2012年湖北省黄冈市数学竞赛训练卷(二)

1、 数学竞赛训练卷（一）一、选择题1若实数a、b、c、d满足a+1=b2=c+3=d4，则a、b、c、d这四个实数中最大的是（）AaBbCcDd2（2009綦江县）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止设点P运动的路程为x，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则BCD的面积是（）A3B4C5D63如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“”面上的数为（）A1B1或2C2D2或34关于x满足，且|x3|x+2|的最大值为p，最小值为q，则pq的值是（）A6B5C5D15（2006宁波）如图，直

2、角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90至DE，连接AE，则ADE的面积是（）A1B2C3D4二、填空题6已知=_7已知关于x的一元二次方程x24x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx1=0有一个相同的根当k为符合条件的最大整数时，m的值为 _8在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：AB=DC；ABE=DCE；AE=DE；A=D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使BEC不能构成等腰三角

3、形的情况有_种9如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF的长为_10规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）定义运算“”：（a，b（c，d）=（acbd，ad+bc）若（1，2）（p，q）=（5，0），则p+q=_三、解答题11利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；（2）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cnk212如图

4、，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且MDN=60试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明13一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？14如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在O上若AB=，其中m、n是整数，求m+n的值15在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点

5、A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时BMN内切圆的半径 数学竞赛训练卷（一）参考答案与试题解析一、选择题1若实数a、b、c、d满足a+1=b2=c+3=d4，则a、b、c、d这四个实数中最大的是（）AaBbCcDd解答解：a+1=b2，b=a+3，

6、即ba，b2=c+3，b=c+5，即bc，c+3=d4，d=c+7，即dc，b2=d4，d=b+2，即db，据上可得：d最大故答案为：D考点：动点问题的函数图象。1681276专题：动点型。分析：正确理解函数图象横纵坐标表示的意义解答：解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，则ABP面积y在AB段随x的增大而增大；在CD段，ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化由图2可以得到：BC=2，CD=3，BCD的面积是=3故选A点评：理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小3如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数

7、相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“”面上的数为（）A1B1或2C2D2或3考点：解一元二次方程-因式分解法；专题：正方体相对两个面上的文字。1681276分析：利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“x2”与面“3x2”相对，面“”与面“x+1”相对；再由题意可列方程求x的值，从而求解解答：解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“x2”与面“3x2”相对，面“”与面“x+1”相对因为相对两个面上的数相同，所以x2=3x2，解得x=1或x=2，又因为不相对两个面上的数值不相同，当x=2时，x+2=3x2=4，所以x只能为1，即=x+1=2故选C点评：注意正方体的空间图形，从相对

8、面入手，分析及解答问题4关于x满足，且|x3|x+2|的最大值为p，最小值为q，则pq的值是（）A6B5C5D1考点：解一元一次不等式；绝对值。1681276分析：先解不等式确定x的取值范围，再计算出|x3|x+2|的最大值与最小值为，最后求最大值与最小值的积即可解答：解：原不等式两边两乘6得：3（3x1）146x2（5+2x），去括号得：9x3146x104x，解得：x1当x3时，|x3|x+2|=x3x2=5；当1x3时，|x3|x+2|=3xx2=12x，当x=1时，取得最大值为1故|x3|x+2|的最大值为p=1，最小值为q=5，则pq=（1）（5）=5故选B点评：本题考查了一元一次不

9、等式的解法及绝对值非负数的性质，这是考试中经常出现的题目类型5（2006宁波）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90至DE，连接AE，则ADE的面积是（）A1B2C3D4考点：旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；直角梯形。1681276分析：求ADE的面积，已知底AD=3，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，EF就是高，然后再找和高相等的等量关系，三角形EDF全等于三角形CDG，EF=CG=2，则ADE的面积就能求出来解答：解：过点D作DG垂直于BC于G，过E作EF垂直于AD交AD的延长线于F，EDF+CDF=90，C

10、DF+CDG=90，EDF=CDG，又EFD=CGD=90，DE=DC，EDFCDG（AAS），EF=CG，CG=BCBG=53=2，EF=2，SADE=ADEF=32=3故选C点评：本题需要把旋转的性质、三角形的面积公式结合求解考查学生综合运用数学知识的能力注意旋转变化前后，对应角相等二、填空题6已知=考点：完全平方公式。1681276专题：计算题。分析：根据，两边平方可取消根号，得，解此一元二次方程，可得a=分别将a=与代入式子，与比较，舍去，所以a=转化代入求值即可解答：解：a27a+1=0，解得a=，经检验，当a=，=0与矛盾，故舍去所以，当a=，则=故答案为：点评：本题考查完全平方式

11、解决本题的关键是利用完全平方式求出a的值，并验证，得到a的最终结果7已知关于x的一元二次方程x24x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x2+mx1=0有一个相同的根当k为符合条件的最大整数时，m的值为 0或考点：根的判别式。1681276专题：计算题；方程思想。分析：先根据一元二次方程x24x+k=0的根的判别式确定k的值，然后求的该方程的两个根，然后将两个根分别代入方程x2+mx1=0，并解得m的值解答：解：关于x的一元二次方程x24x+k=0有两个不相等的实数根，=164k0，解得k4，k的最大整数值是3，即k=3；x24x+3=0，即（x1）（x3）=0，解得，x=1或x=3；当与

12、x2+mx1=0相同的根是x=1时，1+m1=0，解得m=0；当与x2+mx1=0相同的根是x=3时，9+3m1=0，解得m=；综合知，符合条件的m的值为0或故答案为：0或点评：本题考查了根的判别式解答此题时需要注意要分类讨论：当与x2+mx1=0相同的根是x=1时m的值；当与x2+mx1=0相同的根是x=3时m的值8在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：AB=DC；ABE=DCE；AE=DE；A=D；小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张，则以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使BEC不能构

13、成等腰三角形的情况有2种考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定。1681276专题：应用题。分析：将题中条件两两结合，进而求解三角形全等即可，若不能得出全等，则条件不成立，最后总结即可得出结论解答：解：若使BEC为等腰三角形，即求解BE=CE即可若抽取的两张为，则可得出ABEDCE，BE=EC；若是，AE=DE，AB=CD，并不能得出ABEDCE，这种情况不成立；若是，则可得出ABEDCE，BE=EC；若是，同样可得ABEDCE，BE=EC；若是，三个角相等，但边长并不一定相等，则不成立，若是，同样可得BE=EC，所以不符合条件的情况共有2种故答案为：2点评：本题主要考查了全等三角形的

14、判定及性质以及等腰三角形的判定问题，应熟练掌握9如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF的长为2考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。1681276分析：设BE=xBF=y，由面积关系列方程，再由ACFB得CE：BE=AC：FB，即=，同理可得=，两式变形，得出x+y=6，最后用勾股定理，解得EF为2解答：解：设BE=x，BF=y“L”形面积为6，S阴影=6BEBF=3，xy=6，再由ACFB得ACEFBE，CE：BE=AC：FB，即=，整理，得xyxy=0，即x+y=6，EF2=BE2+BF2=x2+y2=（

15、x+y）22xy=24，EF=2点评：本题考查相似三角形的性质，正方形的性质以及勾股定理的运用10规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）定义运算“”：（a，b）（c，d）=（acbd，ad+bc）若（1，2）（p，q）=（5，0），则p+q=1考点：解二元一次方程组；实数的运算。1681276专题：新定义。分析：首先根据运算“”：（a，b）（c，d）=（acbd，ad+bc），可知（1，2）（p，q）=（p2q，q+2p），再由规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d），得出p2q=5，q+2p=0，解关于p、q的二元一次方程组，

16、求出p、q的值，再代入p+q，即可得出结果解答：解：根据题意可知（1，2）（p，q）=（p2q，q+2p）=（5，0），p2q=5，q+2p=0，解得p=1，q=2，p+q=12=1故答案为1点评：本题立意新颖，借助新运算，实际考查二元一次方程组的解法及实数的运算解题关键是正确理解新定义，从而将已知条件转化为二元一次方程组三、解答题11利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式；（2）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m=b+n=c+l=k试构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cnk2考点：完全平方公式的几何背

17、景。1681276专题：开放型。分析：（1）利用面积分割法，可求阴影部分面积，各部分用代数式表示即可；（2）利用面积分割法，可构造正方形，使其边长等于a+m=b+n=c+l=k（注意abc，mnl），并且正方形里有边长是a、l；b、m；c、n的长方形，通过画成的图可发现，al+bm+cnk2解答：解：（1）比如：（a+b）2（ab）2=4ab，或（a+b）2=（ab）2+4ab，或（a+b）24ab等（2分）（2）比如构造如图所示正方形：（若画成a=b=c，m=n=l等特殊情况扣1分）（5分）因为a+m=b+n=c+l=k，显然有al+bm+cnk2（6分）点评：通过面积分割法可构造图形，利用

18、图形的面积可得出恒等式12如图，ABC是等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且MDN=60试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质。1681276专题：证明题；探究型。分析：先求证MBDECD可得MD=DE，MDB=EDC，进而求证MNDEND，即可得MN=NE，即可证明CN=NE+CE=MN+BM，即可解题解答：解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，ABC为等边三角形，ACB=ABC=60，又BDC为等腰三角形，且BDC=120，BD=DC，DBC=

19、BCD=30，ABD=ABC+DBC=ACB+BCD=ECD=90，在MBD和ECD中，MBDECD（SAS），MD=DE，MDB=EDC，又MDN=60，BDC=120，EDN=BDC（BDN+EDC）=BDC（BDN+MDB）=BDCMDN=12060=60，MDN=EDN，在MND与END中，MNDEND（SAS），MN=NE，CN=NE+CE=MN+BM点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等边三角形各边长、各内角为60的性质，本题中求证MN=NE是解题的关键13一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人

20、未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？考点：二元一次方程的应用。1681276专题：应用题。分析：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人由于m2，n32，依题意有22m+1=n（m1）解答：解：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人由于m2，n32，依题意有22m+1=n（m1）所以n=22+因为n为自然数，所以23/m1为整数，因此m1=1，或m1=23，即m=2或m=24当m=2时，n=45（不合题意，舍去）；当m=24时，n=23（符合题意）所以旅客人

21、数为：n（m1）=23（241）=529（人）答：起初有汽车24辆，有乘客529人点评：本题考查理解题意能力，并且注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论14如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在O上若AB=，其中m、n是整数，求m+n的值考点：相切两圆的性质；勾股定理；垂径定理。1681276专题：探究型。分析：连接OA，根据两圆内切可得出P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，根据图示数量关系得到RO=RQOQ=x10，利用垂径定理和勾股定理求出x的值，进而求出m、n的值解

22、答：解：连接OA，两圆内切，P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，则OQ=OPPQ=10，RO=RQOQ=x10，（2分）CD与小圆切于点Q，QRCD，QRAB，根据垂径定理知AR=AB=x，（4分）在RtOAR中，OA2=OR2+AR2，即，（6分）解得：x=8，（8分）而AB=m+，m、n为整数，m=8，n=304，m+n=312（10分）故答案为：312点评：此题不仅考查了相切两圆的性质，还涉及勾股定理和垂径定理，从图中得到RO=RQOQ是解题的关键，要善于观察图形的特点15在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；（2）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；（3）设MN=m，当m为何值时OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时BMN内切圆的半径考点：旋转的性质；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算。1681276专题：综合题。分析：（1