《自动控制原理》(程鹏著)习题解答第4章根轨迹法

1、第四章根驱法41如果单位负反馈控制系统的开环传递函数为G(s)=试用解析法绘出K从零变到无穷时闭环根轨迹图，并判断下列丿!迹上：(2+j0),(0+jl),(3+j2)。pA-10图2-4-1习题41的根轨迹解闭环特征方程为s+1+K=0闭环极点为AJXXi)Xjoo2习题42的零.极点分布图图2-4IJ4i4J图2-4-3习题4-2的根轨迹图G($)=2s+)(o+1) 第二篇自动控制原理习题解答-5确定实轴上的分离点坐标，解下述方程式1d+51d+2得到么二0.88和必=3.79,由于d2不在实轴上根轨迹的区舍去。根轨迹的渐近线与实轴的交点坐标和与止实轴的夹角3，-2-5rc“(2k+1)

2、JIJ,Oa二一-=-22,二=1兀k=1根轨迹与虚轴的交点闭环特征方程为/+7f+10s+K=0令s=j3,并代入上述方程，得3=/To=3.16和K=70。根轨戈点坐标为土j36。系统的根轨迹如图2-4-4所示。10第四章根轨迹法其中，K=10K,开环极点为0和05,零点为1。按下述步骤纟实轴上，区间-05,0和(8,-1为根轨迹段。实轴上的分离点坐标，解下述方程式L_!1万+05=+1得到di=029和血=1.707。根轨迹的渐近线与实轴的交点坐标o,和与正实轴的夹角。03+11=05,3=(2k+1)兀=JI(0)第四章根轨迹法系统的根轨迹如图2-4-5所示。图245习题43(2)的根

3、轨迹第四章根轨迹法第四章根轨迹法(3)系统的开环极点为0,2和3,零点为-5,按下述步骤纟实轴上区间-2,0和-5,-3为根轨迹段。 第二篇自动控制原理习题解答图2-4-6习题43（3）的根轨迹4-4设单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略11环根轨迹图（要求算出起始角呢）。/1、K（s+2）G（s）=a+i+j2）（+i-j2）（厂、K（$+20）（幻5s丿一（$+0+事0）（$+I。一门0）解（1）开环零点为Z=-2,开环极点为p-1+j2和p2-述步骤绘制根轨迹：实轴上区间（2为根轨迹段。起始角%=180+Z(0-zi)-Z(pi-/?2)=180+arctan2-90=%=153

4、.4第四章根轨迹法实轴上区间(8,-20为根轨迹段。起始角图248习题44（21|I111-5-4一3-2-I0实轴图247习题44(1)的根轨迹%=180+Z（p.-乙）-Z5/乃）=180+45-90=135叽=135。确定实轴上的分离点处标，解下述方程111+10-jiod+10+jl0d+20得到J,=-34.14和=-5.86,由于d2不在实轴上的根轨迹段舍去。系统的根轨迹如图2-4-8所示。沿萌命仔后儒扮制乏结的开环祕滋賂数/川下英隶 第二篇自动控制原理习题解答ArilI【X/-Prtl/ociTriri(1曰士曰血h：朮F7V/To=36,K=110o令S二j3,并代入上述方程，

5、求得3二土249所示。-15-10-50实轴图249习题45(1)的根轨迹闭环特征方程为432s+30s+2005+图2410习题45(2z=0令5=jo,并代入上述方程，得再令3二1,可以求出K=30和200-130=6.63。系统笊w-200w+Kz=0303+K3=()2-4-10所示。幵环极点为p=0p2=-1、3=-35、0=-3+j2和按下述步骤绘制根轨迹：第四章根轨迹法确定渐近线渐近线与实轴的交点5=丄=1二2.1渐近线与正实轴的夹角：电二（2；1）皿二36。,108。,180,252*确定根轨迹与虚轴的交点。闭环特征方程为/105s+435s+7955+454s+K=0令s二j

6、j有3-4353+4543=0和105汇-795泾+K二解上述两个方程，得=03：=1.033=651-，,（舍去）K=0K=7252IK=154895系统的闭环根轨迹如图2411所示。实轴医I0411!硕4斥的Ud4J|i亦 第二篇自动控制原理习题解答Z(O+2+j3)Z(0+l+j3)=(2R+l)Jl+Z(o+j3利用三角函数的加法公式.,)、tana+tanPtan(aP)=77_letanatanp33o+2o+1O)23O1+(o+2)(o+1)化简上式得22(o+2)+3-=2由上式可以看出，复数根轨迹部分是以(-2J0)为圆心，以。为半径的圆。系统的根轨迹如图2412所示。47

7、设系统的闭环特征方程如下.2*D(5)=C($+a)+习题4f图2-4-12若出现根CI的范围K(s+1)=0当d取不同值时，系统的根轨迹(0vKg)是不同的。有两个和没有分离点3种情况，试分别确定每种情况下轨迹图。解系统的等效开环传递函数为、K(s+1)G(s)H(s)=2s($+a)等效开环极点为p-pi=0,p3=-a,等效开环零点为点满足下述方程211dd+d一d+1第四章根轨迹法第四章根轨迹法实轴(b)实轴(0 第二篇自动控制原理习题解答4-8设负反馈控制系统中G(5)=H(s)=lKS(5+2)(5+5)要求:概略绘制系统根轨迹图(OvKvoo),并判定闭环系统的帚如果改变反馈通道

8、的传递函数，使77(5)=1+25,重做第(论H(s)的变化对系统稳定性的影响。解(1)系统的根轨迹如图2-4-14(a)所示，从根轨迹图可K0,系统是不稳定的。(2)系统的根轨迹如图24-14(b)所示，系统的特征方程为5+7,+10?+2Ks+K=0令上述方程中$=得和03二255.K=22.75 #第二篇自动控制原理习题解答由此可知，当OvK1时，系统稳定。(1)(2)解环极点是P=0,A=-1,“3=-3o实轴上区间-3,-2和1,0是根轨迹段，根轨迹的分离点由下式确定1111+=dd+1d+3d+2利用试探法可以确定分离点d=053。轨迹如图2-4-17所示。(2)在s平面上作C=0

9、5的阻尼线，该 第二篇自动控制原理习题解答、025(s+a)G(S)=d(s+l)。作以G为参量的根轨迹(0VGV8解系统的闭环特征方程为(5+1)+025(5+a)=Q构造等效开环传递函数如下0.25a.5$(f+s+025)其开环极点为P=0、“2.3=-05O实轴上区间(8,o5和-05,0为根轨迹段，分离点d由下述方程确定12厂+=0dd+05即d=0.167,令s=j3并代入上述特征方程，可得-0.51.5-1-0.5实轴3=0.a=03二05.C1图2418习题4根轨迹与虚轴得交点为s=j05o根轨迹如图2-4-18所示。4-12已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为2.6G(s)

10、=s(o$+1)(i)试绘制时间常数T从零变到无穷时的闭环根轨迹。解系统的闭环特征方程为0.1Ts4-Ts+0f+s+2.6=0等效开环传递函数为卅(01S+1)第四章根轨迹法第四章根轨迹法G_$($+2)开环零点为Zi=1,开环极点为/?i=0,p2区间-2,0和1,8)为根轨迹段。分离点由下述方程确定=2,根轨迹为零度根1_1d+2=d-12.732o在分离点乩、d2处的H乙-0)-Z(乙先=y(2Jt+1)X180+Z(zi-p)+Z(=*(2k+1)X180。=90。(k=0)系统的根轨迹如图2419所示。4-13设单位负反馈控制系统的开环传递函数为_K(1s)G(5)=5(5+2)试

11、绘制K从0-oo的闭环根轨迹图，并求出使系统产生重根和纯虚根的K值。解系统的开环传递函数可以写成K(s1)1万+解上述方程得H=-0.732,d2K；、K；，根据模方程有60实辆图2419习题4K；=J=7.46I必1IIdIIdi+21 第二篇自动控制原理习题解答解该系统为正反馈系统，因此系统的根轨迹为零度根轨迹。为根轨迹段。根轨迹如图2422所示。心+1)2eg($+2)2 #第二篇自动控制原理习题解答 #第二篇自动控制原理习题解答-4-3210实轴图2421习题414的系统结构图图2422习题414 #第二篇自动控制原理习题解答4-15某一位置随动系统，其开环传递函数为6(5)77(5)

12、=为了改善系统性能，分别采用在原系统中加比例及微分串联校正不种不同方案，校正前后的具体结构参数如图2-4-23所示。第四章根轨迹法其根轨迹如图2424(a)所示。对于如图2423(b)所示系统的开环传递函数为K，(s+!25)G(Q=心+0.2)其根轨迹如图2424(b)所示。对于如图2423(c)所示系统的开环传递函数以及对应的申2-4-23(b)所示系统的相同。1.5L5Ljii-2.5-2-1.5-4-0J实轴(b)第四章根轨迹法第四章根轨迹法图2-4-24习题415的根轨迹(2)图2-425(a)为如图2423(b)所示系统的单位阶跃2-4-25(b)为如图2-4-23(c)所示系统的

13、单位阶跃响应曲线。看岀两种校正的效果基本相同。第种校止方案的超调量略大。 第二篇自动控制原理习题解答实轴上区间(8,3和-2,0为根轨迹段，分离点由以下方程/111114-“-L4-“dd+2d+5j5+5+j5一d+3利用试探法求出分离点坐标为么二1.17,血八4.85o复数极丿%=(2R+1)H+Z(“3-Zl)-Z(p3-/?|)-Z(/?3-卩2)Z=180+111.8。-135120.96-90=-54.16根轨迹如图2426所示。实轴习题416根轨迹图24264-17设系统的开环传递函数G(s)=2s(s+05)($+1054-50)试画岀开环增益K从0-8的闭环根轨迹图。解系统的

14、开环零点为Zi=1,极点为P=0,/?2=-05,解题步骤与习题4-16相同，根轨迹如图2-4-27(a)所示，图为在原点附近的根轨迹。102!第四章根轨迹法418设控制系统的开环传递函数为(X_K“(s+1)=f(s+2)(s+4)试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的$同。解系统的开环零点乙=-1,开环极点P.2=0,=-2,0(1)正反馈系统实轴上区间4,-2和1,+8)是根轨迹段；渐近线2-4-(-1)八167,第四章根轨迹法第四章根轨迹法分离点2111+=dd+2d+4d+1利用试探法得d-3.08o根轨迹如图2428(a)所示。 第二篇自动控制原理习题解答根轨迹与

15、虚轴得交点，闭环特征方程为S+65+854-令S二j3,并代入上述方程，可以确定s+K=03=0和K=03=佢K=12根轨迹与虚轴的交点为s=土佢。根轨迹如图2428(b)所示。对于正反馈系统，当K0时，系统不稳定。对于负吳012时，系统稳定。正反馈系统负反馈系统是条件稳定的。419设控制系统如图2-4-29所示，试作闭环根轨迹，并化对系统在阶跃扰动作用下响应c(r)的影响。图2-4-29习题419的系统结构图解系统的开环传递函数为G(小K(s+2s+2)=3s开环零点为Zl=1+j,=-1j,极点为p=P2=p?=Oo(-8,0为根轨迹段。根据相角方程起始角0p满足以下关系：3()卩=(2R+l)n+Z(/zZi)+Z(pZ2)第四章根轨迹法令S=j3并代入上述特征方程，可得3=0和3=土迈IK=0K=U系统的根轨迹如图2430所示。当K时系统稳定，开环零点乙.2=-lj不是