概率统计课件：15第五章第三讲

1、 对于随机向量(X,Y),除了EX,EY,DX,DY以外,还知道X与Y之间的关系.下面引入协方差和相关系数。第四节 协方差和相关系数定义 称数值E(X-EX)(Y-EY) 为随机变量X与Y的协方差。 一 协方差记作即Covariance 另一个常用的计算公式:协方差的性质: 其中a,b是常数 若X与Y相互独立, 则 但, X与Y 未必相互独立.(4) 若X与Y不相互独立, 则 证：X与Y独立,则D(X+Y)=DX+DY18. 设(X,Y)的联合概率密度 求 (1) (2) X与Y不独立。解： 所以(2) 由于 ，所以 X与Y不独立.求当时, 有当时,例2 设定义 称数值相关系数或标准协方差,二

2、 相关系数为随机变量X与Y的记作XY, 或简记作, 即: 定理 若X与Y相互独立，则 即： X与Y相互独立 X与Y不相关但, X与Y不相关不一定X与Y相互独立。定义 若随机变量X与Y的相关系数=0, 则称X与Y不相关。 例1 设随机变量X和Y的联合分布律 YX -1 0 1 -1 0 0 1 验证: X与Y不相关，但X与Y不独立。证 由已知条件可以分别计算出X,Y的边沿分布律:X-101PY-101P则有因Y与X的分布律相同, 故 即X与Y不相关;即因此X与Y不相互独立.另一方面例2 若X的概率密度f(x)为偶函数,且E(X2)+, 试证|X|与X不相关, 但|X|与X不相互独立.xf(x)为

3、奇函数, 故又知|x|x f(x)为奇函数, 故可得Cov(|X|,X)=E(|X|X)- E(|X|)E(X)证从而有Cov(|X|,X)=E(|X|X)- E(|X|)E(X)=0因此, |X|与X不相关.E(X2)0, 使 由于，则故|X|与X不相互独立.|X|与X不相互独立. (举反例)f(x)为偶函数, 证明定理 设 =0 X与Y相互独立 ；XY=0 X与Y不相关.对服从二维正态分布的随机变量(X,Y)，X与Y独立 X与Y不相关对一般随机变量(X,Y)，X与Y独立 X与Y不相关，反之不真。例 3 设随机变量且(1) 当=0时, 求Z的概率密度fZ(z)及D(XY);(2)当时, 求及

4、.解: (1) 由=0知, X与Y相互独立, Z=X-2Y+1并由得: 所以, Z=X-2Y+1服从正态分布,故ZN(-1,17), Z的概率密度为 由X与Y的独立性, 知X2与Y2也独立, 则 (2) 当时, 求 (柯西施瓦兹不等式)设X,Y为任意随机变量，则 (1) E(XY)2E(X2)E(Y2) (2) 等式成立存在常数t0 , 使P Y=t0X 1 等式 E(XY)2 = E(X2)E(Y2)成立存在常数t0 ，使u(t0)=E(t0XY)2=0 PY=t0X1证: (1) 记u(t)=E(tXY)2 0, t为任意实数，=E(X2) t22E(XY)t+E(Y2) 0故 =2E(X

5、Y)24E(X2)E(Y2) 0柯西许瓦兹不等式成立。定理 对相关系数相关系数的性质:其中a,b是常数.越接近于1时, X与Y越接近线性关系。由此可知：相关系数刻划了随机变量X与Y之间线性关系的近似程度。时，X与Y之间以概率1成立线性关系。 |=1 存在常数t0 ，使 PYEY=t0(XEX)=1即 PY=t0X+EY-t0EX=1即 PY=aX+b=1证：(1) 由柯西施瓦兹不等式定理得：矩是一些数字特征的泛称或总称。在概率论和数理统计中,矩占有重要的地位。矩、协方差矩阵矩的概念前面讨论的数学期望、方差、协方差等数字特征都是某种矩.在理论和实际中，这些数字特征还不够用， 还需要更多的其它矩。

6、若 存在，称它为X的k阶原点矩；存在，定义 设X和Y是随机变量,若显然, X的数学期望EX=EX1就是一阶原点矩,就是二阶中心矩。方差称它为X的k阶中心矩。此外，定义: k阶中心绝对矩(k+l )阶原点混合矩(k+l )阶中心混合矩 k阶原点绝对矩若 称为n维随机向量的协方差矩阵。协方差矩阵定义 对于n维随机向量则矩阵存在，显然协方差矩阵是一个对称矩阵.二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度为 若令 (X1,X2)的协方差矩阵为 则有于是(X1,X2)的概率密度可写成推广到n维正态随机变量(X1,X2,Xn)概率密度为其中 n维正态随机变量(X1,X2,Xn)的定义.(在多元统计分析和随机过程中要用到)一.单项选择题1.则下列结论正确的是( )2.盒中有2个红球3个白球，有放回取球20次，每次取一球，设X为取到红球的次数，Y为取到白球的次数，则下列结论中错误的是( )设：AA3.设r.v,(X,Y)N(0,1;1,1;0),则下列结论正确的是( )4.设X的概率密度为且EX=3/4,则下列各式中正确的是( )则PX+Y1= X的边缘概率密度fX(x)=5.设X与Y相互独立, 且EX=2,EY=3,则E(X+Y)2=( )(A)51 (B)10 (C)25 (D)30二.填空题1.设r.v.(X,Y)的概率密度为1/4设r.v.X服从参数为的指数分布，则5