2022届上海市六十高考数学倒计时模拟卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1“是函数在区间内单调递增”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，且，则该双曲线的渐近

2、线方程为（ ）ABCD3本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A72种B144种C288种D360种4 “”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ）ABCD7已知函数，若，则的最小值为（ ）参考数据：ABCD8直角坐标系中，双曲线（）

3、与抛物线相交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）ABCD9已知函数在区间有三个零点，且，若，则的最小正周期为（ ）ABCD10已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）ABCD11若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）A B C D12已知为虚数单位，实数满足，则 ( )A1BCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金若随机变量1和2分别

4、表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（1）_，E（1）E（2）_14设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为 .15已知向量满足，则_.16已知，且，则的最小值是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在四边形中，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：（1）平面平面；（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.18（12分）已知抛物线：的焦点为，过上一点（）作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，（1）证明：直线的斜率是1；（2）若，成等比数列，求直线的方程.19（12分）如图，D

5、是在ABC边AC上的一点，BCD面积是ABD面积的2倍，CBD=2ABD=2（）若=，求的值；（）若BC=4，AB=2，求边AC的长20（12分）在直角坐标系x0y中，把曲线为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.21（12分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小.22（10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，点、分别为，的中点，且

6、平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.2D【解析】根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.【详解】如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦

7、点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.3B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.选.【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题4B【解析】或，从而明确充分性与必要性.【详解】，由可得：或，即能推出，但推不出“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.5C【解析】先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【详解】直线，的充要

8、条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系6D【解析】根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论.【详解】

9、依题意知，与为函数的“线性对称点”，所以，故（当且仅当时取等号）.又与为函数的“线性对称点，所以，所以，从而的最大值为.故选:D.【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题.7A【解析】首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.【详解】由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，所以在区间上递减，而，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以

10、的最小值为.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.8D【解析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到 故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).9C【解析

11、】根据题意，知当时，由对称轴的性质可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【详解】解：由于在区间有三个零点，当时，由对称轴可知，满足，即.同理，满足，即，所以最小正周期为：.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力.10C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C考点：外接球表面积和椎体的体积11B【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.12D【解析】 ，则 故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13

12、2 0.2 【解析】分别求出随机变量1和2的分布列，根据期望和方差公式计算得解.【详解】设a，b1，2，1，4，5，则p（1a），其1分布列为：1 1 2 1 4 5 P E（1）（1+2+1+4+5）1D（1）（11）2+（21）2+（11）2+（41）2+（51）2221.4|ab|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6，P（21.4），P（22.3），P（24.2），P（25.6），可得分布列2 1.4 2.3 4.2 5.6 P E（2）1.42.34.25.62.3E（1）E（2）0.2故答案为：2，0.2【点睛】此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率

13、，根据公式准确计算期望和方差.14【解析】不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.【详解】不妨设双曲线，焦点，对称轴，由题设知，因为的长为实轴的二倍， ，故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.151【解析】首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算

14、可得；【详解】解：因为，所以又所以所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.161【解析】先将前两项利用基本不等式去掉，再处理只含的算式即可【详解】解：，因为，所以，所以，当且仅当，时等号成立，故答案为：1【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见详解；（2）【解析】（1）由题可知，等腰直角三角形与等边三角形，在其公共边AC上取中点O，连接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可证得，结合，可证明平面.再根据面面垂直的判定定理，可证平面平面.（2）以

15、为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由点F在线段上，设，得出的坐标，进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再结合为平面的一个法向量，用向量法即可求出与的夹角，结合图形，写出二面角的大小.【详解】证明：（1）在中，为正三角形，且在中，为等腰直角三角形，且取的中点，连接，平面平面平面.平面平面（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设.则设平面的一个法向量为.则，令，解得与平面所成角的正弦值为，整理得解得或(含去)又为平面的一个法向量，二面角的大小为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中

16、档题.18（1）见解析；（2）【解析】（1）设，由已知，得，代入中即可；（2）利用抛物线的定义将转化为，再利用韦达定理计算.【详解】（1）在抛物线上，设，由题可知，（2）由（1）问可设：，则， ， ，即（*），将直线与抛物线联立，可得：，所以，代入（*）式，可得满足，：.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.19（）；（）【解析】（）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.（）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.【详解】（），所以所以；（），所以，所以，所以，所以边【点睛】

17、本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.20（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时【解析】（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.【详解】（1）由题意知的参数方程为（为参数）所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为. （2）由题意，可设点的直角坐标为， 因为是直线，所以的最小值即为到的距离，因为 当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.21（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接，交与，连接，由，得出结论；（2）以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可.【详解】（1）连接，交与，连接，在中，又平面，平面，所以平面；（2）由平面平面，为平面与平面的交线，故平面，故，又，所以平面，以为原点，分别为，轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，由，得，平面的法向量为，由，故二面角的大小为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和