离散数学：6-8有 限 域（蓝色）

1、6.8 有限域有限域(Galois域) 定义. 只有有限个元素的域称为有限域，或Galois域。设F是一个有限域，则1、F的特征不可能是02、F的特征为质数p ，以RP为其最小子域3、设F为q元域，则F中q-1个非0元素在乘法下作成一个q-1元群，因而都适合方程xq-1=1。由此知，F中q-1个非零元素都是多项式xq-1 -1 的根， F中q个元素都是多项式xq - x的根。FRp定理6.8.1 F中的q-1个非0元素恰是所有q-1次单位根，而F的所有q个元素恰是多项式xq - x的所有的根。证明：多项式xq-1-1最多只能有q-1个根。但F的非0元素已经是它的q-1个不同的根，所以F的非0元

2、素恰是xq-1-1的所有的根，因而也就是所有的q-1次单位根。类似地可以说明：F的所有元素恰是xq - x的所有的根。 有限域(Galois域) 定理6.8.2 F的q-1个非0元素在乘法下作成一个q-1元循环群，其(q-1)个生成元素恰是q-1(x)的所有的根。 证明： （1） q-1不是特征p的倍数（反证法）若p|(q-1), 则(xq-1-1)=(q-1) xq-2=0, 因而xq-1-1有重根，与定理6.8.1矛盾。（2） q-1(x)在F中有根F既然包含xq-1-1所有的根，自然也包含q-1(x)的根。故由定理6.8.1和上节定理6.7.24，可知该定理成立。有限域(Galois域)

3、 在Rpx中取q-1(x)的一个不可约因式(x)。设次(x)=n。由定理6.8.2，(x)在F内应有n个根。设是(x)在F中的一个根。于是 ()= 0 RpxFx有限域(Galois域) 规定Rpx到F内的一个映射如下： (x)= () FRpx(x)()有限域(Galois域) 00 xkk(1)是Rpx到F上的映射。显然, (0)=0。任取F, 0，于是是q-1次单位根，因为是(x)的根而(x)q-1(x)，所以是本原q-1次单位根，因而=k，从而xkRpx，使 (xk)=k=.所以是Rpx到F上的映射。有限域(Galois域) (2)是Rpx到F的同态映射。 (x)+g(x)=()+g(

4、)=(x)+(g(x)， (x)g(x)=()g()=(x)(g(x)有限域(Galois域) (3) 设的核为主理想(x)Rpx(见6.7习题3)。因是(x)的根，(x)=()=0，所以(x)在核内，故(x)|(x)。因为(x)不可约，(x)或是常元素或与(x)相通。因为F不只有一个元素0，所以的核不能是Rpx全部，因而(x)不是常元素。可见(x)与(x)相通，而的核可以写成(x)Rpx的形式。FRpx(x)()0FRpx(x)()0同态映射 (x)= () 自然同态同构xkk0RpRp(x)()1xr(x)引理： 设F是q元有限域，特征为p，设(x)为q-1(x)在Rpx中的一个n次质式，

5、是(x)在F中的一个根。于是，F中的任意元素可以唯一地表为 a0 + a1 + a22 + + an-1n-1 的形式，其中a0，a1，an-1Rp。证明(1) 可表性。任取F，有f(x)Rpx，使得(f(x)= ，以(x)除(x)： (x)= q(x)(x)+ r(x)， 次r(x)n-1。故, =(f(x)= () =(q(x)(x)+ r(x)= q()()+ r() = q() 0+ r()=r() 因而 = a0 + a1 + a22 + + an-1n-1 . (2) 证表法唯一。设r(x)，s(x)是最多n-1次的Rp上面的多项式， =r()=s()，欲证r(x)=s(x)。因为

6、r()- s()=0，故r(x)-s(x)在的核内, 因而(x)r(x)-s(x)。但次(x)= n次(r(x)-s(x)，故r(x)-s(x)只能是多项式0。 证毕。因 = a0 + a1 + a22 + + an-1n-1 中n个系数每个有p种取法，所以F中元素的个数q = pn。证明定理6.8.3有限域的元数q必为pn的形式，其中p为其特征。如果同构的域看作是一样的，则对任意q=pn恰有一个q元有限域。证明： q = pn已证。(1)唯一性。设F, F都是q元有限域，则它们具有相同的特征p，都包含Rp为其子域。取q-1(x)的一个不可约因式(x)，则有，因此，若同构的域看作一样，对任意q

7、=pn最多只能有一个q元有限域。 证明 (2) 证对任意q=pn确有q元有限域存在取q-1(x)在Rpx中的一个不可约因式(x)，设次(x)=m, 则(x)Rpx是Rpx的极大理想, 所以是一个域。|F|=pm，所以域F的特征为p， F包含Rp为其最小子域，在Rp中，p个1相加等于0，所以在域F中，p个 相加等于 ，。不妨把 ，仍记为0，1，用代表包含x的那个剩余类：=因为(x)(x)Rpx，于是，()=( )= = = 0证明因此，是(x)在F中的根。今(x)q-1(x)，q-1(x)xq-1-1，故是q-1次单位根。由上节定理6.7.24，域F中恰有xq-1-1的q-1个不同的根。添上0，

8、我们便得到xq-x的q个不同的根。往证这q个元素作成的集合F是一个域。显然，F F ，往证F是F的子域。（加法子群）任取F, F，则故- F。证明（乘法子群）任取F, F, 0,则故 F 这就证明了确有包含q个元素的域存在。 除同构的域外，唯一确定的pn元有限域通常记为GF(pn)。定理6.8.4 在Rpx中的任意质因式(x)必是m次多项式。因此，对任意m1，Rp上有m次质式。证明：命F=GF(pm)。设次(x)=n。根据前面的结论，F中的任意元素a可表示为a0 + a1 + a22 + + an-1n-1，则F的元数应是pn。因此， pn=pm ，故n=m。 引理6.8.1tm-1tn-1，

9、当且仅当mn。t是一个文字或是一个大于1的整数均可。证明：设n = sm+r， 0rm于是，tn-1 = tsm+ r- tr + tr-1 =tr (tm-1)(tsm-m + tsm-2m + + 1)+tr-1若mn，则r=0，tr-1=0。故tm-1tn-1。若m不整除n，则0rm，因之tr-1非0， 当t是文字时, 次(tr-1) 次(tm-1)， 当t是大于1的整数时，tr-1 tm-1，所以tm-1不整除tn-1。 定理6.8.5对任意mn，GF(pn)恰有一个子域GF(pm)，而这也就是GF(pn)的所有子域。证明： (1) 存在性。设mn, 由引理6.8.1, pm-1pn-

10、1。再由引理6.8.1，GF(pn)中包含 的所有根，故包含 的所有根，因而包含 的所有根。如定理6.8.3证明中所证，这pm个根作成一个域GF(pm).证明(2) 唯一性。任何子域GF(pm)也只能由的 所有根组成，所以GF(pn)恰有一个子域GF(pm)。设F是GF(pn)的任意子域，其特征必是p，因而是GF(pm)的形式。此GF(pm)的非0元素是GF(pn)的非0元素的一部分，故，由引理6.8.1，pm-1pn-1，再由引理6.8.1，mn 。可见F为GF(pm)， mn 。 例：构造8元有限域解：由于8=23，所以，p=2, m=3。（1）首先求 ，即7(x)。由x7-1=71，x-

11、1=1，得（2）求7(x)在R2x中的3次质因式(x)。7(x)=(x3+x2+1)(x3+x+1)，我们不妨取(x)=x3+x+1，则R2x/(x) R2x)=（3） 若取 ，则 即是(x)在 中的一个根。因此，GF(8)=a0 +a1+a22|a0，a1，a2R2 =0,1,+1,2,2+1,2+,2+1.该域的加法表 + 0 1 +1 2 2+1 2+ 2+1 0 0 1 +1 2 2+12+2+11 1 0 +1 2+12 2+12+ +1 0 1 2+2+12 2+1+1 +1 1 0 2+12+2+12 2 2 2+12+2+10 1 +1 2+12+12 2+12+1 0 +1 2+2+2+12 2+1 +1 0 1 2+12+1