第2讲光纤波导II

1、3.1、圆柱介质波导的场方程3.2、介质波导模式3.3、截止条件3.4、相速三.介质波导1 介质波导从理论方面着手将首推Hondros和Debye(1910)1966年作为光纤使用，1970年低耗光纤获得发展。一、圆柱介质波导的场方程 圆柱介质波导属于开波导系统(Open Waveguide System)，因而求解区域自然是全空间(full space) 半径为a，介质的介电常数为1，0，周围空间是2，0，所给出的z轴与圆柱轴重合，见图29-1所示。图 29-1 圆柱介质波导 2如何从麦克斯韦方程出发推导波动方程（或矢量亥姆霍兹方程）一、圆柱介质波导的场方程 3一、圆柱介质波导的场方程 矢量

2、波动方程或矢量亥姆霍兹方程 取式(.1a )的旋度并与式(.1b )联立得(.1a )(.1b )取式(.1b)的旋度并与式(.1a )联立得利用矢量微分公式可得4一、圆柱介质波导的场方程 (.6a )取J0时(.6 )可得(.7a )(.7b )(.8 )考虑式(.1c)、(.1d)和(.5)的关系，可得(.6b )(.5 )(.1c )5我们采用 (29-1) (29-2) 按照一般习惯，也可写成 (29-3) 一、圆柱介质波导的场方程 6其中 (29-4) ni也称为折射率，考虑到波导系统 (我们只考虑入射波)。有 (29-5) 一、圆柱介质波导的场方程 7于是进一步写出(29-6) 应

3、用分离变量法求解，在圆柱坐标系中具体为(29-7) 一、圆柱介质波导的场方程 8省略e-jz因子，令 上述假定常称之为分离变量法，于是又导出两个常微分方程(29-8) (29-9) 一、圆柱介质波导的场方程 9因为介质波导的开波导特点，对于介质波导内部，有必定是驻波型解，只能是第一类Bessel函数。而在介质波导外部，有 它又必须是衰减场，只能取第二类修正Bessel函数。 (29-10) (29-11) 一、圆柱介质波导的场方程 10 也就是根据r=0和r=的边界条件，我们自然省去了Nm(r)(Neumann)函数和Im(r)函数 Bessel函数 修正Bessel函数图 29-2 Bess

4、el函数和修正Bessel函数 一、圆柱介质波导的场方程 11(29-12) (29-13) 其中 (29-14) 一、圆柱介质波导的场方程 (29-9) 12根据边界r=a的条件(注意开波导系统是连续条件) (29-15) 于是可以得到 (29-16) 一、圆柱介质波导的场方程 13 其中 (29-17) (29-18) 一、圆柱介质波导的场方程 这样(29-13)式变为 14(29-19) (29-20) 一、圆柱介质波导的场方程 15回忆起横向分量采用纵向分量表示的不变量矩阵 (29-21) 一、圆柱介质波导的场方程 16(29-22) 一、圆柱介质波导的场方程 17一、圆柱介质波导的场

5、方程 2.7.1 边界条件一般表达式媒质1媒质2 分界面上的电荷面密度 分界面上的电流面密度18一、圆柱介质波导的场方程 两种理想介质分界面上的边界条件 在两种理想介质分界面上，在自然状态下没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故 的法向分量连续 的法向分量连续 的切向分量连续 的切向分量连续媒质1媒质2 、 的法向分量连续媒质1媒质2 、 的切向分量连续19边界条件是r=a时 很容易导出 (29-23) (29-24) 一、圆柱介质波导的场方程 20其中 方程(29-24)称为求模数的色散方程或特征方程，由此导出传播因子。 一、圆柱介质波导的场方程 (29-24) 21已知知道 因此有 (29

6、-25) (29-26) 二、介质波导模式 22也即 于是，特征方程(29-24)又可改写成 (29-27) (29-28) (29-29) 二、介质波导模式 23我们引入归一化频率 case 1 m=0的情况，由特征方程(29-29)知道 (29-30) (29-31) (29-32) 二、介质波导模式 (29-29) (29-12) 24 其中，n表示场沿半径方向分布的最大值个数。它可以分成两套独立分量： case 2 m0情况 二、介质波导模式 25左右两边均除以1也可写出 式(29-33)是以1为未知数的二次方程，解出 归结起来 (29-33) (29-34) 二、介质波导模式 26如

7、果n1n2时 介质波导的最大特点是Ez和Hz会同时存在，从概念上只有这样才会满足阻抗条件，这时，式(29-35)定义 (29-35) (29-36) 二、介质波导模式 27则介质波导内的纵向场分量可表示为 其中 (29-37) (29-38) 二、介质波导模式 28对应的横向分量 (29-39) 二、介质波导模式 29观察(29-36)定义式和(29-35)的近似关系，得到 (29-40) 二、介质波导模式 (29-35) (29-36) 30从上面分析已经知道，介质波导存在TE0n， TM0n， EHmn， HEmn模式 要满足上述方程 K2K1 (29-41) (29-42) 三、截止条件

8、 31金属波导中截止条件 介质波导中截止条件 kc2=0 金属波导截止时，波沿z方向无传播只是振幅衰减，同时因为是封闭的，外部无电磁场。介质波导截止时kc20，波沿r方向有辐射，且沿z方向仍有传播称为辐射模。 所以kc2是波导外无辐射场的条件。 (29-43) (29-44) 三、截止条件 32case 1 m=0时 TEon模 1(u)=2(w)可写成(29-45) (29-46) 三、截止条件 原因是kc20, w=033 TE0n， TM0n模截止条件都可写为 J0(u0n)=0 case 2 m0且m=1，特征方程变为 (29-47) (29-48) (29-49) 三、截止条件 TM

9、on模34十分明显，有 计及1和2定义式 可知HE1n模条件是 J1(u1n)=0 (29-50) (29-51) (29-52) 根据Bessel函数递推公式，又有 (29-53) 三、截止条件 (29-24) 35三、截止条件 当较大时，利用计算 () , () 的结果是不可靠的，除非使用双精度计算，但随着继续增加，利用双精度的计算仍不能得到可靠的结果。当的虚部很大时，计算jn时将会产生溢出，如在双精度数据类型下，当Im()的绝对值大于等于710时，计算jn就会溢出，这是因为双精度类型的突变量最大只能表示数值约10308的数据，但级数的复变正弦sin()和复变余弦cos()需要对Im()进

10、行双曲正弦和双曲余弦计算，而e7102.23410308已经大于110308，即式中正弦和余弦函数是无界的, 当球尺寸很大时，会导致很大的计算误差和计算机溢出，进而导致的 值为零。此时无论如何增大，也不会出现计算机溢出。36三、截止条件 psi0=(exp(cmplx(0,1.)*dx0)+exp(-cmplx(0,1.)*dx0)/2.)psi1=(exp(cmplx(0,1.)*dx0)-exp(-cmplx(0,1.)*dx0)/2./cmplx(0,1.)psi=(2.*dn-1.)*psi1/dx-psi037 当n=1即HE11模u11=0 HE11模无截止波长 HE11模是圆柱介

11、质波导的基模，若2=0则在截止条件传播速度是光速。 (29-54) (29-55) (29-56) 三、截止条件 38可得到相速 其中，mn是Jm(kc1a)的根值。介质波导中波速在 之间。金属波导和介质波导之比较 (29-57) (29-58) 四、相速 39四、相速 40金属圆柱波导 介质圆柱波导 封闭内区域求解 全空间分区域求解 四、相速 41四、相速 42四、相速 434.1、阶跃光纤模型 4.2、近似特征方程 4.3、光纤模式4.4、截止条件4.5、功率传输 四.光 纤 44 四.光 纤 Optical Fiber 光纤(Optical Fiber)即光导纤维，我们讨论通信所用的阶跃

12、光纤。 它的简化模型是中心纤芯半径为a，折射率为n1；层半径为b，折射率为n2；外部空气折射率为n0，并满足 实际上是波导多模光纤,到rb认为已衰减完。我们注意到近年来已开始研究单模光纤，在这种情况下，我们只要分两层考虑。(30-1) 45一、阶跃光纤模型 利用上面假定，将求近截止区和远离截止区的本征值简单近似解。 图 30-1 阶跃光纤 46二、近似特征方程 根据两层的特点，完全可用上讲“介质波导”的有关结果。 定义归一化频率 如果计及n1n2为简化条件 (30-2) 47则 上面推导中已考虑 u和w是光纤的基本参量，v决定传输的模数，它与光波频率成正比，（ ） 二、近似特征方程 (30-3

13、) (30-4) 48在29讲中已给出特征方程其中 且进一步导出了 二、近似特征方程 (30-5) (30-6) 49 引入弱光导纤维条件(n1n2)/n11，即n1n2(1=2)，特征方程(30-6)简化为具体给出1的解 或者写成 二、近似特征方程 (30-7) (30-8) (30-9) 50最后得到简化特征方程 由Bessel函数递推公式二、近似特征方程 (30-10) (30-11) 51于是 修正Bessel函数也有递推关系 二、近似特征方程 (30-12) 52可得到 把(30-12)和(30-13)式代入简化特征方程(30-11) 二、近似特征方程 (30-13) 53 在弱光导

14、纤维n1n2、v2=u2+w20或者u2w2 于是有近似特征方程(色散方程)特别对于case m=0 它可以简化为 二、近似特征方程 (30-14) (30-15) 54三、光纤模式 和金属波导不同，光纤属于介质波导,类型可分为TEon、TMon、EHmn和HEmn模式。特别对于弱光导纤维，还有满足相同近似特征方程的简并模组成LP模。Case 1 TEon和Tmon模 55 图 30-2 TEon和TMon模 三、光纤模式 56Case 2 HEmn，EHmn模；再写出特征方程 上式取HEmn模 EHmn模三、光纤模式 (30-16) (30-17) TE0n模TM0n模57HE11模是光纤基

15、模. 图 30-3 HE11模 三、光纤模式 58Case3 LP模式 LP(线极化模Linearly Polarized Mode)是Gloge根据满足相同近似特征方程,其相位周数简并而提出的。 LP模命名EHmn，HEmn(m1)均有sinm和cosm简并 三、光纤模式 59LP模原命名简并模近似特征方程LPon(m=0)HE1n2LP1n(m=1)TE0nTM0nHE2n4LPmn(m2)EHm-1,nHEm+1,n4三、光纤模式 60LP命名原有命名电场分布LP01HE11LP11TE01TM01HE21LP21EH11HE31三、光纤模式 61四、截止条件 从上面的论述可以看到，光纤

16、中模式的特性可以用3个特征参数u、和 来描述，u表示模式场在纤芯内部的横向分布规律，表示模式场在纤芯外部的横向分布规律， 是轴向的相位常数。一般根据特征方程确定其中一个参数，然后根据式求出另外两个参数。但是，各个模式的特征方程是需要数值求解的超越方程，下面讨论两种极限情况，即光纤的截止条件和远离截止条件。62四、截止条件 在正常情况下，K0n2K0n1，纤芯外层场随指数规律Km(r)衰减，这时电磁能量集中在纤芯之内。然而如果这时场能量逸出外层成为辐射模式 称为截止条件。 (30-18) (30-19) 63光纤模式截止条件 m模 式截止条件m=0TEosTmosJ0(u)=0m=1HE1sEH

17、1nJ1(u)=0m2HEmnEHmn四、截止条件 64四、截止条件 随着光纤的归一化频率v的增加，传播模式的径向归一化衰减常数越来越大，这就意味着模式在包层中的径向衰减越来越快，其能量越来越往纤芯集中，当v和足够大时，传播模式的能量基本集中于光纤的纤芯之中，这种状态称为远离截止状态。因此，0和v0的极限情况，称为远离截止条件，如图所示 65为使正常模能传播，应满足w0，这称为远离截止条件。 远离截止条件 m模 式远离截止条件m=0TEonTMonJ1(u)=0m1HEmnEhmn四、截止条件 w=kc2a66特别是基模HE11模的远离截止条件为J0(u01)=0，即TE01，TM01和HE2

18、1的远离截止条件均为J1(u)=0，即 于是可画出工作模式图。 四、截止条件 (30-20) (30-21) 67图 30-4 工作模式图 四、截止条件 68五、功率传输 光纤中一个重要指标是希望能量集中于纤芯。 定义功率集中度 其中，P芯表示纤芯内的功率，P总表示全部功率，一般要求1。 光纤横截面(r0，)的Poynting Vector是(30-22) 69其中 号对应HEmn模；+号对应EHmn模积分得到 五、功率传输 (30-23) (30-24) (30-25) 70五、功率传输 (30-26) (30-27) 特别要提出TMon，TEon和HE2n模在截止时芯内功率P芯=0，只有包层(ra,