定积分的学案教师15

1、定积分与微积分基本定理【学习目标】1.了解定积分的实际背景，基本思想、概念.2.了解微积分基本定理的含义.【基础评测】1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(D)Aeq iin(a,c,)f(x)dx B|eq iin(a,c,)f(x)dx|Ceq iin(a,b,)f(x)dxeq iin(b,c,)f(x)dx Deq iin(b,c,)f(x)dxeq iin(a,b,)f(x)dx2下列各命题中，不正确的是(D)A若f(x)是连续的奇函数，则eq iin(a,a,)f(x)dx0B若f(x)是连续的偶函数，则eq iin(a,a,)f(x)dxeq avs4al(2iin(0,a

2、,)f（x）dx)C若f(x)在a，b上连续且恒正，则eq iin(a,b,)f(x)dx0D若f(x)在a，b上连续，且eq iin(a,b,)f(x)dx0，则f(x)在a，b上恒正3.设f(x)eq blcrc (avs4alco1(x2x0,2x x0) (5)eq avs4al()eq oal(2,0)|x1|dx；(6) eq r(1sin 2x)dx；（7）eq iin(0,1,)eq f(1,x23x2)dx；（8）如果eq avs4al()eq oal(1,0)f(x)dx1，eq avs4al()eq oal(2,0)f(x)dx1，则eq avs4al()eq oal(2

3、,1)f(x)dx解:(1)eq avs4al()eq oal(2,0)x(x1)dxeq avs4al()eq oal(2,0)(x2x)dxeq avs4al()eq oal(2,0)x2dxeq avs4al()eq oal(2,0)xdxeq f(x,3)3eq blc|rc (avs4alco1(oal(2,0)eq f(x2,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(2,0)eq f(14,3).(2)eq avs4al()eq oal(2,1)(e2xeq f(1,x)dxeq avs4al()eq oal(2,1)e2xdxeq avs4al()eq oal(2,1

4、)eq f(1,x)dxeq f(1,2)e2xeq blc|rc (avs4alco1(oal(2,1)ln xeq blc|rc (avs4alco1(oal(2,1)eq f(1,2)e4eq f(1,2)e2ln 2.(3)eq avs4al()eq oal(,0)sin2xdxeq avs4al()eq oal(,0)eq f(1cos2x,2)dxeq avs4al()eq oal(,0)eq f(1,2)dxeq avs4al()eq oal(,0)eq f(cos2x,2)dxeq f(x,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(,0)eq f(1,4)sin 2

5、xeq blc|rc (avs4alco1(oal(,0)eq f(,2)0eq f(,2).(4)eq avs4al()eq oal(a,a)eq r(a2x2)dx表示yeq r(a2x2)的图象与xa，xa，y0所围成的图形的面积，由yeq r(a2x2)得x2y2a2(y0)，yeq r(a2x2)表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，其面积为eq f(1,2)a2eq f(a2,2)，(5)|x1|eq blcrc (avs4alco1(1xx0，1,x1， x1，2)eq avs4al()eq oal(2,0)|x1|dxeq avs4al()eq oal(1,0)(1x)dxeq

6、avs4al()eq oal(2,1)(x1)dx(xeq f(x2,2)eq blc|rc (avs4alco1(oal(1,0)(eq f(x2,2)x)eq blc|rc (avs4alco1(oal(2,1)eq f(1,2)eq f(1,2)1.(6)eq avs4al()eq oal(,0)|sin xcos x|dx (cos xsin x)dx (sin xcos x)dx(sin xcos x) (cos xsin x) eq r(2)1(1eq r(2)2eq r(2)2.(7)eq iin(0,1,)eq f(1,x23x2)dxeq iin(0,1,)eq f(1,x1

7、)eq f(1,x2)dxln(x1)ln(x2)eq blc rc|(avs4alco1(,)eq sup12(1)0(ln2ln3)(ln1ln2)2ln2ln3.（8）解析：eq avs4al()eq oal(2,0)f(x)dxeq avs4al()eq oal(1,0)f(x)dxeq avs4al()eq oal(2,1)f(x)dx， eq avs4al()eq oal(2,1)f(x)dxeq avs4al()eq oal(2,0)f(x)dxeq avs4al()eq oal(1,0)f(x)dx112. 悟一法求定积分的一些技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分(2)求

8、被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质， 分段求定积分再求和(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能 求定积分(4)利用微积分基本定理不易求解时，可考虑利用定积分的 几何意义求解探究二利用定积分求面积求下图中阴影部分的面积解解方程组eq blcrc (avs4alco1(yx4，,y22x，)得eq blcrc (avs4alco1(x2,y2)，或eq blcrc (avs4alco1(x8,y4)S阴影eq iin(0,8,)eq r(2x)dx8eq iin(0,2,)|eq r(2x)|dx2eq r(2)eq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(a

9、vs4alco1(f(2,3)xf(3,2)eq oal(8,0)eq r(2)eq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)xf(3,2)eq oal(2,0)618.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积探究三定积分的应用1一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单

10、位：）是 A B C D2一质点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动求：(1)在t4 s的位置；(2)在t4 s内运动的路程解：(1)在时刻t4时该点的位置为eq iin(0,4,)(t24t3)dt(eq f(1,3)t32t23t)eq blc|rc (avs4alco1(4,0)eq f(4,3)(m)，即在t4 s时刻该质点距出发点eq f(4,3) m.(2)因为v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在区间0,1及3,4上的v(t)0，在区间1,3上，v(t)0，所以t4 s时的路程为Seq iin(0,1,)(t24t3)dteq blc|rc|(avs4

11、alco1(iin(1,3,)t24t3dt)eq iin(3,4,)(t24t3)dt(eq f(1,3)t32t23t)eq blc|rc (avs4alco1(1,0)eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,3)t32t23t)eq blc rc|(avs4alco1(,)eq oal(3,1)(eq f(1,3)t32t23t)eq blc|rc (avs4alco1(4,3)eq f(4,3)eq f(4,3)eq f(4,3)4(m)即质点在4 s内运动的路程为4 m.巩 固 提 高1求由曲线,直线及轴所围成的图形的面积错误的为（）A BC D【答案】C22014湖北卷

12、若函数f(x)，g(x)满足eq iin(1,1,)f(x)g(x)dx0，则称f(x)，g(x)为区间1，1上的一组正交函数，给出三组函数：f(x)sineq f(1,2)x，g(x)coseq f(1,2)x；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中为区间1，1上的正交函数的组数是()A0 B1 C2 D36C解析 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间1，1上的正交函数，即需满足eq iin(1,1,)f(x)g(x)dx0.eq iin(1,1,)f(x)g(x)dxeq iin(1,1,)sineq f(1,2)xcoseq f(1,2)xdxeq f(1,2)eq

13、 iin(1,1,)sinxdxeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos x)eq oal(1,1)0，故第组是区间1，1上的正交函数；eq iin(1,1,)f(x)g(x)dxeq iin(1,1,)(x1)(x1)dxeq blc(rc)(avs4alco1(f(x3,3)x)eq oal(1,1)eq f(4,3)0，故第组不是区间1，1上的正交函数；eq iin(1,1,)f(x)g(x)dxeq iin(1,1,)xx2dxeq f(x4,4)eq oal(1,1)0，故第组是区间1，1上的正交函数综上，是区间1，1上的正交函数的组数是2. 故选C.3.计算定积

14、分_.4.关于式子的结果，有以下结论：半径为的圆的面积的二分之一半径为的圆的面积的四分之一长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一该式子的值为 该式子的值为其中正确结论的序号为 .5给出如下命题：(1)eq iin(b,a,)dxeq iin(a,b,)dtba(a，b为常数且a1)交于点O、A，直线xt(0t1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB.求四边形ABOD面积和最大值。解析(1)由eq blcrc (avs4alco1(yx2,yx22ax)得点O(0,0)，A(a，a2)又由已知得B(t，t22at)，D(t，t2)故Seq iin(0,t,)(x22ax)dxeq f(1,2)tt2eq f(1,2)(t22att2)(at)eq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)x3ax2)eq oal(t,0)eq f(1,2)t3(t2at)(at)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)t3at2)eq f(1,2)t3t32at2a2teq f(1,6)t3at2a2t.f(t)eq f(1,6)t3at2a2t(0t1)(2)f (t)eq f(1,2)t22ata2，令f (t)0，即eq f(1,2)t22ata20，解得t(2eq r