三角函数正交性

1、关于三角函数的正交性第1页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四定理 1. 组成三角级数的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中

2、两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四二、函数展开成傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且右端级数可逐项积分, 则有证: 由定理条件,对在逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四(利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四叶系数为系数的三角级数 称为的傅里叶系数 ;由公式 确定的以的

3、傅里的傅里叶级数 .称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 第7页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 第8页，共36页，2022年，5月20日，15点18分

4、，星期四例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解: 先求傅里叶系数将 f (x) 展成傅里叶级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近说明:f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x)

5、 是周期为 2 的周期函数 , 它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四说明: 当时, 级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四例3. 将函数级数 .则解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页，共36页，20

6、22年，5月20日，15点18分，星期四利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四设已知又机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结

7、束 第18页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四例4. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f (x) 的情况见右图.n5机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四例5. 将周期函数展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解:是周期为2 的周期偶函数

8、, 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四例6. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,机动 目录

9、 上页 下页 返回 结束 第24页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四注意:在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第25页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四说明: 令 x = 0 可得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四内容小结1. 周期为 2 的函数的傅

10、里叶级数及收敛定理 其中注意: 若为间断点,则级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第29页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于 .提示:设周期函数在一

11、个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,第30页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四3. 设又设求当的表达式 .解: 由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四4. 写出函数傅氏级数的和函数 .答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 第32页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四备用题 1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 的傅里 第33页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四2. 设是以 2 为周期的函数 ,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页，共36页，2022年，5月20日，15点18分，星期四傅里叶 (1768 1830)法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运