线性代数国际商学院主席团课件4

1、4.3正 交 矩 阵教学纲目一、标准正交基的定义二、正交矩阵的定义及其性质三、标准正交基的求法教学要求1、理解与掌握标准正交基的定义；2、理解与掌握正交矩阵的定义与性质；3、理解与掌握标准正交基的求法。一、标准正交基的定义在得空间Rn中，n个向量组成的正交向量组一定是Rn的一个基，称为正交基(orthogonal basis)。得空间Rn中n个向量1, 2,n定义4.11满足：如果(1)两两正交，即i j=0，ij，i, j=1, 2, , n,T向量，即|i |=1，i=1, 2, , n,(2)每个向量都是则称1, 2,n为Rn的一个标准正交基(standard orthogonal ba

2、sis)。例如，1, 2, , n是Rn的一个标准正交基。 1， i j，符号：0， i j，ij1, 2,n为Rn的一个标准正交基i j=ij，i, j =1, 2, , n,T二、正交矩阵的定义及其性质定义4.12如果实数域R上的n阶矩阵Q满足QTQ=E，则称Q为正交矩阵(orthogonalmatrix)。由定义，实数域上的方阵Q是正交矩阵 QTQ=EQ可逆，Q-1=QTT=E。在Rn中，以标准正交基为列(行)组成的矩阵为正交矩阵。在Rn中，两个标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵。例如1265Q50630 可以验证QTQ=E，所以Q是一个正交矩阵。正交矩阵具有下述性质：10 E是正交矩阵；2

3、0 若A, B都是n级正交矩阵，则AB也是正交矩阵；30 若A是正交矩阵，则A-1(即AT)也是正交矩阵；40 若A是正交矩阵，则A=1或-1。【证】(AB)(AB)T=A(BB矩阵。=AEAT=E，因此AB是正交若A是正交矩阵，则AAT=E，AAT=1，即A2=1，A=1或-1。因此50若A为正交矩阵，则A*也是正交矩阵。因为A*=AA-1， (A*)TA* = (AA-1)TAA-1=E。命题1 设实数域上n级矩阵A的行向量组为1, 2, n；列向量组为1, 2, n，则(1)A为正交矩阵当且仅当A的行向量组满足当i j,当i j. 1, T0,ij(2)A为正交矩阵当且仅当A的列向量组满

4、足当i j, 1, T0,ij当i j.【证】(1)A为正交矩阵 1 1 00 00 1 AAT=E 0 2T1TTn 02 1 0n 0 TTT011121n TTT 0 21222n0 01 TTT当i 当i n1n2nn 1,j,j. T0,ij【注】正交矩阵的行向量组是Rn的一个标准正交基。(2)A为正交矩阵 10 T0 1001T2 0 ATA=E 12n0 01 T0n 0 TTT11121n TTT 0 21222n0 01 TTTn1nn n2当i j,当i j. 1, T0,ij【注】正交矩阵的列向量组是Rn的一个标准正交基。定理4.4实数域上n级矩阵A是正交矩阵的充分必要条

5、件是：A的行(列)向量组是正交基。得空间Rn的一个标准【证】设A的行向量组为1, 2, , n，则由定理1，矩阵A为正交矩阵ijT=ij,1i, jn1, n是Rn的一个标准正交基。同理可证，A的列向量组是Rn的一个标准正交基。【注】构造正交矩阵需求Rn的一个标准正交基。关于n阶实方阵Q，下列命题等价：10 Q是正交矩阵；20 QTQ=E；30 Q-1= QT；40T=E；50 Q的行向量组为Rn的一个标准正交基；60 Q的列向量组为Rn的一个标准正交基。三、标准正交基的求法平面上两个不共线的向量1, 2，很容易找到一个正交k1向量组 , ，1221=121=1，2=2+k1，k1O为求k，在

6、上式两端用 作内积，121=(2+k1)1=21+k11,TTTT0=21+k11,TT从而 T T k 21211.,于是 22T T1111同理空间内三个不共面的向量1, 2, 3(两两不共线)，容易找到一个正交向量组1, 2, 3,T 1=1，2 2 3+k11+k22，21 3=1，设 T11为求待定系数k1, k2，在上式两端分别用1, 2作内积，31=(3+k11+k22)1=31+k111,TTTT0=31+k111,TT从而 T T 31 32 ,k,k同理于是 12TT1122TT 3.命题2 设1, 2, ,s是关的向量组，令得空间Rn的一个线性无 1 2 ，1T 2211

7、，T 1T1T3331 122，都是数3TT1122，ss12s-1则1, , s是正交向量组，且1, , s与1, ,s等价。Tss1-Ts-11s-Ts2 T22Ts1 T11【证】对线性无关向量组所含向量的数目s作数学归纳法，当 s=1时，即向量组为1且1O，此时令1=1，则1是正交向量组。显然 11。当 s=2时，向量组为1, 2线性无关, TT21) 2 1TTT 1T1(1221211TT1T2111T0，121即1, 2是正交向量组。显然1, 21, 2。假设s=m-1时结论成立，即1, , m-1是正交向量组,1, 2, , m-11, 2, , m-1。且现在来看s=m时的情

8、形。由于T T T m1 m2 mm-1 ,mm12m-1T T T1122m-1m-1因此1jm-1时，有T T T j m m m1 m2 mm-1 TT12m-1 jT T T1122m-1m-1Tmj T 0，TTTjmjjjmmjTjj则1, , m是正交向量组, 且1, , m与1, ,m等价。据数学归纳法原理，命题为真。命题2给出了由得空间Rn中一个线性无关的向量组1, 2, ,s出发，构造出与它等价的一个正交向量组1, 2, , s的方法，这种方法称为程。正交化过只要再将1, 2, , s中每个向量化，即令111 , , ,1122ss12s1, 2, , s是与1, 2, ,

9、s等价的正交向量组。得空间Rn中，如果给定一个基1, 2, ,n，则先经过正交化过程，然后经过化，得到的向量组1, 2, , n就是Rn的一个标准正交基。3正交化方法的几何解释设1, 2, 3为R3的一个基，令 1=1,c2为2在1上的投影向量,2c22T 2c1112222T111向量2在1上的投影向量 1 ) 1 c T2(21111这样得到的2与1正交(垂直)。 T21 T11132c32c31c3c2211c3为3在1, 2所在的平面上的投影向量，由于12，故c3等于3分别在1, 2上的投影向量向量3c31与c32之和，即在2上的投影向量TT12c3c31c323312TT112233

10、2c32c31c3c2211令 3= 3-c3向量3在2上的投影向量TT 3c132333312TT1122110 例1 设1，011 为，3得空间R3的2101 一个基，将其化为R3的一个标准正交基。【解】(1)利用1=1，正交化方法先将其正交化：1 1 121 T 2 12 211 0 0 1 ， T21 1112 2 3 11 1 11 2 TT2323 ， 21 3132012 3 1 3312TT 0 111222 2 则1, 2, 3为与1, 2, 3等价的正交向量组。(2)化1, 2, 3的长度分别为：12 1 2，令T 10 ，1111112 ， ，令 T 2226 ， ，令T

11、 33333则1,2,3为得空间R3的一个标准正交基。例2已知得空间R3中两个向量：11 1,2 正交，1211试求3使1, 2, 3R3的一个正交基。【解】设3=(x1, x2, x3)TO，且分别与1, 2正交，则有13=0，23=0，TTT, 0,即Tx 1x，3化简得 0， 注意到3O，所以令x3=1，则x21 x1 x 0 ， 2 3 x 1 3 由上可知1, 2, 3R3的一个正交基。【注】求正交基的线性方程组方法。例3 已知1=(1, 1, 1)TR3，求一组非零向量2, 3，使1, 2, 3两两正交。【解】2, 3应满足12=O, 13=O，其分量满足方程TTx1+x2+x3=

12、0， 1 0 取基础解系0 ,1，把基础解系正交化，1211 1 2 1 ，2T 0 ， 11取2132 1T 11 11 2 则1, 2, 3两两正交。例4 设Rn为一非零列向量，试证与正交的实向量全体V得空间Rn中的一个n-1维子空间。【证】由题设，V=T=0, Rn，则(1)OV，所以V非空。(2)若, V，T=0，T=0，则T(+)=T+T=0，所以+V，(3)若kR，V，T=0，则T(k)=kT=0，所以kV，V对加法、数量乘法封闭，所以V为Rn的一个子空间。 a1 k1 a k 设 ，向量 2 Rn2 a k n nVT=a1k1+a2k2+n=0是a1x1+a2x2+anxn=0的解W(方程组TX=O的解空间)因此V=W。又系数矩阵的秩为1，所以其基础解系含n-1个解向量，因此dimW=n-1，从而dimV=n-1。例5 设1, 2, , n-1是欧氏空间Rn中线性无关向量组，又知列向量1,