2021-2022学年天津市滨海新区大港高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1如图，在正方体中，已知、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ）ABCD2设集合，集合 ，则 =（ ）ABCDR3某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考

2、成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A方差B中位数C众数D平均数4如图示，三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，则与面所成角的正弦值等于（ ）ABCD5设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ）ABCD6已知为圆：上任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )ABC（）D（）7阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个

3、“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为( )ABCD8已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（ ）ABCD9已知双曲线的一个焦点为，且与双曲线的渐近线相同，则双曲线的标准方程为( )ABCD10已知函数（，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11已知集合，则等于（ ）ABCD12若与互为共轭复数，则（ ）A0B3C1D4二、填空题：本题

4、共4小题，每小题5分，共20分。13边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为_.14若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为_15的展开式中，的系数是_.16从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表，甲被选中的概率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为（）求椭圆与椭圆的标准方程；（）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜

5、率的比值.18（12分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，丄底面.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.19（12分）我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：时间人数156090754515（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间

6、与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天办理社保手续所需时间超过4天60总计21090300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87920（12分）设数阵，其中、设，其中，且定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没

7、有，则这一行中所有数均保持不变”（、）表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、 ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为（1）若，写出经过变换后得到的数阵；（2）若，求的值；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过21（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，为棱的中点，为棱上任意一点，且不与点、点重合（1）求证：平面平面；（2）是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由22（10分）中的内角，的对边分别是，若，.（1）求；（2）若，点为边上一点，且，求的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共

8、60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解【详解】如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，且，、分别为、的中点，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，因此，平面.故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题2D【解析】试题分析：由题，选D考点：集合的运算3A【解析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上

9、次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，根据方差公式可知方差不变.故选：A【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4A【解析】首先找出与面所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且，是等边三角形，设中点为，连接，可知，同时易知，所以面，故即为与面所成角，有，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.5D【解析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；若上一步

10、在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,，即，数列是以为公比的等比数列，而，所以，当时，故选：D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.6B【解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，故，故轨迹为双

11、曲线，故，故轨迹方程为.故选：.【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.7D【解析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.8B【解析】利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数

12、的单调性求得再根据此范围求的最小值【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题9B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.【详解】双曲线与的渐近线相同，且焦点在轴上，可设双曲线的方程为，一个焦点为，故的标准方程为.故选：B【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在

13、于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.10B【解析】先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,再由, 取,.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,.,令,则,显然,是的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.11C【解析】先化简集合A，再与集合B求交集.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以

14、及分式不等式的解法，属于基础题.12C【解析】计算，由共轭复数的概念解得即可.【详解】，又由共轭复数概念得：，.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可.【详解】设底面边长为，则斜高为，即此四棱锥的高为，所以此四棱锥体积为，令，令，易知函数在时取得最大值.故此时底面棱长.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.14【解析】分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为

15、函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解,【详解】令；当时，不合题意；当时，令，得或，所以在区间和上单调递减.因为，且在区间上单调递增，所以在处取极小值，即最小值为.若，则，即.当时，当时，则.设，则.当时，；当时，所以在上单调递增；在上单调递减，所以，即，所以的最大值为.故答案为： 【点睛】本题考查不等式恒成立问题. 不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解15【解

16、析】先将原式展开成，发现中不含，故只研究后面一项即可得解.【详解】，依题意，只需求中的系数，是.故答案为：-40【点睛】本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.16【解析】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法, 从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），（2

17、）【解析】分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.详解：（）依题意得对：，得：； 同理：. （）设直线的斜率分别为，则MA：，与椭圆方程联立得： ，得，得,，所以同理可得.所以,从而可以求得因为，所以，不妨设，所以当最大时，此时两直线MA，MB斜率的比值.点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，

18、以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.18（1）见证明；（2）【解析】（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2）由，可得到，列出式子可求出，然后建立如图的空间坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由可得到答案【详解】（1）证明：在等腰梯形，易得 在中，则有，故，又平面，平面，即平面，故平面丄平面.（2）在梯形中，设， ，而,即，.以点为坐标原点，所在直线为轴，所在

19、直线为轴，所在直线为轴，建立如图的空间坐标系，则，设平面的法向量为，由得，取，得，同理可求得平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题19（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.【解析】（1）根据题意，结合已知数据即可填写列联表，计算出的观测值，即可进行判断；（2）先计算出时间在和选取的人数，再求出的可取值，根据古典概型的概率计算公式求得分布列，结合分布列即可求得数学期望.【详解】（1）因为样本数据中有流动人员210人，非流动人员90人

20、，所以办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表如下：办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天453075办理社保手续所需时间超过4天16560225总计21090300结合列联表可算得.有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.（2）根据分层抽样可知时间在可选9人，时间在可以选3名，故，则，可知分布列为0123可知.【点睛】本题考查独立性检验中的计算，以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，涉及分层抽样，属综合性中档题.20（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）由，能求出经过变换后得到的数阵；（2）由，求出数阵经过变化后的矩阵，进而可求得的值；（3）分和两种情况讨论，推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和，由此能证明的所有可能取值的和不超过【详解】（1），经过变换后得到的数阵；（2）经变换后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为、；同时含有和的子集共个，经过变换后第一行仍为、；不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为、所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为.若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一