2023届高考数学一轮复习导数专题课-隐零点问题 讲义（Word版含答案）

1、导数专题课隐零点问题如果是超越形式，的零点是存在但无法求出，这时可采用虚设零点法。逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应的函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果。PS：可推测的零点存在，但是又无法求解的题型。隐零点问题常在双参问题中出现。零点问题解题步骤(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围.(2)以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的雾点范围还可以适当缩小.例1 已知函数.（1）若，求的单调区间

2、；（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.例2已知函数（，e为自然对数的底数）（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：巩固练习1.已知函数.（1）若在处的切线斜率为,求实数a的值；（2）当时,判断的极值点个数；（3）对任意,有,求a的取值范围.2已知函数（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围3.已知函数,（1）设函数,求的最大值；（2）证明：4已知函数（）讨论的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点，；，导数专题课隐零点问题解析如果是超越形式，的零点是存在但无法求出，这时可采

3、用虚设零点法。逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应的函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果。PS：可推测的零点存在，但是又无法求解的题型。隐零点问题常在双参问题中出现。零点问题解题步骤(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围.(2)以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的雾点范围还可以适当缩小.例1 已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若对于任意的，恒成立，求的最小值.【答案】（1）单调速增区间

4、是，单调递减区间是；（2）最小值为.【解析】（1）求出，进一步求出的解，即可得出结论；（2）先由，得出，通过二次求导并结合隐零点方法，求出，转化为与隐零点的函数关系，再次用导数法，即可求解.【详解】解：（1）因，所以，.令，得.当时，；当时，.故的单调速增区间是，单调递减区间是.（2）.因为，又，所以，则.令，则在上单调递增.因为当时，所以.因为，所以，使得且当时，则，当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减.故.由，得.由，得，即.结合，得，所以.令.则，所以在上单调递增，所以，即.故的最小值为.【点评】关键点点睛：（1）函数不等式恒成立问题，要注意应用必要条件探路，这样可以缩小参数的范围，

5、减少分类讨论情况，甚至无需分类讨论；（2）含参函数的最值经常涉及到隐零点，要注意隐零点范围的确定，如（2）由确定出隐零点的范围，是解题的关键.例2已知函数（，e为自然对数的底数）（1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于，令，得或，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明.(1)，则，由已知，解得(2)（）当时，所以，则在上单调递增，在上

6、单调递减；（）当时，令，得，时，所以或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，则在上单调递增；时，所以或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增综上，时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增(3)方法一：等价于当时，令令，则在区间上单调递增，存在，使得，即当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增，故方法二：当时，令，则，令，则当时，；当时，在区间上单调递减，上单调递增，即，【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是

7、隐零点的运用及放缩法的运用.巩固练习1.已知函数.（1）若在处的切线斜率为,求实数a的值；（2）当时,判断的极值点个数；（3）对任意,有,求a的取值范围.【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）构造函数,根据极值点的概念即可求解；（3）将可转化为,令,只需求函数的最小值,利用导数法求解即可.【解析】（1）,解得（2）,令当时,.易证：,所以.所以.所以时,单调递增,时,单调递减,所以是的唯一极值点,所以只有一个极值点.（3）任意,可转化为令,令,令,得,在递增,在单调递减,且,所以时,在内存在唯一零点,时,单调递增,时,单调递减,时,单调递增,所以,因为,所以所以因为,所以,所以,即.

8、2已知函数（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；（2）若在上有且仅有一个零点，求的取值范围【解答】解：（1），是函数的一个极值点，则，当时，恒成立，在上单调递减当时，在，上单调递减，在递增综上，当时，在上单调递减当时，在，上单调递减，在递增（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，令，令，可得或时，时，时，在递增，在，递减，且时，时，或，或所以，的取值范围，3.已知函数,（1）设函数,求的最大值；（2）证明：【分析】（1）利用导数分析函数在定义域上的单调性,由此可求得函数的最大值；（2）原不等式等价于,利用导数分析函数的单调性,求出函数的最小值,结合基本不等式可证得所求不等式成立.（1

9、）解：因为,所以当时,；当时,所以在上为增函数,在上为减函数,从而（2）证明：原不等式等价于,则,令,则,所以,在上单调递增令,则,所以,存在唯一使得,即,当时,；当时,此时在上单调递减,在上单调递增,要证,即要证于是原问题转化为证明不等式组,由,得,代入对两边取对数得,代入,得因为,当且仅当,时,等号成立,所以4已知函数（）讨论的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点，；，【解答】解：（），当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，令，可得或，当时，当或时，当时，在，上单调递增，在，上单调递减，时， 且等号不恒成立，在上单调递增，当时，当或时，当时，在，上单调递增，在，上单调递减综上所述：当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减（）证明：若选，由 （）知， 在上单调递增， 单调递减， 上 单调递增注意到 在 上有一个零点；，由 得，当 时，此时 无零