数轴与坐标系的基本公式

1、 第二章 平面解析几何初步 原先的几何是研究图形，而在17世纪前半叶，法国数学家笛卡儿首次把几何图形放在坐标系中研究，用坐标法研究几何图形，用方程表示曲线，把代数和几何紧密结合起来，并运用数形结合的方法，使数学成为了一个双面的工具。 众所周知数学的两大问题是代数问题和几何问题。2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.1平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1.数轴上的基本公式问题：什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则是什么呢？一、给出了原点，度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系0123-1-2-

2、3(P) P数轴上的一点M的坐标为3 记作：M(3)若点P与实数x对应，则称点P的坐标为x 记作p(x)数轴上点的坐标记法x0123-1-2-3MNP(x） 0 12 3-1-2-3 A B 二、向量的定义如果数轴上任意一点沿着轴的正向或负向移动到另一点，则说点在数轴上作了一次位移，位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量记法 线段AB长叫做向量 的长度， 记作三、向量的坐标（数量）向量AB的坐标，用AB表示0123-1-2-3AB(B)Cx 向量坐标的绝对值等于向量的长 度：零向量：起点和终点重合的向量叫做零向量零向量无确定方向坐标为00123-1-2-3AB(B)CxA

3、B=2AC=2相等的向量 坐标相等0123-1-2-3AB(B)Cx相等的向量0123-1-2-3AB(B)C 在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移到点C，则位移AC叫做位移AB与位移BC的和。对数轴上任意三点A，B，C，都具有关系AC=AB+BCxAC=AB+BC记作：四、位移向量和五、数轴上两点的距离OB=OA+ABAB=OB - OAOB=X 2OA=X 1AB=X 2 X 1所以A,B两点的距离为:d(A,B)= X 2 X 10123-1-2-3x已知两点A、B的坐标，求:AB、|AB|,(1)A(-1),B(1);(2)A(-2),B(-5)2.1平面直角坐标

4、系中的基本公式 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1. 平面上两点间的距离 已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何 求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?二.两点间的距离xyP1(x1,y1)P2(x2, y2)Q(x2,y1)Ox2y2x1y1xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)Od(p1，p2)=x=x2x1y=y2y1即两个变量两个坐标的差两点间的距离公式d(p1,p2)=三.例1.已知A（2，4），B（2，3），求d(A,B).例2.已知点A（1，2），B（3, 4）， C（5, 0），求证ABC是等腰三角形解.x=x2x1= 4y=y2y

5、1=7d(A,B)=证明：d(A,B)=d(A,C)=d(B,C)=又A,B,C不共线所以ABC是等腰三角形例3.证明平行四边形四条边的平方和等于两条 对角线的平方和。证明：以A为原点，AB为x轴 建立直角坐标系。xyABCD(0,0)(a,0)(b,c)(a+b,c)则四个顶点坐标分别为A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。坐标法第二步:进行有关代数运算第三步:把代数运算结果翻译成几何关系。第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量。坐标法 坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.2.中点坐标公式 x1 x= + x2 2y1+ y2y=2线段AB中点P的坐标 例4.已知平行四边形ABCD顶点坐标：A（3，0），B（2,2)，C（5，2）求顶点D的坐标.则解得 所以点D的坐标是(0,4). 设D点的坐标为(x，y)，结论：ABC中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)）求三角形ABC的重心G坐标.例.求函数y= 的最小值.解：函数的解析式可化为 令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|+|PB|取最小值