4.郝思路四步三讲之第三步数学思想篇1分类讨论上

1、网络课程 内部讲义分类教 师：爱护环境，从我做起，提倡使用“名师” 资料室 免费资料任你一、分类（一）由某些数学概念、定理、公式、法则引起的分类：y y21化简：x2已知 为锐角，化简： 1 2sin cos3若|a|=3，|b|=5，求|a+b|4若 a2 ma 9 是一个完全平方式，则 m 的值是多少？5已知：半径不相等的两个圆有公共点，则这两个圆的公切线的条数是多少？6已知方程 x2 2ax a2 a 1 0 有两个实根，化简： a2 1 2a 2 a7已知： a b b c c a p ，则直线 y=px+p 一定会通过第几象限？cab 第 1 页 址：（9：0021：00 every

2、day）“名师” 答疑室随时随地提问互动（二）由某些字母系数的数学表达式引起的分类8解关于 x 的方程(a 1)x2 2ax a 0 x m9m 为何值时， 2 1 1 无实数解？x 1x10已知：抛物线 y x2 (a 2)x 9 的顶点在坐标轴上，求 a 的值11已知一次函数 y x 8 和反比例函数 y k (k 0)x（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个交点为 A、B，试比较AOB 与 90角的大小 第 2 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 资料室 免费资料任你（三）由条件画出的图形的位置或形状不确定，引

3、起的分类：12等腰ABC，腰 AC 上的中线 BD 把三角形的周长分为 12 和 15 两部分，求这个三角形的各边长13已知：梯形 ABCD，AD/BC，AB=CD，ADBC=56， A、 D 的平分线都与 BC 相交，且两交点把 BC 三等分，若梯形周长为 57cm，求梯形中位线的长14在 RtABC 中， C=90，AB=5，AC=4，以点 C 为顶点作等边CDE，使点 D 在 AB 上，且有一条边在ABC 的一条边上，求等边CDE 的边长15已知：在半径为 5cm 的O 内，AB、CD 是两条平行弦，且 AB=8cm，CD=6cm，求 AC 的长 第 3 页 址：（9：0021：00 e

4、veryday）“名师” 答疑室 随时随地提问互动16已知：ABCD 的周长为 52，自顶点 D 作 DEBA，DFBC，垂足为 E、F，若 DE=5，DF=8，试求 BE+BF 的长17已知：ABC 的边 AB= 23 ，AC=2，BC 边上的高 AD=3 ，求 BC 的长的解法如下：如图： AD BCBD AB2 AD2 DC AC 2 AD2 (2 3)2 ( 3)2 322 (3)2 1 BC BD DC 3 1 4此人的解法对吗？ 第 4 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 资料室 免费资料任你18（08 西城二模 24）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y

5、 ax2 2 3x c 经过点 A（2，0）和原点 O，顶点是 D.（1）求抛物线 y ax2 2 3x c 的式；在 x 轴的上方的抛物线上有点 M，连接 DM 与线段 OA 交于 N 点，若 S MON : SODN 2 :1 ，求点 M 的坐标；若点 H 是 x 轴上的一点，以 H、A、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一个顶点 F在 y 轴上，写出 H 点的坐标。（直接写出，不要求计算过程）（四）由问题（特别是代数问题）的条件或结论不唯一引起的分类：19在直角坐标系 xOy 中，一次函数 y 2 x 2 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 C 坐3标为（1，0），

6、点 D 在 x 轴上，且BCD ABD ，求图象经过 B、D 两点的一次函数的式 第 5 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 答疑室 随时随地提问互动20二次函数 y ax2 ( 4 3a)x 4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，若ABC 为等3腰三角形，求二次函数的式（五）依题意进行分类的应用问题：21甲、乙两班同学同时从学校沿一路线离学校 S km 的军训地参加训练，甲班有一半路程以 V1km/h 的速度行走，另一半路程以 V2 km/h 的速度行走；乙班有一半时间以 V1 km/h 的速度行走，另一半时间以 V2 km/h 的速度行走。设甲

7、、乙两班同学走到军训（1）试用含 S、V1、V2 的代数式表示 t1 和 t2的时间分别为 t1 h，t2 h.（2）请你判断甲、乙两班哪一个班的同学先到达军训？说明理由。22为改造河流，若请甲队独干需 3 个月完成，每月耗资 12 万元，若请乙队独干需 6 个月完成，每月耗资 5 万元（1）请问甲、乙两队合作需几个月完成？耗资多少万元？（2）因某种原因工期要求最迟 4 个月完成此项工程，请你设计案，既保证按时完成任务，又最大限度节约？（时间按整月计算） 第 6 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 资料室 免费资料任你23某校师生要去旅游，车站提供两种车票价格的学生按的

8、78%付款；第二种方案是师生都按方案供选择，第案是教师按付款，的 80%付款；该校有 5 名教师参加这项活动，试根据参加旅游的学生人数，选择购票付款的最佳方案24某中学初三（1）现用 66 元钱，同时单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种奖品。已知乙种的件数比购甲种的件数多 2 件，而购甲种的件数不少于 10 件，且购甲种的费用不超过总费用的一半，若的甲、乙、丙三种奖品恰好用了 66 元钱，问可有几种方案，每种方案中，的甲、乙、丙三种纪念品各多少件？ 第 7 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 答疑室 随时随地提问互动25为保护环境，某企业决定10 台污水处理

9、设备，现有A、B 两种型号设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：经预计，该企业的设备不高于 105 万元，方案；（1）请你设计该企业的几种（2）若企业每月产生的污水量为 2040 吨，为节约，应选择哪种方案？（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为 10 年，污水厂处理污水费为每吨 10 元，请你计算该企业自己处污与将污水排到污水处理厂处理相比较，10 年能节约多少万元？（注：企业自己处理污水费用包括设备的和消耗费）学校为了美化校园环境，在一块长 40 m、宽 20 m 的长方形空地上计划新建一块长 9 m、宽 7 m的长方形花圃。若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，

10、使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多 1m2，请你给出你认为合适的三种不同的方案；在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加 2m2？若能，请求出长方形花圃的长和宽；若不能，请说明理由。 第 8 页 址：（9：0021：00 everyday）A 型B 型价格（万元/台）1210处理污水量（吨/月）240200年消耗费（万元/台）11“名师” 资料室 免费资料任你参考（一）1解： x y 0 即 x y原式x当 x y 0 时2当0 45原式=x当 x y 0 时原式=x原式 cos x sin x当 45原式=0当45 90 时原式 sin x cos x3

11、 a b 8 或 24 m 651）有一个公共点1 条或三条 2）有两个公共点两条6当2 a 1 时，原式 1 a 2 a 3当 a 2 时，原式=1 a 2 a 1 2a7（1）当 a b c 0（2）当 a b c 0p =2y = px + p一定过一、二、三象限p = 1y = 1x + p一定通过二、三、四象限（二）8当 a1=0即 a=1 时 2x+1=0则 x 12当 a 1 0 时 一元二次方程 4ax a a当 a0且 a 1时x x 0当 a=0当 a0 时 无实根a 1 012即 4m70m 79化简后： x2 x m 2 04当 x = 0 或 x = 1 时 m 2会

12、使分式方程产生增根10在 x 轴上令 y=0 0即 a2 4a 32 0 a 4a 812a 2 0 a 2在 y 轴上11解：（1） x 8 kx2 8x k 0 064 4k 0k 16且 k 0 x（2）当 k 0AOB 90当 k 0AOB 90（三）1210，10，7 或 8，8，1113 33 cm 或 20.9cm 214（1）在 AB 边上 CE 83 963（2）在 BC 边上 DC 72511 第 9 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 答疑室随时随地提问互动3 24（3）在 AC 边上 DE 32131516（1）易求：AB=16AD=10AE 5

13、3CF 8 3 BF 8 3 10BE 16 5 3 BE BF 6 3 3（2） BE 16 53BF 10 8 BE BF 26 13 3317不对，另一种情况为BC BD DC 3 1 218解：（1） y 3x2 2 3x（2） yM 22 3 3x2 2 3x3M 在抛物线的图象上x2 1 3 M1 1 3, 2 3 M 2 1 3, 2 3 解得 x 1 3（3） H1 1, 0H2 3, 0H3 1, 0（四）19解：易求 A3, 0 ， B 0, 2 ， C 1, 01）D 在 C 的右侧 D 5 ,0 B 0, 2 y 2 2 x 2 252）D 在 C 的左侧 D 1 ,0

14、 B 0, 2 y 4 2x 24 第 10 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 资料室 免费资料任你20解：易求： A ,0 43aB 3, 0C 0, 4当 BC 为腰 a 49当 BC 为底时 a 87y 4 x2 4 或a 1y 1 x2 11 x 4 或 a 2y 2 x2 2 x 43396663y 8 x2 44 x 4721（五） S S S V1 V2 2S 21解：（1） tt12V V2V2V2VV121 212S V2 Vt t甲、乙同达（2） t t 121）当V V 时，t t 02VV V12121112 V1 2122）当V1 V2 时t1

15、 t2 0t1 t2乙先达 1 1 x 1 x 212 2 5 2 34 万元22（1）设合作 x 个月 36 乙干 y 月 1 x 1 y 136 x 、 y 4 的非负整数（2）设甲干 x 月 x 0 （舍） x 1 x 2 x 3 （舍） y 6 y 4 y 2 y 0 x 1x 2当 y 4 时总费用 32 万元当 y 2 时总费用 34 万元答：甲、乙合作 1 个月，乙再做 3 个月23设参加人数为 x 人y1 5a 0.78ax为 a 元y2 5 x0.8a5a 0.78ax 5 x0.8ax 50当 y1 y2 时用第案当 y1 y2 时x 50 都可以当 y1 y2x 50 时用第二种方案24设购甲种 x 件乙种 y 件丙种 z 件34x 10123x 2 y z 66y x 2 x 为正整数 x 10或x 11663x 2当 x=10 时y 12z 12当 x=11 时y 13z 7 第 11 页 址：（9：0021：00 everyday）“名师” 答疑室 随时随地提问互动25（1）设A 型为 x 台，则购B 型（10 x）台12x 10 10 x 105x 2.5