数字逻辑第2章数制与码制

1、第2章 数制与编码学习目的与要求目的阐述在数字系统中数字量的表示和处理，非数值数据、事件、条件等事物的表示。要求掌握二、十、八、十六进制及相互转换掌握二进制的原码、反码和补码表示及其加减运算掌握常用的几种编码学习内容： 按位计数制 八进制和十六进制 常用按位计数制的转换 非十进制数的加法和减法 负数的表示二进制补码的加法和减法十进制数的二进制编码格莱码字符编码动作、条件和状态的编码n维体与距离检错码和纠错码用于串行数据传输与存储的编码作业：2.4，2.6(a)、（f）、（j），2.11，2.12，2.13，2.51思考1、在我们的日常生活中常用的进制计数制，成语“半斤对八两”、英寸？2、在数字

2、系统中除使用二进制、十进制外，用何使用八进制和十六进制，而不用五进制、九进制或其他进制2.1 按位计数制 十进制数的表示 位置计数法- 不同位置的数码其大小不同 例：223. 34 读作：二百二十三点三四 进位计数制（按权展开式） 例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2一般而言，形如d1d0.d-1d-2 的数D，其值为D = d11 01 + d01 00 + d-11 0-1 + d-21 0-2基与基数- 用来表示数的数码的集合称为基,集合的大小称为基数。权-用一串数码来表示一个数，每个数码的位置对应有一个相关的权（weight）在十进制数中，10的整幂次

3、方称为十进制数的权。数D的值为每个数码乘以其对应的权再求和 二进制数的表示 对于任意一个二进制数N, 用位置记数法可表示为: (N)2=(an-1 an-2 a1 a0. a-1 a-2 a-m)2进位计数制的一般形式为bp-1bp-2.b1b0 . b-1b-2.b-n二进制数最左边的位叫最高有效位或高阶位，最右边的叫最低有效位或低阶位二进制数的特点 只有两个数码, 很容易用物理器件来实现 运算规则简单 可使用逻辑代数这一数学工具按位计数制中数的表示是惟一的2.2 八进制和十六进制八进制（octal number system）使用基数8，十六进制（hexadecimal number sy

4、stem）使用基数16采用八进制和十六进制的优势2.3 常用按位计数制的转换 二进制数和十进制数之间的转换 二进制数十进制数-按权展开式在十进制数域中计算 例如： 十进制数二进制数 整数部分：除2取余法例：将(58)10转换成二进制形式解:等式两边同时除2，有得a0=0得a1=1等式两边再同时除2，有 则 (58)10 = (111010)2等式两边同时乘2，有得a-1=1等式两边的小数部分再同时乘2，有得a-2=0 小数部分：乘2取整法例：将(0.625)10转换成二进制形式解:等式两边的小数部分再同时乘2，有得a-3 =1 则：注意：不能进行精确转换的情况 八进制数、十六进制数与二进制数的

5、转换 按位分组法例： 八进制： 2 5 7 0 5 5 4 二进制：010 101 111 000 101 101 100 十六进制： A F 1 6 C 因此，(257.0554)8=(10101111. )2 =(AF.16C)162.4 非十进制数的加法和减法非十进制数加法和减法的手算过程,类似于十进制数的手算过程，惟一的难点在于加法和减法表不同二进制加法和减法运算2.5 负数的表示 真值与机器数 真值-直接用“+”和“”表示符号的二进制数，它不能在机器中使用. 机器数-将符号数值化了的二进制数,可在机器中使用。 一般将符号位放在数的最高位。 例： 01011； -1011 11011符

6、号-数值表示法-又称“原码”一个数是由表示该数为正或负的符号和数值两部分组成;对于正数, 符号位为0, 对于负数、符号位为1, 其余各位表示数的绝对值例： N1 = N2 = 01010 N1原= 010011 N2原= 101010用位串的最高有效位表示符号位十进制数通常写成+ 98、-57、+ 13 . 5、-13等形式如果没写符号则约定符号为正“零”有两种可能的表示（“+0”和“-0”）即 +0原= 000, 0原= 1 00 但是这两种所表示的值是相同的“符号-数值”数制具有相同数目的正整数和负整数一个n位“符号-数值”整数表示的范围是- ( 2n-1-1 )+ (2n-1-1 )例：

7、n=8，则数值位为7，其表示范围是-127+127补码数制“符号-数值”数制通过改变其符号将一个数变为负数补码数制将一个数变负的方法是按照数制的定义求其补码设基数r的数D的形式为：Ddn-1dn-2 .d1d0 .如果对D两次求补，结果仍为D基数补码表示法(对十进制而言，就是十进制补码)n位数的补码等于从rn中减去该数。数D的基数补码就等于将数D的每一位分别求反再加1例如， 1 8 4 9的十进制补码是8 1 5 0 + 1或8 1 5 1，二进制补码表示法对二进制数制而言，基数补码称做二进制补码对于正数，其补码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是在反码数值的末位加“1”.例1

8、：N1 = N2 = 01010 n=5 N1补= 010011 N2补= 110110真值0只有一种表示形式，即 +0补=-0补= 000一个n位整数（包括1位符号位和n-1位数值位）表示的范围是- 2n-1+ (2n-1-1 )例：n=8，则数值位为7，其表示范围是-128+127例2基数减1补码表示法(九进制补码，对十进制而言)n位数D的反码等于从rn-1）中减去D可以通过对D的每个数位分别求反来实现，但不必像基数补码数制中那样再加1在十进制中，称做十进制反码 二进制反码对于二进制而言，基数减1补码就叫做二进制反码对于正数，其反码表示与原码表示相同，对于负数，符号位为1，其余各位是将原码

9、数值按位求反。例： N1 = N2 = 01010n=5 N1反=0 10011 N2反=（25-1）+（-01010）=1000000-01010= 110101一个n位整数表示的范围是- ( 2n-1-1 )+ (2n-1-1 )例1：n=8，则数值位为7，其表示范围是-127+127例2： 反码表示的特点:真值0也有两种反码表示形式，即 +0反= 000, 0反= 1 11余码最常用在浮点数系统中，浮点数的阶码部分一般采用正整数形式的余码表示由1位符号位和m-1位数值位组成的二进制形式的阶码，它的余码的定义为D余=2m-1+D-2m-1D2m-1在余2m-1数制中，一个m-1位整数表示的

10、范围是-2m-1+ 2m-1-1 同m位的二进制补码表示范围完全相同。除了符号位总是相反外，对任何数而言，补码和余码两种表示法中的其他位都是一样的例：m=8，则数值位m-1=7，其表示范围是-128+1272.6 二进制补码的加法和减法加法规则普通的加法就是计数的扩展，忽略超过M S B的进位，二进制补码数可以按普通二进制加法相加，只要不超过记数系统的范围，该结果就总是正确的和规则 N1 +N2补 N1补+ N2补补码的符号位参与运算例图示法模-是一个计量器的最大容量，即一个计量系统的测量范围逆时针方向把箭头移动n个位置，通过递增n次在该数上减n 顺时针方向把箭头移动n个位置，通过递增n次在该

11、数上加n注意：加法操作产生的结果不允许超出数制定义的范围，否则发生溢出溢出判断规则：规则1：如果加数的符号相同，而和的符号与加数的符号不同，则有加法溢出规则2：符号位的进位输入cin与符号位的进位输出cout不同，则加法有溢出两个异号数相加绝不会溢出，但是两个同号数相加有可能溢出例减法规则 补码减法运算规则： N1 N2补 N1补+ N2补 N1 N2补 N1补+ N2反+1 补码的符号位参与运算。例： N1 =0011，N2 = 1011,求 N1 N2补解： N1 补11101， N2 补01011, N2 补10101 N1 N2补=11101 =10010 1 1 1 0 1 +) 1

12、 0 1 0 1 丢弃 1 1 0 0 1 0真值为： N1 N2=1110二进制补码与无符号二进制数类似有符号的二进制补码运算差别：加法操作超出了4位无符号数的范围，最高有效位就有进位（c a r r y）产生。箭头逆时针移动，经过不连续点，那么减法操作就超出了4位无符号数的范围，最高有效位就有借位（b o r r o w）产生。总结无符号数加法中，如果最高有效位上的发生进位或借位，就指示出结果超出范围有符号的二进制补码加法中，则由较早时定义的溢出条件来指示出结果超出范围。在有符号数加法中，溢出产生与否与进位产生与否无关。从这个意义上讲，最高有效位的进位与溢出是没有关系2.7 二进制反码加法

13、和减法可以证明有如下反码加、减运算规则： N1 +N2反 N1反+ N2反 N1 N2反 N1反+ N2反 当符号位有进位时，应在结果的最低位再加1.例： N1 =0011，N2 = 1011,求 N1 +N2反和 N1 N2反。解： N1 反11100， N2 反01011, N2 反10100 N1 +N2反=11100 1 1 1 0 0 ) 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 ) 1 0 1 0 0 0 真值为： N1 +N2= N1 N2反 11100 真值为：N1 N2=1110 1 1 1 0 0 +) 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 +) 1 1 0 0 0

14、 1二进制反码加法和减法的溢出规则，与二进制补码加/减法的情况相同。2.10 十进制数的二进制编码在数字系统中用位串来表示十进制数，位串的不同组合代表不同的十进制数。例，如果用4位二进制码表示1位十进制数，则可以指定用0 0 0 0表示十进制数字0，用0 0 0 1表示1，用0 0 1 0表示2，编码（c o d e）-用于表示不同的数或其他事件的一组n位二进制码的集合码字（code word）-含义确切的特定的n位组合使用n位二进制码的编码，并不一定需要包含全部2n个有效的码字。最“自然的”十进制编码该是二-十进制（binary coded decimal, BCD）编码负的B C D数有很

15、多可能的表示有符号的B C D数，其符号另外占1个数字位B C D数加法类似于4位无符号二进制数加法，但如果结果超过1 0 0 1则必须校正,，其方法是将其结果再加6。 例： 8421 BCD码-简称8421码。按4位二进制数的自然顺序，从小到大取前十个数依次表示十进制数的09，后6个数不允许出现，若出现则认为是非法的或错误的。 8421码是一种有权码，每位有固定的权，从高到低依次为8, 4, 2, 1，如: 8421码0111=08+14+12+11=7 余3码-由8421码加3形成，是一种无权码。如果两个余3码相加没有进位，则和数要减3，否则和数要加3。 0 1 0 0+ ) 0 1 1 0 1 0 1 0- ) 0 0 1 1 0 1 1 1例： 0100 = 0