1】(福州检测)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(5)，虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积【分析】第(1)问，直接由eeq f(c,a)和c2a2b2，求出a2，b2；第(2)问，由l与C联立，消去y，利用韦达定理和弦长公式可求|AB|，再由点到直线的距离公式求OAB的高，最后求面积【解】(1)依题意可得eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)r(5)，,2b4，,c2a

21、2b2，)解得a1，b2，ceq r(5)，双曲线的标准方程为x2eq f(y2,4)1.(2)由题意，得直线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blcrc (avs4alco1(yx1，,x2f(y2,4)1，)可得3x22x50，由韦达定理，可得x1x2eq f(2,3)，x1x2eq f(5,3)，|AB|eq r(1k2)eq r(x1x224x1x2)eq r(2) eq r(f(4,9)f(20,3)eq f(8r(2),3)，原点到直线l的距离为deq f(r(2),2)，SOABeq f(1,2)|AB|deq f(1,2)eq f(8r(2),3)

22、eq f(r(2),2)eq f(4,3).【变式训练8-1】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为eq r(2)，求实数k的值【解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组eq blcrc (avs4alco1(x2y21，,ykx1)有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，所以eq blcrc (avs4alco1(1k20，,4k281k20.)解得eq r(2)keq r(2)且k1.即双曲线C与直线l有两个不同的交点时，实数k的取值范围是(eq

23、r(2)，1)(1,1)(1，eq r(2)(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0，1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1k2)x22kx20，所以eq blcrc (avs4alco1(x1x2f(2k,1k2)，,x1x2f(2,1k2).)当A，B在双曲线的一支上且|x1|x2|时，SOABSOADSOBDeq f(1,2)(|x1|x2|)eq f(1,2)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSOADSOBDeq f(1,2)(|x1|x2|)eq f(1,2)|x1x2|.所以SOABeq f(1,2)|x1x2|eq r(

24、2)，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2(2eq r(2)2，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(2k,1k2)2eq f(8,1k2)8，解得k0或keq f(r(6),2).又因为eq r(2)keq r(2)，且k1，所以当AOB的面积为eq r(2)时，实数k的值为0或eq f(r(6),2).知识点9 中点弦问题【例9-1】(吉林实验中学检测)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(3)，且eq f(a2,c)eq f(r(2),3).(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B

25、且线段AB的中点P在圆x2y25上，求m的值【分析】由于P为中点，可利用点差法求解【解】(1)由题意，得eq blcrc (avs4alco1(f(c,a)r(3)，,f(a2,c)f(r(2),3)，)解得eq blcrc (avs4alco1(af(r(6),3)，,cr(2).)b2c2a22eq f(2,3)eq f(4,3)，双曲线C的方程为eq f(3x2,2)eq f(3y2,4)1.(2)由eq blcrc (avs4alco1(f(3x2,2)f(3y2,4)1，,xym0，)得3x26mx3m240.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22m，又中点P在直线xym0

26、上，中点P坐标为(m,2m)，代入x2y25得，m1，满足判别式0.m的值为1.【变式训练9-1】双曲线C：x2y22右支上的弦AB过右焦点F.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值若不存在，则说明理由【解】(1)设中点M的坐标为(x，y)，(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)双曲线x2y22的焦点F的坐标为(2,0)kABeq f(y,x2)，又eq blcrc (avs4alco1(xoal(2,1)yoal(2,1)2，,xoal(2,2)yoal(2,2)2，)xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)y

27、eq oal(2,1)yeq oal(2,2)，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，kyx.eq f(y,x2)yx，y2x22x，(x2)当x2时，AB与x轴垂直，AB的中点M的轨迹方程为x22xy20，(x2)(2)假设存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：yk(x2)，由已知得OAOB，x1x2y1y20，(1k2)x1x22k2(x1x2)4k20，(*)由eq blcrc (avs4alco1(x2y22，,ykx2)得(1k2)x24k2x4k220.所以x1x2eq f(4k2,k21)，x1x2eq f(4k22,k21)(k21)代入(*)式，化简

28、得k210无解所以这样的圆不存在名师导练3.2.1 双曲线及其标准方程A组-应知应会1双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,m)1的焦距为10，则实数m的值为()A4 B16C16 D81由2c10，得c5，9m25，m16.B2双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，0) Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，0) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2)，0) Deq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，0)双曲线方程x22y21的标准方程为x2eq f

29、(y2,f(1,2)1，c21eq f(1,2)eq f(3,2)，ceq f(r(6),2)，右焦点的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),2)，0).C3若M在双曲线eq f(x2,16)eq f(y2,4)1上，双曲线的两个焦点分别为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF1|的值为()A4 B8 C12 D24根据双曲线的定义，可知|MF1|MF2|2|MF2|2a8，|MF2|4，|MF1|3|MF2|12.C4已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，P点在双曲线C上，F1PF260，则P到x轴的距离为()A.eq f(r(3),2) Beq

30、f(r(6),2) C.eq r(3) Deq r(6)设P(x，y)，|PF1|m，|PF2|n，不妨设mn；则|PF1|PF2|mn2.在F1PF2中，|F1F2|2eq r(2)，由余弦定理，得(2eq r(2)2m2n22mncos 60，即8(mn)2mn，mn4.由F1PF2的面积公式，得eq f(1,2)2eq r(2)|y|eq f(1,2)mnsin 60，|y|eq f(r(6),2).B5已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax2eq f(y2,8)1(x1) Bx2eq

31、f(y2,8)1(x0) Dx2eq f(y2,10)1(x1)设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|.|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422|MN|b，点P的轨迹是以M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a1，c3，b28.故点P的轨迹方程是x2eq f(y2,8)1(x1)A6已知点F1(eq r(2)，0)，F2(eq r(2)，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标为eq f(1,2)时，点P到坐标原点的距离是()A.eq f(r(6),2) Beq f(3,2) C.eq r(3) D

32、2由题意，可得点P的轨迹为焦点在x轴的双曲线的右支ceq r(2)，a1，beq r(c2a2)1，双曲线的标准方程为x2y21(x1)把yeq f(1,2)代入x2y21，得xeq f(r(5),2).点P的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)，f(1,2)，点P到原点的距离为 eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(6),2).A7已知P是双曲线eq f(x2,64)eq f(y2,36)1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|17，则|PF2|的值为_由双

33、曲线方程可知a8，ceq r(6436)10，|PF2|PF1|2a1ca，不符合题意，|PF2|PF1|2a171633.338中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x4y240与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_由题意中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为直线3x4y240与坐标轴的交点，令x0，解得y6，故得到c6,2a236，a218，所求等轴双曲线方程是y2x218.y2x2189已知定点A，B，且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_由|PA|PB|3|AB|4知P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，所以2a3,2c4，所以aeq f(3,2)，c2，所

34、以|PA|minaceq f(7,2).eq f(7,2)10(马鞍山测试)已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sin Bsin Aeq f(1,2)sin C.(1)求|AB|；(2)求顶点C的轨迹方程【解】(1)椭圆x25y25化为标准方程为eq f(x2,5)y21.可得a25，b21，c24.即可得A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Aeq f(1,2)sin C，由正弦定理可得，|CA|CB|eq f(1,2)|AB|2n，由椭圆及双曲线的定义有|PF1|PF2|2eq r(m)，|PF1|PF2|2e

35、q r(p)，两式分别平方相减，可得|PF1|PF2|mp.C3.2.2 双曲线的简单几何性质A组-应知应会1(大庆市模拟)已知双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,4)1，则该双曲线的渐近线方程为()A9x4y0 B4x9y0C3x2y0 D2x3y0令eq f(x2,9)eq f(y2,4)0，得4x29y2，2x3y，渐近线方程为2x3y0.D2双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的离心率为eq r(3)，则其渐近线方程为()Ayeq r(2)x Byeq r(3)xCyeq f(r(2),2)x Dyeq f(r(3),2)xeeq r(3)，e2eq

36、 f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)1eq f(b2,a2)3.eq f(b,a)eq r(2)，渐近线方程为yeq r(2)x.A3(淮北市第一中学月考)F1，F2分别是双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.eq r(2) Beq r(3)C.eqC. r(5) Deq r(7)设等边三角形边长|BF2|m，且设|AF1|x，根据双曲线的定义有mxmmx2a，解得m4a，x2a.在BF1F2中，由余弦定理，得(2c)2(6a)2(4a)2

37、26a4acoseq f(,3)，化简得4c228a2，即eeq r(7).D4已知双曲线eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为()A.eq f(y2,9)eq f(x2,16)1 Beq f(y2,4)eq f(x2,3)1C.eq f(y2,16)eq f(x2,9)1 Deq f(y2,3)eq f(x2,4)1由已知，得eq blcrc (avs4alco1(c r(3242)5，,f(a,b)f(3,4)，,a2b2c2，)解得a3，b4.双曲线方程为e

38、q f(y2,9)eq f(x2,16)1.A5点P在双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2 B3C4 D5不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|分别为md，m，md，(d0)，由题意，得eq blcrc (avs4alco1(mmd2a，,md2m2md2，,md2c，)解得m4d8a,2c5d，eeq f(c,a)eq f(f(5,2)d,f(d,2)5.D6设F1，F2分别是双曲线M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0

39、)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足eq o(F2A,sup6()eq o(F2B,sup6()0，则双曲线的离心率e的取值范围是()A1eeq r(2)1C1eeq r(2)由双曲线的对称性可知，ABF2是等腰三角形，且AF2B是钝角，所以eq f(,4)AF2F1eq f(1,2)AF2B1，即eq f(|AF1|,|F1F2|)1.又|AF1|eq f(b2,a)，所以eq f(b2,2ac)1，即c2a22ac，化简得e22e10，解得eeq r(2)1或e1eq r(2)(舍去)B7若双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,4)1(a0

40、)的离心率为eq f(r(5),2)，则a_.由已知，得eeq f(c,a)eq f(r(5),2)，ceq f(r(5),2)a.又c2a24，eq f(5,4)a2a24，a216.又a0，a4.48已知双曲线C1：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)与双曲线C2：eq f(x2,4)eq f(y2,16)1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(eq r(5)，0)，则a_，b_.eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的渐近线方程为yeq f(b,a)x，又eq f(x2,4)eq f(y2,16)1的渐近线方程为y2x，eq f(b,a)2，即b2a.又C1的

41、右焦点F( eq r(5)，0)，a2b25a25，a21，a1，b2.129设双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)经过点(4,1)，且与y2eq f(x2,4)1具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_由题意，得eq blcrc (avs4alco1(f(16,a2)f(1,b2)1，,f(b,a)f(1,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a212，,b23，)双曲线C的方程为eq f(x2,12)eq f(y2,3)1，渐近线方程为yeq f(1,2)x.eq f(x2,12)eq f(y2,3)1yeq f(1,2)x10求满足下

42、列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的一条渐近线方程为xeq r(3)y0，且与椭圆x24y264共焦点；(2)与双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,16)1有共同渐近线，且经过点(3，2eq r(3)【解】(1)解法一：椭圆方程可化为eq f(x2,64)eq f(y2,16)1，易得焦点是(4eq r(3)，0)设双曲线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，其渐近线方程是yeq f(b,a)x，则eq f(b,a)eq f(r(3),3).代入a2b2c248，解得a236，b212.所以所求双曲线的标准方程为eq f(x2,36)eq f(y2,1

43、2)1.解法二：由于双曲线的一条渐近线方程为xeq r(3)y0，则另一条渐近线为xeq r(3)y0.已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x23y2(0)，即eq f(x2,)eq f(y2,f(,3)1.由椭圆方程eq f(x2,64)eq f(y2,16)1，知c2a2b2641648.因为双曲线与椭圆共焦点，则eq f(,3)48，所以36.所以所求双曲线的标准方程为eq f(x2,36)eq f(y2,12)1.(2)设所求双曲线方程为eq f(x2,9)eq f(y2,16)(0)，将点(3，2eq r(3)代入双曲线方程，得eq f(9,9)eq f(12,16)，解得e

44、q f(1,4).所以所求双曲线的标准方程为eq f(4x2,9)eq f(y2,4)1.11(1)已知双曲线的渐近线方程为yeq f(3,4)x，求双曲线的离心率；(2)双曲线的离心率为eq r(2)，求双曲线的两渐近线的夹角【解】(1)双曲线的渐近线为yeq f(3,4)x，eq f(b,a)eq f(3,4)或eq f(a,b)eq f(3,4).又eeq f(c,a) eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)，当eq f(b,a)eq f(3,4)时，eeq f(5,4)；当eq f(a,b)eq f(3,4)时，eeq f(5,3).(2)eeq f(c,a)

45、eq r(2)，eq f(r(a2b2),a)eq r(2)，ab，双曲线渐近线方程为yx，双曲线的两条渐近线的夹角为90.12设双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq f(r(3),4)c，求双曲线的离心率【解】由直线l过(a,0)，(0，b)两点，得l的方程为bxayab0，由原点到l的距离为eq f(r(3),4)c，得eq f(ab,r(a2b2)eq f(r(3),4)c，将beq r(c2a2)代入3eq blc(rc)(avs4alco1(f(c2,a2)216eq f(c2,a2

46、)160，即3e416e2160，eeq f(2r(3),3)或e2.ba0，eeq f(c,a)eq r(f(a2b2,a2)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq r(2)，eeq f(2r(3),3)应舍去，故所求离心率为2.B组-素养提升(全国卷)设F为双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则双曲线C的离心率为()A.eq r(2) Beq r(3) C2 Deq r(5)以OF为直径的圆xeq f(c,2)2y2eq f(c2,4)，减

47、去x2y2a2得，cxa2，即xeq f(a2,c)为两圆公共弦方程，弦长为c，半弦长eq f(c,2)，O到xeq f(a2,c)的距离为eq f(a2,c)，半径为a，三者满足勾股定理，eq f(c2,4)eq f(a4,c2)a2，化简得，c44a44a2c20，解得c22a2，eeq r(2).A3.2.3 直线与双曲线的位置关系A组-应知应会1(哈尔滨三中二模)已知双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的渐近线经过圆E：x2y22x4y0的圆心，则双曲线C的离心率为()A.eq r(5) Beq f(r(5),2)C2 Deq r(2)圆E：x2y22

48、x4y0的圆心为E(1，2)，双曲线C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的渐近线为yeq f(b,a)x，由题意，得eq f(b,a)2，离心率eeq f(c,a)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(b,a)2)eq r(14)eq r(5).A2过双曲线x2eq f(y2,2)1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条B2条C3条 D4条双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4；当直线与实轴垂直时，有3eq f(y2,2)1，解得y

49、2，此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条综上，有三条直线满足|AB|4.C3(龙岩一中月考)已知双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx Byeq r(2)xCyeq r(3)x Dy2x根据题意得到A(a,0)，B(a,0)，设点P为(x，y)，根据题意得到3eq f(y2,x2a2)，则eq f(x2,a2)eq f(y2,3a2)1，从而渐近线方程为eq f(x2,a2)eq f(y2,3a

50、2)0，化简为yeq r(3)x.C4若圆(xeq r(3)2(y1)23与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为()A.eq f(2r(3),3) Beq f(r(7),2)C2 Deq r(7)因为圆(xeq r(3)2(y1)23的圆心为(eq r(3)，1)，半径为eq r(3)，由图(图略)得该圆与渐近线yeq f(b,a)x相切，所以deq f(|r(3)ba|,r(b2a2)eq r(3)，所以eq r(3)ba，即eq f(b,a)eq f(r(3),3).又因为e21eq f(b2,a2)eq f(4,3)，所

51、以eeq f(2r(3),3).A5若斜率存在且过点Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(b,a)的直线l与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()A2B4 C1或2D2或4因为直线斜率存在，则过Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(b,a)与左顶点的直线必与yeq f(b,a)x平行，所以有eq f(f(b,a),a1)eq f(b,a)，解得a2.所以实轴长为4.B6已知直线yeq f(1,2)x与双曲线eq f(x2,9)eq f(y2,4)1交于A，B两点，

52、P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB()A.eq f(4,9) Beq f(1,2)C.eq f(2,3) D与P点位置有关由题意可设A(x0，y0)，B(x0，y0)，P(x，y)，kPAkPBeq f(yy0,xx0)eq f(yy0,xx0)eq f(y2yoal(2,0),x2xoal(2,0)eq f(4blc(rc)(avs4alco1(f(x2,9)1)4blc(rc)(avs4alco1(f(xoal(2,0),9)1),x2xoal(2,0)eq f(f(4,9)x2xoal(2,0),x2xoal(2,0)eq f(4,9)

53、.A7已知直线l：ykx与双曲线4x2y216，若直线l与双曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是_由eq blcrc (avs4alco1(ykx，,4x2y216，)得(4k2)x2160，由题意，得当4k20，即2k2时直线与双曲线有两个公共点(2,2)8(北京西城区二模)双曲线C：eq f(y2,9)eq f(x2,16)1的焦距是_；若圆(x1)2y2r2(r0)与双曲线C的渐近线相切，则r_.由双曲线C：eq f(y2,9)eq f(x2,16)1，知c291625，c5，2c10.双曲线C的一条渐近线方程为yeq f(3,4)x，即3x4y0.因为圆与3x4y0相切，所以eq f(|3140|,r(3242)r，所以req f(3,5).10eq f(3,5)9(吉林实验中学期中)已知直线yeq f(r(3),3)x2与双曲线eq f(x2,12)eq f(y2,3)1的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，