数字电路课件：第二章 逻辑代数基础

1、第二章 逻辑代数基础本章主要内容：本章介绍分析数字电路逻辑功能的数学方法。主要内容有：本章重点内容：逻辑函数表示逻辑函数化简逻辑代数的基本公式、常用公式和重要定理逻辑函数及其表示方法逻辑函数的化简。本章学时安排： 6学时本章习题：2.4、2.7、2.8、2.10、2.12、2.15、2.2212.1 概述在数字电路中，我们要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系（因果关系），所以数字电路又称逻辑电路。二进制数码表示不同的逻辑状态，它们之间按指定的某种因果关系进行推理运算，称逻辑运算。进行逻辑运算的数学方法是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑变量只能取两个值（二值变量），即1和0，这里的1和

2、0不是数量大小的概念，而是预先规定的代表事物的两种完全相反状态的符号。若定义一种状态为1，则另一种状态就为0。如灯亮用1表示、则灯灭就为0，不考虑灯损坏等。只有两个对立的逻辑状态（二值逻辑）。2.2 逻辑代数中的三种基本运算定义为逻辑变量A、B、C、全部为“1”时，逻辑结果Y才能是而且必定是“1”；反之，A、B、C、中任一个为“0”，则Y必定是“0”。一、“与”逻辑意味着：各条件缺一不可逻辑代数的基本运算有与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种，复杂的逻辑运算关系都可以用与、或、非的组合来实现。2.2 逻辑代数中的三种基本运算ABY与逻辑关系的事件如下图所示的二串联开关A、B控制一盏灯Y的

3、电路。只有A、B两开关同时闭合时，指示灯Y才亮。真值表与运算口诀：有0得0，全1才1。设开关闭合为1、断开为0，灯亮为1、灯灭为0，则逻辑关系可用下面的表格表示。111001010000YBA一、“与”逻辑逻辑代数式记为：Y= ABC或Y =ABC或Y=ABC逻辑与运算又称逻辑乘运算逻辑符号：ABY&BAY目前国家标准局规定符号国外一些书刊和资料上的符号2.2 逻辑代数中的三种基本运算意味着：满足任一个条件即可定义为逻辑变量A、B、C、全部为“0”时，逻辑结果Y才能是而且必定是“0”；反之，A、B、C、中任一个为“1”，则Y必定是“1”。二、“或”逻辑2.2 逻辑代数中的三种基本运算真值表或运

4、算口诀：有1得1，全0才0。设开关闭合为1、断开为0，灯亮为1、灯灭为0，则逻辑关系可用下面的表格表示。111101110000YBA或逻辑关系的事件如下图所示的二并联开关A、B控制一盏灯Y的电路。 A、B两开关只要有任何一个闭合时，指示灯Y就亮。ABY2.2 逻辑代数中的三种基本运算记为：Y= A+B+C+逻辑代数式逻辑或运算又称逻辑加运算定义为逻辑变量A为“0”时，逻辑结果Y必定是“1”；反之，A为“1”时，则Y必定是“0”。意味着：输出和输入相反三、“非”逻辑逻辑符号：目前国家标准局规定符号国外一些书刊和资料上的符号1BAYABY2.2 逻辑代数中的三种基本运算设开关闭合为1、断开为0，

5、灯亮为1、灯灭为0，则非逻辑关系的真值表如下。0110YA非逻辑关系的事件如下图所示的由开关A控制灯Y的电路。开关A闭合，灯Y就灭；A断开，则灯Y亮。 AYR逻辑代数式：读作“A非”称逻辑非或逻辑反逻辑符号：AY目前国家标准局规定符号国外一些书刊和资料上的符号1AY2.2 逻辑代数中的三种基本运算四、最常见的几种复合逻辑关系“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以用它们的组合来表示。常见的有与非、或非、与或非、异或、同或等。011101110100YBA&BAY目前国家标准局规定符号ABY国外一些书刊和资料上的符号与非：A、B均为1时，则Y 为0；否则Y为1。有0得

6、1全1才0“与非”逻辑2.2 逻辑代数中的三种基本运算“或非”、“异或”逻辑或非：A、B均为0时，则Y为1；否则Y为0。有1得0全0才1011001010100YBA异或：A、B不相同时，则Y 为1；相同时Y为0。1BAY目前国家标准局规定符号ABY国外一些书刊和资料上的符号011101110000YBA目前国家标准局规定符号1BAY国外一些书刊和资料上的符号ABY2.2 逻辑代数中的三种基本运算“同或”、“与或非”逻辑与或非：A、B及C、D之间均为与的关系，只要A、B或C、D任一组同时为1，Y就为0。否则Y为1。同或：A、B相同时，则Y 为1；不相同时Y为0。BAY目前国标符号1110010

7、10100YBA国外流行符号ABY国外流行符号ABCDY目前国标符号&1ABDCY=AB2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式从三种基本的逻辑运算关系，我们可以得到以下的基本运算公式（公式14、9、1114）。0 0=00 1=01 0=01 1=1公式1 0 A=0公式2 1 A=A公式3 A A=A公式4 A A=0与运算2.3.1 基本公式（布尔恒等式）非运算公式92.3 逻辑代数的基本公式和常用公式或运算0+0=00+1=11+0=11+1=1公式11 1 +A=1公式12 0+A=A公式13 A +A=A公式14从一些基本的代数规律，我们可以得到基本运算公式5、15、6、16、7、17

8、。交换律公式15 A+B=B+A公式5 A B=B A结合律公式16 A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B公式6 A (B C)=(A B) C2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式公式17证明：右边=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC =A（1+C+B）+BC=A+BC摩根定律公式8公式18可以用列真值表的方法证明：11011000BA001001110011111100000011分配律公式17 A+B C=(A + B) (A+C )公式7 A (B+C)=AB+AC普通代数不适用！2.3.2 若干常用公式（由基本公式导出）2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式公式21

9、A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A1=A公式22证明：（公式17）公式23 AB+AB = A 公式24 A（A+B）=A 证明：左边=AA+AB=A+AB=A（1+B）=A说明：变量A和包含A的和相乘时，其结果等于A，可将和消掉。2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式推论：证明：公式251公式26；证明：2.4 逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理证明：摩根定理适用于多变量情况二变量摩根定理为 及以（B+C）代替左边等式中的B，得以（BC）代替右边等式中的B，得在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。变量A的取值仅0和1两种，而任一

10、个逻辑式的取值也仅有0和1两种。用代入定理容易把基本公式和常用公式推广为多变量形式。2.4.2 反演定理2.4 逻辑代数的基本定理例1：已知Y=A(B+C)+CD，求Y。解：由反演定律得例2：证明摩根定律是反演定理的特例。设由反演定律得所以注意：遵循与普通代数一样的运算优先次序“括号、乘、加”。不属于单个变量的反号应保留不变。对任一个逻辑式Y，若将其中所有的“”换成“”， “”换成“”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y。这个规律叫做反演定理。2.4 逻辑代数的基本定理2.4.3 对偶定理若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。对偶式对任一

11、个逻辑式Y，若将其中的“”换成“”， “”换成“”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式YD，则YD就叫做Y的对偶式。或者说Y和YD互为对偶式。例如则则证明两个逻辑式相等，可通过证明它们的对偶式相等来完成。因有时证明它们的对偶式相等更容易。例：证明基本公式左边的对偶式，右边的对偶式，显然两者相等。基本公式中有很多是对偶式，请自行分析。2.5 逻辑函数及其表示方法2.5.1 逻辑函数以逻辑变量作为输入，以逻辑结果作为输出，则输出和输入之间是函数关系；当输入变量的取值确定后，输出的取值也随之而定。称为逻辑函数，写作逻辑变量和函数都仅有0和1两种取值，二值逻辑函数。任何一件具体的因果关系都可用一

12、个逻辑函数描述。2.5.2 逻辑函数的表示方法常用的表示方法有逻辑真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡诺图和硬件描述语言等。一、逻辑真值表逻辑真值表简称真值表，是将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，以表格形式一一对应地列出。2.5 逻辑函数及其表示方法注意：n个输入变量可以有2n个组合，一般按二进制数由小到大的顺序，将输出与输入一一对应，列出所有可能的状态。例：如下图所示电路，设开关闭合为1、断开为0；指示灯亮为1、灭为0。则以开关A、B、C为输入，指示灯Y为输出，其真值表如右所示。ABCY11111011110100010110001001000000YCBA输出输入2.5 逻辑函数

13、及其表示方法二、逻辑函数式逻辑函数式也称逻辑式或函数式，是把逻辑函数的输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式。比如三、逻辑图把逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号和连线表示出来。例如2.5 逻辑函数及其表示方法四、波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。2.5 逻辑函数及其表示方法五、各种表示方法间的转换从真值表写出逻辑函数式逻辑真值表11111011110100011110001001000000YCBAY为1的情况有4种，而4种情况中满足任意一种都可使Y为1 ，故Y应为4种情况逻辑相加，即为或逻辑关系。每种情况中

14、三个变量的取值必须同时满足，比如当A=0、B=1、C=1时，Y=1，即ABC=1时，Y=1；所以三个变量取值的组合对应一个乘积项，是与逻辑关系。因此，Y为4个乘积项之和。找Y=1的输入变量取值组合每种取值组合对应一个乘积项，值为1的写原变量，为0的写反变量。将各个乘积项相加，得Y。步骤：2.5 逻辑函数及其表示方法从逻辑式列出真值表将输入变量的所有取值组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。从逻辑式画出逻辑图用图形符号代替逻辑式中的运算符号，加上连线，就得到逻辑图。从逻辑图写出逻辑式从输入端开始逐个写出每个图形符号输出端的逻辑式，直到末端。2.5 逻辑函数及其表示方法5. 从波

15、形图列出真值表 从波形图上找出所有时间段里输入变量与输出变量的取值，并将其对应列成表格。逻辑真值表11110011110100010110101011000000YCBA6. 从真值表画出波形图 将真值表中所有输入变量与对应的输出变量取值，依次排列画成以时间为横轴的波形。2.5 逻辑函数及其表示方法2.5.3 逻辑函数的两种标准形式一、最小项和最大项最小项在n变量逻辑函数中，若乘积项m包含所有n个变量，而且在m中每个变量只能以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。则称m为该组变量的最小项。例如n变量有2n个最小项。如3变量有23=8个最小项。2变量A、B：AB 、AB、AB、AB3变量A

16、、B、C：ABC、ABC、ABC、ABC、 ABC、 ABC、 ABC、 ABC3变量中使每个最小项为1的变量取值按二进制数码从小到大排列：000、001、010、011、100、101、110、111，对应十进制数依次为07，依次将最小项记作m0m7。如m4表示ABC。2.5 逻辑函数及其表示方法最小项的性质：对输入变量的任一取值组合，必有且仅有一个最小项为1。所有最小项之和为1。任意两最小项的乘积为0。若两个最小项只有一个因子互反、其它相同，则称它们逻辑相邻。逻辑相邻的两个最小项相加后，可合并为一项并消去互反的因子。 和逻辑相邻，则如最大项在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且在M中

17、每个变量只能以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。则称M为该组变量的最大项。例如、3变量A、B、C：、2.5 逻辑函数及其表示方法最大项的性质：对输入变量的任一取值组合，必有且仅有一个最大项为0。所有最大项之积为0。任意两最大项之和为1。只有一个因子互反的两个最大项的乘积等于各相同因子之和。如最大项和最小项的关系：如，则n变量有2n个最大项。如3变量有23=8个最大项。3变量中使每个最大项为0的变量取值按二进制数码从小到大排列：000、001、010、011、100、101、110、111，对应十进制数依次为07，依次将最大项记作M0M7。如M4表示最大项 。2.5 逻辑函数及其表示方

18、法二、逻辑函数的最小项之和形式利用A+A=1可把任一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。这种标准形式广泛应用于逻辑函数化简及计算机辅助分析和设计中。如可化为三、逻辑函数的最大项之积形式任何一个逻辑函数都可以化成最大项之积的标准形式。最小项之和必为。设，因为全部最小项之和为1，所以以外的由反演定理得2.5 逻辑函数及其表示方法2.5.4 逻辑函数形式的变换逻辑函数式通常是由几个乘积项相加组成的，称为与-或逻辑式，或称“积之和”形式。如：若受器件限制（只有与非门），则需要把逻辑函数式变换为全部由与非运算组成，称为与非-与非逻辑式。Y的与非-与非式：，利用如：已知与-或式可得可以通过运算将与或形式的

19、逻辑函数变换为最小项之和或最大项之积的形式。若只有或非器件，则需要把逻辑函数式变换为全部由或非运算组成，称为或非-或非逻辑式。与-或式与或非形式用反演定理或非-或非式2.6 逻辑函数的化简方法2.6.1 公式化简法当用电路来实现一个逻辑函数的功能时，逻辑式越简单，所需要的电子器件就越少。所以，常常需要把逻辑函数化简以找出逻辑函数的最简形式。逻辑式中，若相加的乘积项不能再减少，而且每项中相乘的因子不能再减少时，则函数式为最简形式。公式化简法就是用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，求得函数式的最简形式。公式化简法没有固定的步骤。常用化简方法：公式化简法、卡诺图化简法

20、、Q-M法。2.6 逻辑函数的化简方法2.6.1 公式化简法一、并项法利用公式，注意A和B都可以是任何复杂的逻辑式。例1：用并项法化简解：二、吸收法利用公式，A和B同样可以是任何一个复杂的逻辑式。例2：用吸收法化简解：2.6 逻辑函数的化简方法三、消项法利用公式及消去BC或BCD ，其中A、B、C、D都可以是任何复杂的逻辑式。例3：用消项法化简解：四、消因子法用公式，A、B可以是任何复杂的逻辑式。消去例4：用消因子法化简解：2.6 逻辑函数的化简方法五、配项法根据A+A=A，在函数式中重复写入某一项，以得到更简结果。例5：试化简解：在式中重复写入，则得到例6：试化简解：根据 ，可在函数式中的某

21、一项上乘以 ，然后拆成两项分别与其它项合并，以得到更简结果。1.6 逻辑函数的公式化简法公式化简法没有固定的步骤，在化简复杂的逻辑函数时，往往需要灵活、交替地综合运用上面介绍的并项、吸收、消项等方法，才能得到最后的化简结果。平时要多做练习，以期“熟能生巧”、“举一反三”。消因子法并项法例6：试化简逻辑函数解：解：2.6 逻辑函数的化简方法例7：试化简逻辑函数配项法吸收法并项法反演定理2.6 逻辑函数的化简方法2.6.2 卡诺图化简法一、逻辑函数的卡诺图表示法将n个变量的全部最小项各用一个小方块表示，并且将逻辑相邻的最小项排列在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就叫做n变量最小项的卡诺图。m3m2

22、m1m0AB01012变量卡诺图m6m7m5m4m2m3m1m0ABC00011110013变量卡诺图m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD00011110000111104变量卡诺图2.6 逻辑函数的化简方法卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把使最小项为1的变量取值一一对应地注明在阵列图的上方和左方。注意：每个最小项与其上、下、左、右的最小项均是逻辑相邻。每一行最左端与最右端的最小项、每一列最上端与最下端的最小项也是逻辑相邻。几何位置相邻的最小项具有逻辑相邻性，即只有一个因子互反，而其它因子相同。一、逻辑函数的卡诺图表示法最小项编

23、号m2，即当变量ABCD=0010（十进制数2）时该最小项为1。对应的最小项是：2.6 逻辑函数的化简方法卡诺图两侧（或称为行、列坐标）标注的0和1表示使对应小方格（行列交叉处）内的最小项为1时的变量取值，有时为了方便，用二进制数码表示行、列坐标变量的组合，用二进制对应的十进制数表示方格对应的最小项。如4变量卡诺图1011981415131267542310ABCD00011110000111104变量卡诺图卡诺图法是逻辑函数化简的一个重要方法，首先要熟记卡诺图的排列规则。下面的动画可帮助我们进一步理解卡诺图。一、逻辑函数的卡诺图表示法2.6 逻辑函数的化简方法二、用卡诺图表示逻辑函数任一个逻

24、辑函数都可表示为若干最小项之和，而卡诺图是最小项阵列图，所以可用卡诺图来表示任一个逻辑函数。步骤：将逻辑函数化为最小项之和形式；以外的位置填0。将卡诺图中与对应的最小项的位置填1，而将解：先将Y化为最小项之和形式例1：用卡诺图表示逻辑函数2.6 逻辑函数的化简方法画出4变量卡诺图，在对应于mi（i=1，4，6，8，9，10，11，15）的最小项的位置上填1，在其余位置上填0，则可得表示Y的卡诺图。1111010010010010ABCD0001111000011110例2：已知逻辑函数Y的卡诺图如下，试写出该逻辑式。01011010ABC0001111001函数Y 等于卡诺图中填入1的那些最小

25、项之和2.6 逻辑函数的化简方法1、合并最小项的规则三、用卡诺图化简逻辑函数也称图形化简法，其基本原理就是逻辑相邻的最小项相加，可消去互反的因子。因卡诺图按逻辑相邻原则排列最小项的几何位置，所以在图上能直观地找出逻辑相邻的最小项并将其合并化简。0110001100110110ABCD0001111000011110以函数Y的化简为例来说明将逻辑相邻的最小项两两圈起来，称为卡诺圈。分别将4个卡诺圈中的两个最小项相加，可消去互反的因子、只剩下相同的因子。化简结果如下2.6 逻辑函数的化简方法0110001100110110ABCD0001111000011110观察以上结果，它们两两之间也是仅有一

26、个因子互反、即逻辑相邻，可进一步简化。相当于圈成2个大卡诺圈。每个圈中有4个相邻的1。将4个逻辑相邻的最小项圈成一个卡诺圈，合并后将消去两个变量。2.6 逻辑函数的化简方法依此类推，若是8个逻辑相邻的最小项圈成1个卡诺圈，合并将会消去三个变量、只剩下8个最小项中的公共因子。0110011001100110ABCD0001111000011110如右图，8个最小项中的公共因子只有D，合并后将消去A、B、C三个变量。圈卡诺圈合并最小项的规则：逻辑相邻的最小项的个数是2n（n是正整数）个，并组成矩形组时，可以圈为一个卡诺圈、合并为一项。合并后将消去n个变量、只剩下这些最小项的公共因子。2.6 逻辑函

27、数的化简方法只能是2n个（2、4、8）逻辑相邻且组成矩形组的1才能圈为一个卡诺圈，3个、6个1不能圈，不排成一个矩形组不能圈。0001001100100000ABCD00011110000111100111010001000000ABCD00011110000111102.6 逻辑函数的化简方法卡诺圈越大越好，卡诺圈越大，所包含的最小项就越多，合并后消去的变量也越多, 2n（n是正整数）个1组成的卡诺圈，合并后将消去n个变量；而卡诺圈的个数越少越好，因一个卡诺圈将合并为一项，故卡诺圈的个数越少，最后得到的函数式的项数越少。两者结合，最后得到最简化的函数式。所有逻辑相邻的1都要圈完（不能漏圈）。

28、每一个新卡诺圈中必须至少有一个1不曾被前面的卡诺圈所包含，才是独立的。若两卡诺圈完全相同，则不会起化简作用。因为A+A=A。2、卡诺图化简法的步骤将函数化为最小项之和形式。画出表示该逻辑函数的卡诺图。根据圈卡诺圈合并最小项的规则，画出各卡诺圈。每个卡诺圈合并为一个乘积项，将各乘积项相加，得最简函数式。例1：用卡诺图法化简逻辑函数解：Y已是最小项之和形式，可直接画出该函数的卡诺图。11100100ABC0001111001画卡诺圈；将各卡诺圈的合并结果相加，得到Y的最简形式。例2：用卡诺图化简将Y化为最小项之和形式2.6 逻辑函数的化简方法画出该函数的卡诺图0110111111101110ABC

29、D0001111000011110圈卡诺圈，基本规则是“圈尽可能大，圈的个数尽可能少”。将各卡诺圈的合并结果相加，得到Y的最简式如下：合并各卡诺圈中的最小项，其合并结果等于卡诺圈中所包含的最小项的公共因子之积。对卡诺图熟练后，可以省去把函数式化为最小项之和的第步，直接画函数的卡诺图。如 一项，包含了所有含有 的最小项，对应于右上角的4个1。这实际是合并卡诺圈化简的逆过程。2.6 逻辑函数的化简方法解：省略将Y化为最小项之和一步，直接画出该函数的卡诺图。画卡诺图时，碰到某个最小项多次重复出现的情况，即某方格的值多次重复为1，算一次1就可以了。A+A=A2.6 逻辑函数的化简方法例3：用卡诺图化简

30、11111111000000ABCD000111100001111011111111依据“圈尽可能大，圈的个数尽可能少” 的基本规则圈卡诺圈；合并各卡诺圈中的最小项，将各合并结果相加，得最简式。1111111110101101ABCD0001111000011110例4：已知函数Y的卡诺图如下，试将Y化简。A2.6 逻辑函数的化简方法2.6 逻辑函数的化简方法例4：已知函数Y的卡诺图如下，试将Y化简。1111100111111111ABCD0001111000011110分析Y的卡诺图，1的数目远大于0的数目，所以采用合并0的方法会比合并1来得简单。因为全部最小项之和为1，而Y等于卡诺图中为1的最小项之和，则其余的最小项之和应为Y，即Y 等于卡诺图中为0的最小项之和。ABD图中只有两个0、且逻辑相邻，圈起来合并后，得若采用合并1的方法将得到同样的结果。请自行分析。2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数中的无关项分析某些具体的逻辑函数时，经常对输入变量的取值有限制，即输入变量的取值不是任意的，称为约束。则该组变量为具有约束的一组变量。通常用约束条件来描述约束的具体内容。例如，一台电动机正转、反转、停止的命令分别用三个逻辑变量A、B、C表示，A=1表示正转、B=1表示反转、C=1表示停止。因任何时候只能执行其中一个命令，所以ABC的取值只能为00