固体物理课件prob

1、固体物理习题参考19. 只考虑 s 电子，试求面心立方结构紧论能带顶、能带底与 Bloch 和相因子的关系。解答:能带；能带顶和能带底的 k 位置，以及能带宽度；讨只考虑最近邻原子的 s 电子紧能带结构为:最近邻E(k) E原子 C J (R)eikR R对面心立方结构，1 个原子有 12 个近邻 (设晶格常数为 a) ：（0.5a，0.5a，0）；（ 0.5a， 0.5a，0）；（ 0.5a，0.5a，0）；（0.5a， 0.5a，0）；（0.5a，0，0.5a）；（ 0.5a，0， 0.5a）；（ 0.5a，0，0.5a）；（0.5a，0， 0.5a）；（0，0.5a，0.5a）；（0，

2、0.5a， 0.5a）；（0， 0.5a，0.5a）；（0，0.5a， 0.5a）；于是,aaaa最近邻Ri (k k )i (k k )i (k k )i (k k )eikR =e 2 x y e 2 x y e 2 x y e 2 x yaaaai (k k )i (k k )i (k k )i (k k )e 2 x z e 2 x z e 2 x z e 2 x zi (k k )i (k k )i ( k k )i ( k k )e 2 y z e 2 y z e 2 y z e 2 y zaaaaaaaaaa 4(cosk cosk cosk cosk cosk cosk )2

3、x2 y2 y2 z2 z2 x由此得到能带结构：aaaaaaE(k) E原子 C 4J (cosk cosk cosk cosk cosk cosk )2 x2 y2 y2 z2 z2 x为得到能带极值, 令aaaaaaf (k , k , k ) cosk cosk cosk cosk cosk cosk2 x2 y2 y2 z2 z2 xxyz在极值处有 faaaasink (cosk cosk ) 0 22 x2 y2 zkx faaaasinky (coskx coskz ) 0k2222y faaaaksink (cosk cosk ) 0 22 z2 x2 yz2n 2m当 kx

4、, ky, kz 其中两个分别为,(m, n 一奇一偶)，其余一个为任意值时,f = 1, 是最小值;aa2m2n2 p当 kx , ky , kz (m, n, p 全奇或全偶) 时, f = 3, 是最大值。aaa区，且考虑到 J 0 ，则若将 kx, ky, kz 限制在第一当 k (0,0,0) 时，f 最大，能量 E(k) E原子 C 12J 最小，处于能带底，此时 Bloch 和相因子都为 1。 2 (1, 0, c)a 2(1, c, 0)a 2(c, 1, 0) 当 k a区边界上），其中c , ， f 最小，a a 2时（这些点都位于(0, 1, c)a 2(c, 0, 1)

5、a 2 (0, c, 1) a能量 E(k) E原子 C 4J 最大，处于能带顶，此时 Bloch 和中，4 个相因子为1，其余 8 个相因子取值任意 ，但能互相抵消。能带宽度：16J。固体物理习题参考20. (书中 4.1 题) 设有一维晶体电子能带可以写成()2718 cos ka + 8 cos 2kaE(k) =ma2其中 a 是晶格常数。试求：(a) 能带宽度；(b) 电子在k 状态时的速度；(c) 能带底部和顶部电子的有效质量。解：(a)()2718 cos ka + 8 cos 2kaE(k) =ma22718 cos ka + 8 (2 cos ka 1)2=ma22=(3 4 cos ka + cos ka) 4ma222=(cos ka 1)(cos ka 3) 4ma2能带底： k = 0, E = 0；能带顶： k = /a, E = 22/(ma2). 所以能带宽度为：22E =ma2 .(b) 电子的速度：1 dE(k)v(k) =dk() 1sin kasin=2kama4(c) 电子的有效质量：()d E(k)12mcos ka (1/2) cos 2ka